表格数理系论文格式范例

1、 学校代码: 11059 学 号:0907022035 Hefei University 毕业论文（设计）BACHELOR DISSERTATION 论文题目: 关于单形中一个极值问题的探讨 学位类别: 理学学士 学科专业: 数学与应用数学 作者姓名: xxx 导师姓名: xxx 完成时间: x年x月x日 关于单形中一个极值问题的探讨黑体三号加粗摘 要黑体四号加粗设为维空间中的在单形中的个不同点，个点中任意两点之间的距离所有和与其中两点之间距离的最小值的比值的下确界为.本文运用分析学、离散与组合几何理论中的有关知识和MATLAB编程软件对单形中上述点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究

2、，给出5个结论,证明 ，,.提出2个猜想.宋体小四；段前0.5行，段后0行，单倍行间距关键词：二维空间单形；三维空间单形；最小值；构造宋体小四加粗，用分号间隔关键词；段前0.5行，段后0行，单倍行间距Research of an Extreme Value Problem in the SimplexTimeNewRoman四号加粗ABSTRACTTimeNewRoman小四加粗Suppose that are these m different points in the simplex of n dimensional space , the infimum of distance rat

3、io of the total distance between all m points and the minimum distance between any two points is . This paper studies the value of by applying analysis of discrete and combinatorial geometry theory and the MATLAB programming software, and gives five main research conclusions, proving ,.This paper al

4、so gives two conjectures. KEY WORDS: Two-dimensional space simplex; Simplex in the three dimens-ional space; The minimum value; StructureTimeNewRoman小四号加粗，分号间隔段前0.5行，段后0行，单倍行距目 录三号黑体居中（空一行）第一章 前言11.1 研究背景与课题意义11.2 主要结果31.2.1 二维空间单形中4、5个点情形31.2.2 三维空间单形中5、6个点情形31.2.3 维空间单形中点情形31.2.4 两个猜想3第二章 预备知识42.1

5、 若干记号42.2 引理4第三章 定理的证明53.1 定理1的证明53.2 定理2的证明113.2.1 情形（i）的证明123.2.2 情形（ii）的证明153.2.3 情形（iii）的证明173.3 定理3的证明193.3.1 图形构造与证明193.3.2 建立模型和输出结果243.3.3 结果分析303.4 定理4的证明333.5 定理5的证明343.6 两个猜想35第四章 结语36第五章 Matlab编程程序375.1 Matlab程序1求最高点位置的函数值375.2 Matlab程序2375.2.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序375.2.2 求动点在点与点位置的函数值M

6、atlab程序385.3 Matlab程序3405.3.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序405.3.2 求动点在点与点位置的函数值Matlab程序405.4 Matlab程序4求解驻点42参考文献43致 谢45使用word中索引和目录功能自动生成目录:自动生成目录的方法为：“插入引用索引和目录:目录”，勾上“显示页码”和“页码右对齐”，点“修改”：选择“样式”里“目录1”再点“修改”，按要求修改字号等，同样改目录2和3。前提是标题都已经通过“格式样式和格式”处理好了。如果出现目录中字体是黑体的话，选中自动生成的目录，改为“宋体”即可。第一章 前言章节大标题小三黑体加粗居中1.1

7、研究背景与课题意义二级标题。顶格宋体四号加粗。标题处段前13磅，段后13磅离散与组合几何主要研究几何对象的组合设计、计数与极值问题.人们对它的研究由来已久，如等球装箱及Steiner树问题等.人们在社会生产实践中，发现许多问题实际上是某些几何对象的安排与计数问题，这就产生了离散与组合几何学.离散与组合几何学的深入研究始于20世纪。1964,H.Hadwiger,H.Ddbrunner与V.Klee合著的Combinatoril Geometry in the Plane1一书的出版，标志着这门学科的真正诞生.P.Brass,W.Mose,J.Pach合著的Research Problems i

