函数的连续性

1、1.1 1.1 函数函数1.4 1.4 函数的连续性函数的连续性1.2 1.2 极限的概念极限的概念1.3 1.3 极限的运算极限的运算 1.4.1 1.4.1 函数的连续性函数的连续性 1.4.2 1.4.2 函数的间断点函数的间断点 1.4.3 1.4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 1.4.4 1.4.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定义定义110 设函数设函数 在在 的某邻域内有定义，当自变量的某邻域内有定义，当自变量 由由 变到变到 ，称差称差 为自变量为自变量 在在 处的改变量或增处的改变量或增量，通常用量，通常用 表示，即表示，即 )(xfy 0 xx0 x

2、x0 xx0 xxx0 xxx 0( )()yf xf x )(0 xf( )f x0 xy0( )()f xf x 相应地，函数值由相应地，函数值由 变到变到 ，称差，称差 为为函数在函数在 处的改变量或增量，记作处的改变量或增量，记作 ，即，即x0 xy)(xfy xyo(2) 举例举例例例1设函数设函数 ，求下列自变量与函数的改变量。，求下列自变量与函数的改变量。 2( )23f xx（1）自变量由）自变量由2变到变到201 ；（2）自变量由）自变量由2变到变到199 ；（1）2.0120.01x 22(2.01)(2)(2 2.013)(2 23)0.0802yff （2）1.9920

3、.01x 22(1.99)(2)(2 1.993)(2 23)0.0798yff 解：解：(1) 定义定义观察下列函数图形，分析它们有何特征？观察下列函数图形，分析它们有何特征？x0 xy)(xfy xyoo0 xxy)(xfy yx结论：左图在结论：左图在 处是连续的，右图在处是连续的，右图在 处是间断的。处是间断的。0 xx 0 xx用什么式子描述？? ?(1) 定义定义x0 xy)(xfy xyoo0 xxy)(xfy yx当当 趋向于趋向于0时，时， 也趋向于也趋向于0.即即xy0lim0yx当当 趋向于趋向于0时，时， 不趋向于不趋向于0.即即0lim0 xy xy(1) 定义定义定

4、义定义11 设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，在点的某个邻域内有定义，在点 处给一个增处给一个增量量 ，相应地函数的增量为，相应地函数的增量为 ，如果，如果 ，则称函数，则称函数 在点在点 处连续，处连续， 称为函数称为函数 的连续点。否则，称函数的连续点。否则，称函数 在在 处间断，处间断， 称为函数称为函数 的间断点。的间断点。0 x)(xfy 0lim0 xy 0 xxy)(xfy 0 x)(xfy 0 x0 x0 x)(xfy )(xfy 0lim0 xy 000lim ()()0 xf xxf x 000lim()()xf xxf x 等价定义等价定义 设函数设函数 在点在

5、点 的某个邻域内有定义，如果的某个邻域内有定义，如果则称函数则称函数 在点在点 处连续。否则，称函数处连续。否则，称函数 在在 处间断。处间断。0 x)(xfy 00lim( )()xxf xf x)(xfy 0 x0 x)(xfy 函数函数 在点在点 处连续必须满足下面三个条件：处连续必须满足下面三个条件： )(xf0 xu函数函数 在点在点 处有定义，即处有定义，即 有意义有意义 ；)(xf0 x0()f xu函数函数 在点在点 处有极限，即处有极限，即 存在存在 ；)(xf0 x0lim( )xxf xu函数函数 在点在点 处的极限值与函数值相等，即处的极限值与函数值相等，即 )(xf0

6、 x00lim( )()xxf xf x(2) 举例举例例例2用定义证明用定义证明 在在 处连续处连续 2( )23f xx0 x 证法一证法一：2(0)(0)2yfxfx 0 x x给给 处以改变量处以改变量 ，则相应函数的改变量为，则相应函数的改变量为证法二：证法二：200lim( )lim(23)3(0)xxf xxf所以函数在所以函数在 处连续。处连续。0 x 200limlim 20 xxyx 因为因为 ，所以函数在，所以函数在 处连续处连续0 x 因为因为思考：能否证明上述函数在某一点思考：能否证明上述函数在某一点 处连续？处连续？0 x(2) 举例举例例例3 3讨论函数讨论函数

