2022年初中九年级数学专题复习教案：动态几何之定值问题探讨

1、【2013 年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、 线动和面动三大类，解这类题目要 “ 以静制动 ” ， 即把动态问题， 变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨： （1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例 1：

2、 （2012 黑龙江绥化8 分）如图，点 e 是矩形 abcd 的对角线bd 上的一点， 且 be=bc ，ab=3 ，bc=4 ，点 p 为直线 ec 上的一点，且pqbc 于点 q，prbd 于点 r（1）如图 1，当点 p 为线段 ec 中点时，易证：pr+pq= 512（不需证明）（2）如图 2，当点 p 为线段 ec 上的任意一点（不与点e、点 c 重合）时，其它条件不变，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图 3，当点 p 为线段 ec 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则pr 与 pq 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答

3、案】 解： （2）图 2 中结论 prpq=125仍成立。证明如下：连接 bp，过 c 点作 ckbd 于点 k。四边形abcd 为矩形，bcd=90 。又 cd=ab=3 ， bc=4 ， 22 22bdcdbc345。sbcd=12bc?cd=12bd?ck， 3 4=5ck ， ck=125。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 35 页 - - - - - - - - -sbce=12be?ck， sbep=12pr?be， sbcp=12pq?bc，且sbce=sbepsbcp，12be?ck=12pr?be12pq?

4、bc。又 be=bc ，12ck=12pr12pq。 ck=pr pq。又 ck=125， prpq=125。（ 3）图 3 中的结论是prpq=125【考点】 矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】（2）连接 bp，过 c 点作 ckbd 于点 k根据矩形的性质及勾股定理求出 bd 的长，根据三角形面积相等可求出ck 的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图 3 中的结论是prpq=125 。连接 bp，sbpesbcp=sbec，s bec 是固定值， be=bc 为两个底， pr，pq 分别为高，从而prpq=125。例 2： （2012 江西省 10 分）如图，已知二次函数l1：

5、y=x24x+3 与 x 轴交于 ab 两点（点a 在点 b 左边） ，与 y 轴交于点c（1）写出二次函数l1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数l2： y=kx2 4kx+3k （k0 ） 写出二次函数l2与二次函数l1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k，使 abp 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；若直线y=8k 与抛物线l2交于 e、f两点，问线段ef 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 ef 的长度；如果会，请说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 35 页 - -

6、 - - - - - - -【答案】 解： （1）抛物线22yx4x3x21，二次函数l1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2， 1） 。（2）二次函数l2与 l1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过a（1，0） ，b（3，0）两点。存在实数k，使 abp 为等边三角形22ykx4kx3kk x2k，顶点p（2， k） a（1，0） ，b（3，0） ， ab=2 要使 abp 为等边三角形，必满足|k|=3，k=3。线段 ef 的长度不会发生变化。直线 y=8k 与抛物线l2交于 e、f 两点，kx24kx+3k=8k ， k0 ， x24x+3=8。解得： x1=1，x2

7、=5。ef=x2x1=6。线段 ef 的长度不会发生变化。【考点】 二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c 中： a的值决定了抛物线的开口方向，a0 时，抛物线的开口向上； a0 时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。当 abp 为等边三角形时，p 点必为函数的顶点，首先表示出p点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的32倍，由此确定k 的值。精品学习资料 可选择p d f - - -

8、 - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 35 页 - - - - - - - - -联立直线和抛物线l2的解析式，先求出点e、f 的坐标，从而可表示出ef 的长，若该长度为定值，则线段ef 的长不会发生变化。例 3： （2012 山东德州12 分） 如图所示，现有一张边长为4 的正方形纸片abcd ，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点a、点 d 重合）将正方形纸片折叠，使点b 落在 p 处，点c 落在 g 处， pg 交 dc 于 h，折痕为ef，连接 bp、bh（1）求证： apb= bph；（2）当点 p 在边 ad 上移动时，pdh 的周长是否发生变化？并证

9、明你的结论；（3）设 ap 为 x，四边形 efgp 的面积为s，求出 s与 x 的函数关系式，试问s 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）如图 1， pe=be， ebp=epb又 eph=ebc=90 ， eph epb=ebc ebp，即 pbc=bph。又 ad bc， apb= pbc。 apb= bph。（2） phd 的周长不变为定值8。证明如下：如图 2，过 b 作 bqph，垂足为q。由（ 1）知 apb= bph，又 a= bqp=90 ，bp=bp ， abp qbp（aas） 。 ap=qp， ab=bq 。又 ab=bc