8、n Di-screte Geometry一书更体现了这门学科中丰富的内容与问题，其内容涉及计算与算法几何、初等与凸几何、微分几何、分析学、代数学、图论、数论、组合数学等.对此学科的研究，不仅需要相关的基础理论知识，而且还需要一定的几何直觉与构造能力.组合方法与技巧的运用对这门学科的研究是至关重要的.时至今日，这门学科的发展，不仅丰富了相关的数学理论知识，而且还形成了自身的特色.正文部分宋体小四，首行缩进，1.5倍行距目前，现代数学已被广泛应用于一些长期悬而未决的离散与组合几何学的问题，同时，一些新的问题又不断产生，使这门学科极具生命力，发展异常迅猛.由于人们很容易掌握这类问题的陈述，同时它的解

9、决往往又体现出创造性的数学思想与精神，所以它深受人们喜爱.单形问题是离散与组合几何学问题研究的重要课题之一，而且其研究的邻域很广泛，比如说研究单形John的定理、维单形上的广义余弦定理、单形多维角与内外径性质、维单形的截面积、单形不等式等等，其中关于单形的各种各样的不等式研究，更富有趣味性和创造性，吸引着众多数学家与数学爱好者. 1994年，苏化明发表了单形内顶角的不等式引用参考文献标注；2000年，林波、郭曙光、钱林给出关于单形内任意一点及 维中面的几何不等式；2002年，马统一、任天胜、胡广平研究了涉及单形内一点和内外径的一类不等式；2006年，杨世国给出切点单形与旁切点单形体积的不等式；

10、2012年，唐盛芳、张玲、孙明保研究涉及两个维单形的四类不等式,当然还有很多相关的研究成果.基于对单形问题的兴趣,本文利用分析学、离散与组合几何理论的相关知识,对2维空间中的单形内一点（或两点）与单形的顶点共4（或5）个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值，以及3维空间中的单形内一点，以及单形的顶点共5个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究，并分别给出了证明，有的采用了多种证明方法及证明思路；对3维空间中的单形内两点与单形的顶点共6个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值，运用构造方法给出一个结果；对)维空间中单形内一点与单形的顶点共个点中所有点之间距离之和与最

11、小距离比值的最小值，运用构造与递归的方法也给出一个结论，并由此得到两个猜想.上述问题其数学模型是：设为维空间中的在单形中的个（包括单形的顶点）不同点，表示与两点之间的距离，记作，求其下确界的值即是本文探讨的问题.此问题可以看作是由数学家H.A.Heilbronn早年提出的Heilbronn型问题的一类变形问题，与场站设置问题也很相似.本论文的指导老师朱玉扬教授在Heilbronn型问题及场站设置问题上也有研究.当然，本论文所探讨的问题也很具有现实意义的.比如说，要在一片空地上规划建立三个分变电器，在其构成的三角形中再建一个主变电器，每两个变电器之间的距离都不小于某个常数（否则它们之间就可能产生

12、某种干扰），每两个变电器之间须架设一条电线，那么如何安置这四个变电器的位置，才能使得所架设各线之和最小？这就是本论文所解决的在二维空间中的单形内一点与单形的顶点共4个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值的现实问题.1.2 主要结果1.2.1 二维空间单形中4、5个点情形三级标题使用顶格小四宋体加粗二维空间的单形内一点(或两点)与单形的顶点共4(或5)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值研究结果:定理1.1定理、定义、命题、推论、证明等词可以采用加粗以突出显示；首行缩进 .定理1.2 .1.2.2 三维空间单形中5、6个点情形三维空间的单形内一点(或两点)与单形的顶点共5(或6

13、)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值研究结果:定理1.3 .定理1.4 .1.2.3 维空间单形中点情形定理1.5 .1.2.4 两个猜想猜想1 .猜想2 . 页脚；宋体，小五号居中 第二章 预备知识新的章节应另起一页2.1 若干记号1）与两点之间的距离记作.2） 设为维空间中的在单形中的个（包括单形的顶点）不同点，个点中任意两点之间的距离所有和与其中两点之间距离的最小值的比值记作.3）的最小值记作.2.2 引理引理2.1 若,则有，有公式应居中，等号取得当且仅当.引理2.2 若为内或边上一点，且 ，那么有，等号取得当且仅当恰在有一内角为的的斜边的中点上.引理2.3 若在凸四边形中