7、在在 处的连续性处的连续性 0 x010sin)(x，x，xxxf(0)1f因为因为 ，又，又00sinlim( )lim1xxxf xx所以函数在所以函数在 处连续。处连续。0 x 即即 ， 0lim( )(0)xf xf解：解：(3) 举例举例例例3 3讨论函数讨论函数 在在 处的连续性处的连续性 0 x1,0( )1,01,0 xxf xxxx(0)1f因为因为 ，又，又00lim( )lim(1)1xxf xx 所以函数在所以函数在 处不连续处不连续 （间断）。（间断）。0 x 即即 不存在，不存在， 0lim( )xf x00lim( )lim(1)1xxf xx解：解：例例4 4已

8、知函数已知函数 在在 处连续，求处连续，求 与与 的值的值 0 x2,0( ),01,0 xeaxf xbxxxab200lim( )lim(1)1xxf xx 00lim( )lim()1xxxf xeaa (0)fb因为因为 ， 又又因为函数在因为函数在 处连续，处连续，0 x 所以所以00lim( )lim( )(0)xxf xf xf即即 ，11ab 因此因此0,1ab解：解：(4) 课堂练习课堂练习l证明函数证明函数 在点在点 处连续。处连续。l讨论函数讨论函数 在在 处的连续性。处的连续性。l讨论函数讨论函数 在在 处的连续性。处的连续性。l已知函数已知函数 在在 处连续，求处连续

9、，求 的值。的值。232,1( )12,1xxxf xxx( )31f xx0(,)x 1x sin ,0( )1,0 xxxf xex0 x 2,0( )cos ,0 xaxf xxx0 x a 略略 不连续不连续 连续连续 1a (3) 左右连续左右连续定义定义11 设函数设函数 在点在点 的某个左邻域内有定义，如果的某个左邻域内有定义，如果则称函数则称函数 在点在点 处左连续；处左连续；设函数设函数 在点在点 的某个右邻域内的某个右邻域内有定义，如果有定义，如果 ，则称函数，则称函数 在点在点 处右连续。处右连续。0 x)(xfy 00lim( )()xxf xf x)(xfy 0 x0

10、 x)(xfy 00lim( )()xxf xf x)(xfy 0 x结论结论 函数函数 在点在点 处连续的充要条件是函数处连续的充要条件是函数 在点在点 处处左右均连续。左右均连续。0 x)(xfy )(xfy 0 x定义定义110 定义定义1.11 思考思考 ：如何定义闭区间或半开半闭区间上的连续函数呢？：如何定义闭区间或半开半闭区间上的连续函数呢？, a b 设函数设函数 在区间在区间 内每一点连续，且要左端点内每一点连续，且要左端点 处右处右连续，在右端点连续，在右端点 处左连续，则称处左连续，则称函数为闭区间函数为闭区间 上的上的连续函数连续函数。(, )a b)(xfy xaxb

11、设函数设函数 在区间在区间 内每一点连续，则称内每一点连续，则称函数为区间函数为区间 上的上的连续函数连续函数，区间，区间 称为函数称为函数 的的连续区间连续区间。(, )a b)(xfy (, )a b(, )a b( )f x(1) 两个定理两个定理定理定理12 定理定理1.3 设函数设函数 与函数与函数 在点在点 处连续，则处连续，则 、 、 在点在点 处也连续处也连续。0 x( )g x( )( )f xg x0 x( )f x( )( )f xg x( )( )f xg x0( ()0)g x0 x( )yf u 如果函数如果函数 在点在点 处连续，且处连续，且 ，函数，函数 在在

12、处连续，则复合函数处连续，则复合函数 在在 处必连续，且处必连续，且0u( )ux00lim( )xxxu0 x ( )yfx)(lim)(lim00 xfxfxxxx练习：练习：p43 130-136(2) 重要结论重要结论初等函数在其定义区间内均连续。初等函数在其定义区间内均连续。例例5 5讨论函数讨论函数 的连续性的连续性 24( )3xf xx所以函数在所以函数在 内连续。内连续。 2,0)(0,22400 xx 因为因为 即得即得2002xx 或220 xx 解：解：课堂练习课堂练习 sin32l讨论函数讨论函数 的连续性。的连续性。 l求极限求极限 。l求极限求极限 。2ln(56

13、)( )1xxf xx23053lim329xxexxx)1 (log)2sin(lim223xxxx 23教材p44 142-151其中一些利用连续点求 设函数设函数 在点在点 处间断，则处间断，则 称为函数称为函数 的间断点。的间断点。0 x)(xfy ( )f x0 xu函数函数 在点在点 处无定义，即处无定义，即 无意义无意义 ；)(xf0 x0()f xu函数函数 在点在点 处无极限，即处无极限，即 不存在不存在 ；)(xf0 x0lim( )xxf xu函数函数 在点在点 处的极限值与函数值不相等，即处的极限值与函数值不相等，即 )(xf0 x00lim( )()xxf xf x0