10、， bc=bq 。又 c=bqh=90 ，bh=bh ， bch bqh （hl ） 。 ch=qh 。 phd 的周长为： pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如图 3，过 f 作 fm ab，垂足为m，则 fm=bc=ab 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 35 页 - - - - - - - - -又 ef 为折痕， efbp。 efm+ mef= abp+ bef=90 。 efm= abp。又 a= emf=90 ，ab=me ， efm bpa（asa ） 。em=ap=x 在 rt

11、ape 中， （4be）2+x2=be2，即2xbe2+8。2xcfbeem2+x8。又四边形pefg 与四边形befc 全等，22211x11sbecfbc=4+x4=x2x+8=x2+622422。1042，当 x=2 时， s 有最小值6。【考点】 翻折变换（折叠问题） ，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而利用平行线的性质得出apb= pbc 即可得出答案。（2）先由 aas 证明 abp qbp，从而由hl 得出 bch bqh ，即可得ch=qh 。因此， pdh 的周长 =pd+dh+

12、ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8为定值。（3）利用已知得出efm bpa，从而利用在rtape 中， （4be）2+x2=be2，利用二次函数的最值求出即可。例 4： （2012 福建泉州12 分） 已知： a、b、 c 不在同一直线上. （1）若点 a、b、c 均在半径为r 的 o 上，i）如图一，当a=45 时， r=1，求 boc 的度数和bc 的长度；ii）如图二，当a 为锐角时，求证sina= bc2r；（2）.若定长线段bc 的两个端点分别在man 的两边 am 、an （b、c 均与点 a 不重合）滑动，如图三，当man=60 ，bc=2 时，分别作bpam ，cp

13、an ，交点为点p ，试探索：在整个滑动过程中，p、a 两点的距离是否保持不变？请说明理由. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 35 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1） i） a=45 ， boc=90 （同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又 r=1，由勾股定理可知bc=11=2。ii）证明：连接bo 并延长，交圆于点e，连接 ec。可知 ecbc（直径所对的圆周角为90 ） ，且 e=a（同弧所对的圆周角相等）。故 sina=sin a=bcbcbe2r。（2）保持不变。理由如下：如图，

14、连接ap，取 ap 的中点 k，连接 bk、ck，在 rtapc 中， ck=12ap=ak=pk 。同理得： bk=ak=pk 。ck=bk=ak=pk。点 a、 b、p、c 都在 k 上。由（ 1）ii）sina=bc2r可知 sin60 =bcap。ap=bc43sin603（为定值）。【考点】 三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 35 页 - - - - - - - - -角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出boc=2

15、 a=90 ，再利用勾股定理得出bc 的长；ii）作直径ce，则 e=a，ce=2r，利用 sina=sin e=bcbcbe2r，得出即可。（ 2）首先证明点a 、 b、 p、 c 都在 k 上，再利用sina=bc2r，得出ap=bc4 3sin603（定值）即可。例 5： （2012 山东潍坊11 分） 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a( 2，o)、b(2， 0)、c(0， l)三点，过坐标原点o 的直线 y=kx 与抛物线交于m、n 两点分别过点c、d(0，2)作平行于 x 轴的直线1l、2l(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以 on 为直径的圆与直线1l相切；(3)求线

16、段 mn 的长 (用 k 表示 )，并证明m、n 两点到直线2l的距离之和等于线段mn的长【答案】 解： （1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，则4a2b+c=04a+2b+c=0c=1解得1a=4b=0c=1。抛物线对应二次函数的解析式所以21y=x14。（2）设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，因为点m、n 在抛物线上，22112211y =x1y =x144， x22=4(y2+1)。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 35 页 - - - - - - - - -又2222222222onxy4 y1

17、yy2，2ony2。又 y2 l， on=2 y2。设 on 的中点 e，分别过点n、e 向直线1l作垂线，垂足为 p、 f， 则22yocnpef22，on=2ef ，即 on 的中点到直线1l的距离等于on 长度的一半，以 on 为直径的圆与1l相切。（3）过点m作mh np交np于点h，则222222121mnmhnhxxyy，又 y1=kx1，y2=kx2，（ y2y1)2=k2(x2x1)2。 mn2=(1+k2)(x2一 xl)2。又点 m、n 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，21kx=x14，即 x24kx4=0， x2x1=4k，x2 x1=4。mn2=(1+k2)(x2