14、，则对角线和，等号取得当且仅当凸四边形是有一内角为的菱形.引理2.4 设中的正则单形的四个顶点分别是，棱长为,那么对此单形内的任一点,有.第三章 定理的证明3.1 定理1.1的证明 下面我们来证明定理1.1：证法1 先假设最优的情况(取最小值的情形)是点在三角形内产生的，那么可以先作到三角形的三个顶点的距离都为1，且的距离也为1，下面以点为圆心，1为半径作圆，交的反向延长线于点，显然点只能在上运动时才有可能达到最优的情况，否则就会在单形的外部.如图1所示：图、表的上方和下方都要空一行，图编号应在图片的正下方，表编号应在表格上方，使用五号宋体加粗图3.1 证法1示意图图、表必须写出名称，编号应紧

15、跟一级标题，如第1章里应标表1.1，1.2，第2章中应标表2.1，2.2等。因为到，两点距离之和的函数是关于,的即光滑又连续的函数，故此函数的最值只可能在,范围上的驻点和两个端点处取得.由上述可知这是条件极值问题，为了求其驻点构造Lagrange函数，则条件极值点就在方程组的所有解所对应的点中.用方程组中的第一式和第二式消去，与第三式组成新的只关于,的二元二次方程组通过Matlab编程 (程序见第五章)计算得到两个解及，又由的范围，故驻点只有一个为，也就是图1中的点.下面只需计算点在最高点及或点的坐标代入函数求值比较大小即可.当点在最高点位置时： ，当点在位置时：.显然，所以此种情况下 .如果

16、不按照上述证明中作到三角形的三个顶点的距离都为1，且的距离也为1，即是不是正三角形.当其中一条边长大于1时，不妨设，其它线段长不变.如图2所示：图3.2 示意图由上述的例点法求解目标函数在约束条件下的最小值的过程可知，此情况下函数最小值在其驻点或两个端点处取得，又驻点处的值最大，则最小值只可能在两端点或点.当在点处，由引理2可知，又因为.所以得.当在点处，同样由引理2可知.另外，如果其驻点与其中的一端点重合，由上述证明可知只需考虑一个端点即可，同样由引理2知这种情况下.如果的三边长不只是有一条边，即是当三边中有两条边长大于1或三条边长都大于1时，同理可证.综上所述，在二维空间单形中成立.证法2

17、 设点对三边所张的三个角分别是，如图3所示：图3.3 证法2示意图不妨设，则.因，所以不可能，故只需分1）及2）两种情形来证明.1) 时，则，而，于是，从而，故，即公式居中，按问题方便依次编号，编号放在最右端 （1）由余弦定理及引理1知 ，同理有. 所以 ， （2）由与在上的单调性及（1）（2）式知，故 . （3）根据引理1及（1）（2）（3）式知，等号取得当且仅当，且.此时恰在有一内角为的的斜边的中点上.2)时，.同上，由余弦定理及引理1知 ， （4）记（4）式的右端为，则定义在区域：，.显然在区域上连续，且对的各阶偏导数都连续.现求在区域内的稳定点: （5）因，由（5）式知.但点不在内（因

18、），故在内无稳定点.又在内偏导连续，所以只能在的边界上取得最小值.因此我们只要考虑边界 （这里：， ）上的函数值.在上，因，所以=.故此时必须，即在边界上实际上只有一点坐标为，而.在上，于是.因，所以.故在上的最小值即是在上的最小值.因在上的唯一解是，而，故在上，即在上单调减，故在上的最小值为.此时.总之，在上的最小值为，所以在上的最小值为，同时由上述证明可知，那么.3.2 定理1.2的证明 定理1.2 .证 明 为了方便计算，不妨设平面中5个不同点中任意两点之间的最小距离为，且设由三点组成三角形，为其内部或边上的两点.下面分三种情形讨论：（i）全在的边上；（ii）两点一个在的边上，另一个在的

19、内部；（iii）全在的内部.3.2.1 情形（i）的证明 此时又可以分如下两种情况讨论：1）两点在的同一条边上，不妨设两点在的线段上（不包括两端点位置）如图4所示：图3.4 四点共线示意图 证 明 由图分析可知到四点的距离之和最小值只可能在图中四个半径为1的虚线圆互相相交的三个点位置出现，而在点的左右两个对称点位置分别到四点的距离之和是一样的，故只需要考虑分别到四点的距离之和的大小即可，计算得到四点的距离之和为 ，计算得到四点的距离之和为，显然，所以此时的最小值.2）两点分别在的两条不同的边上，不妨设在线段上，在线段上.如图5所示：图3.5 在不同边上示意图证法1 因，在凸四边形中，由引理3知