14、 x 函数函数 在点在点 处如果下列三个条件之一不满足的，处如果下列三个条件之一不满足的， 就是函数就是函数 的间断点。的间断点。 )(xf0 x)(xf 一般，对于初等函数来说，间断点就是没有定义的点；对于分段函一般，对于初等函数来说，间断点就是没有定义的点；对于分段函数来说，除了每个段落考虑是否有定义外，还需考虑分段点是否连续。数来说，除了每个段落考虑是否有定义外，还需考虑分段点是否连续。例例6求下列函数的间断点与连续区间。求下列函数的间断点与连续区间。 （1）xxy222*（2）tan,00,0 xxyxx220 xx由由0 x 2x 解得解得 或或所以所以 间断点为：间断点为： ，0

15、x 2x ), 2()2, 0()0,(连续区间为：连续区间为：()2xkkz连续区间为：连续区间为：(,)(, 0)(0,)(0)2222kkkzk且*（2）由于）由于 ， 无意义；无意义；tanx所以所以 间断点为：间断点为： ，0 x ()2xkkz(0)0f00tanlim( )lim1(0)xxxf xfx 又又 ，解：（解：（1）课堂练习课堂练习l求函数求函数 的间断点与连续区间。的间断点与连续区间。l求函数求函数 的间断点与连续区间的间断点与连续区间。2253( )1xxf xx21 cos2,0( )31,0 xxf xxxx间断点间断点连续区间连续区间1x 1, 11, 32

16、间断点间断点连续区间连续区间0 x (, 0)(0,)cos2x=cosx-sinx=2cosx-1=1-2sinx 复习回顾 连续的判定函数函数 在点在点 处连续必须满足下面三个条件：处连续必须满足下面三个条件： )(xf0 xu函数函数 在点在点 处有定义，即处有定义，即 有意义有意义 ；)(xf0 x0( )f xu函数函数 在点在点 处有极限，即处有极限，即 存在存在 ；)(xf0 x0lim ( )x xf xu函数函数 在点在点 处的极限值与函数值相等，即处的极限值与函数值相等，即 )(xf0 x00lim ( )( )x xf xf x不满足上述三点中的任一点即为间断点。不满足上

17、述三点中的任一点即为间断点。试一试试一试:判断判断 1.设 ，当 ，即极限不存在，所以x=0为f(x)的间断点。因为 ，所以,x=0为第二类间断点中的无穷间断点。振荡间断点无穷间断点第二类间断点右左跳跃间断点右左可去间断点左右极限均存在一类间断点第间断点，xf，）（)( 0间断点的类型间断点的类型21)(xxf)(, 0 xfx201limxx如，如，y=tanx 在在x=/2教材第教材第41页页3.在 点x=0处无定义，所以x=0为其间断点。又， ,所以若补充定义f(0)=1，那么函数在点x=0就连续了。故这种间断点称为可去间断点。2. 在点x=0无定义，且当 时，函数值在- 1与+1之间无

18、限次地振荡，而不趋于某一定数，这种间断点称为振荡间断点(第二类)。 对任意的x均为振荡间断点。 xy1sin0 xqxqxxf10)(xxysin1sinlim0 xxxp43例例12 4.左、右极限均存在但不相等，这种间断点称为跳跃间断点。例如，符号函数 在x=0处即为跳跃间断点（第一类间断点）。 p42例80, 1; 0, 0; 0, 1sgn)(xxxxxf教材教材p43 137-140 155p43 137-140 155作业：作业：p44 152、153、156振荡间断点无穷间断点第二类间断点右左跳跃间断点右左可去间断点左右极限均存在一类间断点第间断点，xf，）（)( 0定理定理13 闭区间闭区间 上的连续函数上的连续函数 必有最大值必有最大值 与最小值与最小值 。m , a b( )f xmm定理定理14( )yf xbaoxym 如果如果 和和 是闭区间是闭区间 上的连续函数上的连续函数 的最大值和最小的最大值和最小值，则值，则对介于对介于 和和 之间的任一实数之间的任一实数 ，至少存在一点，至少存在一点 ，使得使得 。m , a b( )f xmmmc( ,)a bcf)(c最值定理介值定理 闭区间闭区间连续连续推论推论 如果闭区间如果闭区间 上的连续函数上的连续函数 满足满足 ，则，则至少至少存在一点存在一点 ，使得，使得 。 , a b( )f x(