18、一xl)2=(1+k2) (x2 xl)2 4x2 xl =16(1+k2)2。mn=4(1+k2)。延长 np 交2l于点 q，过点 m 作 ms2l交2l于点 s，则 msnq=y1 2y22=221211x1+x1+444222222121212111=x+x+2=x +x2xx+2=16k +8 +2=4k +4=4 1+k444 ms+nq=mn ，即 m、n 两点到2l距离之和等于线段mn 的长。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程

19、的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以on 为直径的圆与直线1l相切，只要证on 的中点到直线1l的距离等于on 长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出mn 和 m、n 两点到直线2l的距离精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 35 页 - - - - - - - - -之和，相比较即可。例 6： （2012 湖北咸宁10 分）如图 1，矩形 mnpq 中，点 e，f，g，h 分别在 np，pq，qm，mn 上，若4321，则称四边形efgh 为矩形 mnpq 的反射四边形图2，图

20、3，图 4 中，四边形abcd 为矩形，且ab=4 ，bc=8 理解与作图：（1）在图 2，图 3 中，点 e，f 分别在 bc，cd 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 abcd 的反射四边形efgh计算与猜想：（2）求图 2，图 3 中反射四边形efgh 的周长，并猜想矩形abcd 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长gf 交 bc 的延长线于m，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想【答案】 解： （1）作图如下：（2）在图 2 中，22effgghhe24202 5，精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

21、- - - - - - - - 第 9 页，共 35 页 - - - - - - - - -四边形efgh 的周长为8 5。在图 3中，22efgh215，22fghe36453 5，四边形efgh 的周长为2523 58 5。猜想：矩形abcd 的反射四边形的周长为定值。（3）延长 gh 交 cb 的延长线于点n，12，15，25。又 fc=fc，rtfcertfcm（asa ） 。ef=mf ，ec=mc 。同理： nh=eh ，nb=eb 。 mn=2bc=16 。m905901，n903，13，mn。gm=gn 。过点 g 作 gk bc 于 k，则1kmmn82。2222gmgkkm

22、484 5。四边形efgh 的周长为2gm8 5。矩形abcd 的反射四边形的周长为定值。【考点】 新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。（2）图 2 中，利用勾股定理求出ef=fg=gh=he 的长度，然后即可得到周长，图3 中利用勾股定理求出ef=gh，fg=he 的长度，然后求出周长，从而得到四边形efgh 的周长是定值。（3）延长 gh 交 cb 的延长线于点n，再利用 “asa ” 证明 rtfce 和 rtfcm 全等，根据全等三角形对应边相等可得e

23、f=mf ，ec=mc ，同理求出nh=eh ， nb=eb ，从而得到 mn=2bc ，再证明gm=gn ，过点 g 作 gk bc 于 k，根据等腰三角形三线合一的性质求出1kmmn82，再利用勾股定理求出gm 的长度，然后即可求出四边形efgh 的周长。例 7： （2012 广西崇左10 分） 如图所示，在正方形abcd 中，点 e、f 分别在 bc、cd 上移动，但点a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 35 页 - - - - - - - - -到 ef 的距离 ah 始终保持与ab 的长度相等，问在点e、f 移

24、动过程中；（1） eaf 的大小是否发生变化？请说明理由. （2） ecf 的周长是否发生变化？请说明理由. 练习题：1. （2011 湖南岳阳8 分） 如图，将菱形纸片ab（ e）cd（f）沿对角线bd（ef）剪开，得到 abd 和 ecf，固定 abd ，并把 abd 与 ecf 叠放在一起（1）操作：如图，将ecf 的顶点 f 固定在 abd 的 bd 边上的中点处，ecf 绕点 f在 bd 边上方左右旋转，设旋转时fc 交 ba 于点 h（h 点不与 b 点重合），fe 交 da 于点g（g 点不与 d 点重合）求证： bh?gd=bf2精品学习资料 可选择p d f - - - -