20、对角线之和，等号取得当且仅当凸四边形是一内角为的菱形，但是在这种情况下显然与不可能平行，更不可能成为菱形，故等号是取不到的，则，则 .从上述证明过程，可以看到要想最小值最大限度的接近这个结果，只要上面那些不等式取得等号，不能取得等号的最大限度的接近等号值即可.显然，首先可以作，因为一开始假设，那么只能分别为，的中点，且，此时计算得，另外又已知直线外一点到这条直线的垂线段是最短的，而此时恰好，.为最小值.此时当且仅当为边长2的正三角形且分别为的与的中点时取最小值.则.证法2 5个不同点共构成了10条线段，要想让它们的和最小就得保证他们中长度为1的个数最大限度的越多越好，其余长度大于1的在这些成度

21、为1的基础上和越小越好.因此，可以先使得三点组成正三角形，又因为，在边上，故分别延长到，到，使得，此时恰好，则与也都达到了最小值，进而，在此构形下的.则.证法3 观察图像可以发现，整个线段图总可以看成是由一个三角形中边上的一点和三个顶点之间的6条线段再加上多出的一点到其余四点的4条线段构成的.比如此图可看作边上的一点共组成6条线段再加上剩余一点到另外四点的4条线段构成的.那么，可以先把边上的一点共组成6条线段长度最短看作是的最优问题.根据定理1，知道只有当是以内角为的直角三角形且是斜边上的中点，这时候这条线段长度之和最小值为.下面再考虑剩余一点到另外四点的4条线段长度之和最小的情况：当时，为了

22、4条线段长度之和最小，那么每条线段都必须取得最小值才可以.而又发现它们的长度都随着的长度变小而变小，显然最小为，此时它们各个长度都随着变化达到了自己的最小值，此时到另外四点的条线段长度之和最小值为.当时，为了保证，那么点必须在的最优情况下的位置向右侧移动，移动的距离也只能是1，这样一来显然，那么10条线段的长度之和肯定大于.故只的情况下取最小.则.3.2.2 情形（ii）的证明此时也可以分如下两种情况讨论：1）两点与的一个顶点在同一条直线上，不妨设两点与顶点共线，如图6所示：图3.6 三点共线示意图证 明 在图6中，因在的一边上，由定理1知.下面假设是的直角三角形，这样才比假设时得到的结果小，

23、那么其对应的边的长度才较小，此时可计算知.由是的一个外角，也就是.现在令，因为大角对大边，故有.则 .2) 两点与的三个顶点中任意一个顶点都不在同一条直线上，如图7所示：图3.7 三点不共线示意图证 明 在图7中，因在的一边上，由定理1知，等号取得当且仅当恰在一内角为的的斜边的中点上.在内，由定理1知，等号取得当且仅当恰在有一内角为的的斜边的中点上，由图7可知第二个等号一定不能取得到.在假设其能取到等号的情况下，,，则 .3.2.3 情形（iii）的证明此时同样也可以分如下两种情况讨论：1) 两点与的三个顶点的其中一个在同一条直线上，不妨设,三个点共线.如图8所示： 图3.8 三点共线示意图证

24、 明 在图8中，两点都在内，且两点三角形中任意一个顶点在一条直线上，不妨如图8所示与点在同一条直线上.那么我们可以作为正三角形，且到的距离为1，到的距离也为1，这样，的运动范围就是在以为圆心，以为半径所作的圆与的反向延长线的两个交点的弧线段上运动.与图1情形一样的，那么根据定理1中的方法2的证明，即知最小值点位置处取得，不妨假设在也就说四点在同一条直线上，此时恰好如图4中所示的最小值为，显然大于.故在此情况下.2) 两点与的三个顶点中任何一个顶点都不在同一条直线上，如图9所示：图3.9 三点不共线示意图证 明 在图9中，因在内在内,由引理2，,等号取得当且仅当,分别恰在有一内角为的与的斜边的中

