对面积曲面积分

1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkks),(可得nk 10limm),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 m.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 szyxmd),(

2、定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkksf),(nk 10lim都存在,的曲面积分szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为ssdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常

3、数设,21kkszyxgkszyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz定理定理: 设有光滑曲面yxdyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有szyxfd),(yxdyxf),(szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知szyxfd),(kkkksf),(nk 10limyxd)

4、,(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ksyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxdyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfszyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:zydzyzyxx),(),(zxdzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在

5、参数意义下ds 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxd例例1. 计算曲面积分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzs) (dzs0

6、hln4aa则hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dszyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dszyx,1:4yxz1010:),(xxydyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(szyxfi解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxdyx,22yx

7、 ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxd则 1d)(22syxi机动 目录 上页 下页 返回 结束 1d)(22syxiyxdyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为r 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为yxdyxyxrz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223rrr用球

8、坐标cosrz ddsind2rs sdszd20032dcossindr2002dsindr思考题思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算),(drzsi.:2222rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cos:rz i0cos)cosd(2rrrrrrln2ddsind2rs 02dcossinrr20d机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d)(22syxi其中 是球面22yx 利用对称性可知szsysxddd222szsysxdddszyxid)(32222szyxd)(34sxd4sxd448)3(4142解解: 显然球

9、心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式sxdsd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzd例例7. 计算,d222zyxsi其中 是介于平面之间的圆柱面.222ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zrsd2d则hzrzri022d2rharctan2hzz,0ohxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxzl例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 s . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxl取ssdszldtt cosdcos453

10、02sd5ln4159zszsddttttdcos9sin5sin3220syld机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 r = 6400 km )解解: yzxohr r建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则ddsind2rs 卫星覆盖面积为sad0202ddsinr)cos1 (22rhrrcoshrhr22机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积

11、与地球表面积的比为24 ra)(2hrh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 a (见下册p109 例2) . yzxohr r内容小结内容小结1. 定义:szyxfd),(iiiisf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxdyxyxzz则szyxfd),(yxdyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页

12、 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习p158 题1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:p158 题1.szyxzyixd),()(22p158 题3. ,),( ,0:yxdyxzyxdyxyxfszyxfdd),(d),(设则0p184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 p158 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxdyxyxzzsyxdd1d22yxyxdd)(4122yxdsyxyxsdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyd)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 p159 题7. 如图所示, 有yx

13、yxyxszyxddd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxdzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 p184 题2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1sxsxa;d4d)(1sxsyb;d4d)(1sxszc.d4d)(1szyxszyxdc( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 p158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 m . 解解: 在 xoy 面上的投影为 ,2:22 yxdyx故smdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxddd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,