25、点上.所以这里只能取到,.下面说明在假设而且的情况下，.在假设的情况下，这两个中至少有一个是.不妨假设，又因为三点不在同一直线上，且点也不可能出现在直线的上侧，那么肯定是个钝角，因为大角对大边，所以只要令是直角，那么，所以显然. 则 . 综合上诉（i）（ii）（iii）种情形的证明，即证成立.3.3 定理3的证明 定理3 .3.3.1 图形构造与证明 证 明 设三维空间内单形中任意两点之间的距离最小为1.先考察任意一个点在任意一个四面体的内部的情况，如图10所示：图3.10 在单形内部示意图由上面的假设可知，那么求的下确界，即是求的最小值.由这5个点共连结成10条线段，要想使这10条线段长度之

26、和最小，又已知，那么可推知这10条线段的成度为1的条数越多越好，不能达到1即大于1的所有和最小最好.先从内部的点考虑，与四面体的四个顶点，连结成四条线段 ，令其长度都为1.再考察四个顶点连结成的6条棱中可以最多有多少个为1呢？()不妨设6条棱全为1.那么此时的四面体就是一个正四面体，根据引理4可知与四面体的四个顶点连结成四条线段中必然有长度小于1的线段，这显然与假设相矛盾.()设4条棱为1.不妨假设的长度全为1，如图11所示：图3.11 4条棱为1示意图下证这样情况的图形是不存在的. 证 明 不妨先假设的长度全为1，的长度全大于1.又已知的长度全为1.这样的条件下可作图12所示： 图3.12

27、转动最大范围示意图下面为了让的长度缩小变成1，则可以以点为圆心，以=1为半径在平面内旋转可以使的长度缩小为1.但事实上可以只能沿着由线段的反向延长线组成的倒四面体截以点为球心，以1为半径的球面所得球盖区域内运动，一旦运动超过这个区域的话，点就会出现在四面体的外部，这与研究的题意相矛盾.又因平面内旋转曲线与球盖区域肯定相交于一点，不妨设为，此时为临界点 .显然，这时的长度大于1.故不可能使的长度缩小变成1.()设5条棱为1.由（）的情况的证明，可知有5条棱为1，肯定不成立. 所以由以上（）（）（）情况的证明可得6条棱中最多只有3个1.下面考察3条为1 的棱的组合情况：1) 同一顶点的三条棱为1，

28、如图13所示： 图3.13 同一顶点的三条棱为1示意图不妨设的长度为1，那么又由在其四面体的内部，故与其余四个顶点组成的中必有一个为钝角，不妨设为钝角，那么的长度就大于1，这与假设矛盾.故此种情况不成立.2)相邻的两条棱为1，再加上与其中一条棱异面，与另外一条棱共面的棱为1，不妨设的长度为1,如图14所示：图3.14 共两个顶点的三条棱为1示意图实际上这样的图形也是不存在的，但是直接从正面证明是很不容易的.所以先假设为正四面体，下面再移动使到的距离可以在大于等于1的范围内变化，此时到的距离显然大于1.为了让到的距离的减小到1，必须让如图12所示移动同时也移动，这样也只能使到的距离为1，到的距离

29、为1是不可能的，所以此情况2）是不存在的.3) 共面的三条棱都为1.不妨设都为1，此时恰好构成一个正四面体.即此情况是成立的.综上所述，最优四面体中一定包含一个各边长为1的小正四面体，因此只需考虑求三条棱长之和最小值即可.只能在由线段的分别反向延长线组成的倒四面体截以点为球心，以1为半径的球面所得球盖区域上运动，否则点就会在四面体的外部，这与研究内容不符.如图15所示：图3.15 在球盖区域运动示意图3.3.2 建立模型和输出结果由图15可知随着的运动，三条棱长之和也在发生着变化.下面关键就是求当运动到哪个位置时，和最小为多少?事实上，根据上述图形构造与证明及定理1可以先大胆地猜测，运动的临界

30、位置即使得三点在同一直线上且是的中点，是最优位置.那么根据各个线段的长度，可推知，此时的最小值为.下面用MATLAB编程求解证明.在图15的基础上作空间直角坐标系，以为原点，以的中点与的连线为轴，垂直纸面向里的射线为轴，垂直轴竖直向上的射线为轴，各个点坐标如图16所示：图3.16 建立空间直角坐标系示意图 设三条棱长之和的函数为，这样一来问题就转化为求此函数当点在由线段的分别反向延长线组成的倒四面体截以点为球心，以1为半径的球面所得球盖区域上远动时的最值问题，且是求其最小值问题.其中球盖区域的数学表达式如下：因为函数是关于的连续且光滑的函数，故其最值应该在一些驻点及边界上取得. 由上述说明可知

31、这是一个条件极值问题，目标函数为，约束条件为且只是上述球盖区域上的点.为了求其驻点构造Lagrange函数则条件极值点就在方程组的所有解所对应的点中.用方程组中的第一式，第二式及第三式消去，与第四式组成新的只关于,的三元二次方程组通过Matlab编程 (程序见第五章)计算得到上述关于,的三元二次方程组的一个近似解如下：，故驻点只有一个，在误差允许的范围内也就是图16中的最高点.那么只需考虑点在驻点（球盖的最高点的坐标）的函数值及点在三个弧线段上运动时函数的值，然后比较求出最小值即可.事实上，根据球盖区域图形关于轴对称故只需考虑点在驻点（即球盖的最高点）及即是和的在的部分也即是 通过MATLAB

32、编程（程序见第六章）输出的结果如下：1.下面是程序1求最高点位置的函数值的编程的结果:程序1：这是最高点位置的函数值:M=5.718116这是最高点的坐标:x=0.577350y=0.000000z=1.8164972.下面是程序2求函数值的编程的结果：2.1程序2：这是A4动点在弧线段BA3上运动的函数最小值:M=5.4640852.2程序2：这是A4动点在B点位置的函数值:M=5.639834这是B点的坐标:x=0.244017y=-0.000447z=1.7593052.3程序2：这是A4动点在A3处的函数值:M=5.464085这是A3点位置的坐标:x=0.288675y=-0.500

33、000z=1.6329933.下面是程序3求函数值的编程的结果:3.1程序3：这是A4动点在弧线段A3A1上运动的函数最小值:M=5.4640863.2程序3：这是A4动点在A3'点位置的函数值:M=5.464086这是A3点位置的坐标:x=0.288675y=-0.500000z=1.6329933.3程序3：这是A4动点在A1点位置的函数值:M=5.464110这是A1点位置的坐标:x=1.154700y=0.000000z=1.6329933.3.3 结果分析 1. 由程序1输出的结果可知当动点在驻点即最高点位置坐标为时，函数值为.2由程序2中的程序2.1输出的结果可知当动点在的

34、在的部分即是上运动时，函数最小值为.又由程序2.2及程序2.3输出的结果知，当点在点时，函数值为；当点在点时，函数值为.所以可以肯定动点在的在的部分即是上运动时，其函数最小值应该是在点位置取得的.3. 由程序3中的程序3.1输出的结果可知当动点在上运动时，函数最小值为.又由程序3.2及程序3.3输出的结果知，当点在点时，函数值为；当点在点时，函数值为.可以看到点在及处的函数值相差很小，产生这种偏差是因为MATLAB编程中要取步长，这样一来函数的取值范围是间断的点其连线几乎接近光滑连续的曲线，从而导致函数值也是一系列间断值与精确值肯定会有差距，但是在误差允许的范围内可以认为是相等的.所以可以肯定

35、动点在上运动时，其函数最小值应该是在点位置及点处取得的.所以综合以上分析的结果，可以肯定函数最小值应该在及位置处取得的，无论函数值是还是或者是，结果都非常接近精确值，这也就求解并验证了前面的猜测结果是正确的.故.3.3.4 证明思路的延拓延拓1 求在平面上的投影（如图15所示）曲线方程为且的在的部分在平面上的投影（如图15所示）曲线方程为那么的部分的球盖在平面上的投影区域为当在变化时都可以在上面的投影区域中找到唯一的的坐标，再通过下面这个约束条件可以唯一确定出的坐标，这样可以确定出点在球盖区域上的所有坐标，进而利用函数，可以求出各种情况的值，然后就可以求出其中的最小值即为解.具体的MATLAB

36、编程思路同定理3.延拓2 由定理3的证明过程，我们可以看到上述求函数最小值的过程就是一个最优化的问题，所以完全可以建立非线性优化模型，然后利用LINGO软件求解.目标函数： 约束条件：求的最小值.模型如下：其详细的计算程序要具体结合非线性规划函数及LINGO软件程序语言编写.3.4 定理1.4的证明 定理4 .证 明 从定理1.1的结论知在二维平面内任一个单形内部或边上增加一点的话，能够取得最小值的最优单形是一内角为，一直角边长为1，另一直角边长为，斜边长为2且增加的一点在斜边的中点上的直角三角形. 从定理2的结论知在二维平面内任一个单形内部或边上增加两个点的话，能够取得最小值的最优单形是一正

37、三角形三长都为2且增加的两点分别在两个不同的边的中点上.若让定理1.1中的二维平面上的最优单形以长为的直角边为轴在二维空间内作的翻转后构成的单形恰好是定理2中的最优单形.以此，若让定理1中的最优单形以长为的直角边为轴在三维空间内旋转且保证两斜边上的中点的距离为1是不可能的.故让定理1中的二维平面上的最优单形以长为1的直角边为轴在三维空间内旋转角即可得到在三维空间内任一个单形内部或边界上增加两点的单形，其可能是最优的单形，此时有成立.则有.3.5 定理1.5的证明 定理1.5 .证 明 从定理1.1的结论知在二维平面内任一个单形内部或边上增加一点的话，能够取得最小值的最优单形是一内角为，一直角边

38、长为1，另一直角边长为，斜边长为2且增加的一点在斜边的中点上的直角三角形.从定理1.3的结论知在三维空间内任一个单形内部或边界上增加一点的话，能够取得最小值的最优单形是由两个一内角为的且共一斜边的直角三角形即一直角边长为1，另一直角边长为，斜边长为2，且增加的一点在斜边的中点上的全等直角三角形与一个长为1的正三角形为底共同构成的四面体.事实上，若让定理1.1中的二维平面上的最优单形以长为2的斜边为轴在三维空间内旋转即可得到定理3中的最优单形，即是在三维空间单形中增加一点的最优四面体是由两个在二维空间单形中增加一点的最优三角形共用一条长为2的斜边，再加上一条长为1的边构成，则. 据此，四维空间单

39、形中增加一点的最优单形可看作是由两个三维空间中增加一点的最优四面体共用一个二维空间单形中单形增加一点的最优三角形，再加上一长为1的边构成的，则.五维空间中最优单形可由两个四维空间中最优单形共用一个三维空间中最优四面体，再加上一条长为1的边构成的.故可以依次得到维空间中最优单形满足如下一个递推关系求解也就是组合数学中关于常系数线性非齐次递推关系的求解问题，利用组合数学的知识求解得 .那么在维空间单形中增加一点的最优单形的所有点之间的长度之和的下确界范围为.3.6 两个猜想 在定理1.4与定理1.5的证明中可以看出，如上两个不等式应该是很优的，自然有如下两个猜想，即不等式中的不等号应取等号：猜想1

40、 .猜想2 .第四章 结语本文运用分析学、离散与组合几何理论中的有关知识对2维空间中的单形内一点（或两点）与单形的顶点共4（或5）个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值及3维空间中的单形内一点与单形的顶点共5个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究，通过论证得到了5个定理和两个非常有意思且值得探索的猜想.但是还有不足之处： 第一，有些证明的过程繁琐，可以继续研究寻找一些相对比较简捷的方法；第二，对于两个猜想结果没有给出具体的证明.此外，本论文还可以进一步探讨的问题是：在2维空间中的单形内可以研究三点或四点或五点甚至推广到个点与单形的顶点共6或7或8甚至是共个点中所有点之

41、间距离之和与最小距离比值的最小值；对于3维空间中的单形也是一样可以推广研究的；更深层次的可以推广到维空间中个点，不仅仅限于本文所猜想的维空间中个点的情形.要想得到上述各类推广结果可能非常困难.当然，本文后续研究也有很多方面,比如探索一些简便的证明方法、按照定理3的延拓思路1及延拓思路2进行具体的证明，以及推广到维空间中个点的情况等等，其中一个重要的研究内容，就是给出猜想1，猜想2的证明.第五章 Matlab编程程序本章也可放入附录；附录内容汉字用宋体小四， 1.5倍行距。若是程序则用Times New Roman小四。5.1 Matlab程序1求最高点位置的函数值fprintf('1.

42、下面是程序1求最高点位置的函数值的编程的结果:n');M=6;a1=0 0 0;a2=0.866 -0.5 0;a3=0.866 0.5 0;x=0.5773502;y=0;z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965;d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2);d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2);d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2);f=d1+d2+d3; if f<M M=f; endfprintf('程序1：这

43、是最高点位置的函数值:M=%fn',M)fprintf('这是最高点的坐标:nx=%fny=%fnz=%fn',x,y,z)5.2 Matlab程序25.2.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序fprintf('2.下面是程序2求函数值的编程的结果n'); M=6;a1=0 0 0;a2=0.866 -0.5 0;a3=0.866 0.5 0;for x=0.2440169:0.0000001:0.2886751 y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)2); z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965

44、; d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<M M=f; endendfprintf('2.1程序2:这是A4动点在弧线段BA3运动的函数最小值:M=%fn',M)5.2.2 求动点在点与点位置的函数值Matlab程序M=6;a1=0 0 0a2=0.866 -0.5 0;a3=0.866 0.5 0;for x=0.244016

45、9%:0.0000001:0.2886751 y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)2); z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965; d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<M M=f; end endfprintf('2.2程序2：这是A4动点在B点位置的函数值:M=%fn',M)

46、 fprintf('这是B点的坐标:nx=%fny=%fnz=%fn',x,y,z)M=6;a1=0 0 0;a2=0.866 -0.5 0;a3=0.866 0.5 0;for x=0.2886751%0.2440169:0.0000001:0.2886751 y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)2); z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965; d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(

47、x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<M M=f; endendfprintf('2.3程序2：这是A4动点在A3处的函数值:M=%fn',M) fprintf('这是A3点位置的坐标:nx=%fny=%fnz=%fn',x,y,z)5.3 Matlab程序35.3.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序fprintf('3.下面是程序3求函数值的编程的结果:n'); M=6;a1=0 0 0;a2=0.8660 -0.5 0;a3=0.8660 0.5 0;for x

48、=0.2886751:0.0000001:1.1547005y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)2-84*(x-0.5773502)2+28)/14; z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965; d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<M M=f; en

49、dendfprintf('3.1程序3：这是A4动点在弧线段A3A1运动的函数最值:M=%fn',M)5.3.2 求动点在点与点位置的函数值Matlab程序M=6;a1=0 0 0;a2=0.8660 -0.5 0;a3=0.8660 0.5 0;for x=0.2886751%:0.0000001:1.1547005y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)2-84*(x-0.5773502)2+28)/14;z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965; d1=sqrt(x-a1(1).2+

50、(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<M M=f; endendfprintf('3.2程序3：这是A4动点在A3'点位置的函数值:M=%fn',M)fprintf('这是A3点位置的坐标:nx=%fny=%fnz=%fn',x,y,z) M=6;a1=0 0 0;a2=0.8660 -0.5 0;a3=0.8660 0.5 0;for x

51、=1.1547005%0.2886751:0.0000001:1.1547005y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)2-84*(x-0.5773502)2+28)/14; z=sqrt(1-(x-0.5773502)2-y2)+0.8164965; d1=sqrt(x-a1(1).2+(y-a1(2).2+(z-a1(3).2); d2=sqrt(x-a2(1).2+(y-a2(2).2+(z-a2(3).2); d3=sqrt(x-a3(1).2+(y-a3(2).2+(z-a3(3).2); f=d1+d2+d3; if f<

52、;M M=f; endendfprintf('3.3程序3：这是A4动点在A1点位置的函数值:M=%fn',M)fprintf('这是A1点位置的坐标:nx=%fny=%fnz=%fn',x,y,z) 5.4 Matlab程序4求解驻点1.求解定理1证法1中二元二次方程组的程序x,y=solve('x2-x+y2-3(1/2)*y=0','(y-3(1/2)*x)/(x2+y2)(1/2)+(3(1/2)-3(1/2)*x-y)/(sqrt(x-1)2+y2)= 0').2.求解定理3中三元二次方程组的程序x,y,z=solve('(x-sqrt(3)/3)2+y2+(z-sqrt(6)