25、- - - - - - - - - - 第 11 页，共 35 页 - - - - - - - - -（2）操作：如图，ecf 的顶点 f 在 abd 的 bd 边上滑动（ f 点不与 b、d 点重合），且 cf 始终经过点a，过点 a 作 agce，交 fe 于点 g，连接 dg探究： fd+dg=请予证明2. （2011 四川眉山11 分） 如图，在直角坐标系中，已知点a（0，1） ，b（ 4，4） ，将点b 绕点 a 顺时针方向旋转90 得到点 c；顶点在坐标原点的拋物线经过点b（1）求抛物线的解析式和点c 的坐标；（2）抛物线上一动点p，设点 p 到 x 轴的距离为d1，点 p 到点

26、a 的距离为 d2，试说明 d2=d11；（3）在（ 2）的条件下，请探究当点p位于何处时，pac 的周长有最小值，并求出pac的周长的最小值3. （2011 湖南郴州10 分） 如图， rtabc 中， a=30 ，bc=10cm，点 q 在线段 bc 上从 b 向 c 运动，点 p 在线段 ba 上从 b 向 a 运动 q、p 两点同时出发，运动的速度相同，当点 q 到达点 c 时，两点都停止运动作pmpq 交 ca 于点 m，过点 p分别作 bc 、ca的垂线，垂足分别为e、f（1）求证： pqe pmf ；（2）当点 p、 q 运动时，请猜想线段pm 与 ma 的大小有怎样的关系？并证

27、明你的猜想；（3）设 bp=x， pem 的面积为y，求 y 关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 35 页 - - - - - - - - -4. （2011 辽宁营口14 分）已知正方形abcd ，点 p 是对角线 ac 所在直线上的动点，点e在 dc 边所在直线上，且随着点p 的运动而运动，pepd 总成立(1)如图 (1)，当点 p 在对角线ac 上时，请你通过测量、观察，猜想pe 与 pb 有怎样的关系？ (直接写出结论不必证明)；(2)如图 (2)，当点

28、 p 运动到 ca 的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图 (3)，当点 p 运动到 ca 的反向延长线上时，请你利用图 (3)画出满足条件的图形，并判断此时pe 与 pb 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1)(2) 5. （2011 贵州遵义12 分） 如图，梯形abcd 中， ad bc， bc20cm，ad 10cm，现有两个动点 p、q 分别从 b、d 两点同时出发，点 p 以每秒 2cm 的速度沿 bc 向终点 c 移动，点 q 以每秒 1cm的速度沿 da 向终点 a 移动，线段pq 与 bd 相交于点 e，过

29、e 作 efbc 交 cd 于点 f，射线 qf 交 bc的延长线于点h，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 35 页 - - - - - - - - -设动点 p、q 移动的时间为t（单位：秒， 0t10 ） （1）当 t 为何值时，四边形pcdq 为平行四边形？（2）在 p、q 移动的过程中，线段ph 的长是否发生改变？如果不变，求出线段ph 的长；如果改变，请说明理由6. （2011 黑龙江龙东五市8 分） 如图，点 e 是矩形 abcd 的对角线bd 上的一点，且 be=bc ，ab=3 ，bc=4 ，点 p 为直线

30、 ec 上的一点，且pqbc 于点 q，prbd 于点 r。（1）如图 1，当点 p 为线段 ec 中点时，易证：pr+pq=512（不需证明） 。（2）如图 2，当点 p 为线段 ec 上的任意一点（不与点e、点 c 重合）时，其它条件不变，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图 3，当点 p 为线段 ec 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则pr 与 pq 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例 1： （2012 湖北十堰3 分） 如图， o 是正 abc 内一点， oa=3 ，ob=4，oc=

31、5，将线段bo 以点 b 为旋转中心逆时针旋转60 得到线段bo ，下列结论：bo a 可以由 boc绕点 b 逆时针旋转60 得到； 点 o 与 o 的距离为 4； aob=150 ； aobos=6+3 3四形边；aocaob9 3ss6+4其中正确的结论是【】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 35 页 - - - - - - - - -abcd【答案】 a。【考点】 旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】 正 abc ， ab=cb ， abc=600。线段bo 以点b

32、 为旋转中心逆时针旋转60 得到线段bo ， bo=bo ，o ao=600。 o ba=600 abo= oba 。 bo a boc 。 bo a 可以由 boc 绕点 b 逆时针旋转60 得到。故结论正确。连接 oo ，bo=bo ，o ao=600， obo 是等边三角形。 oo =ob=4。故结论正确。在 aoo 中，三边长为o a=oc=5，oo =ob=4，oa=3 ，是一组勾股数， aoo 是直角三角形。 aob= aoo o ob =900600=150 。故结论正确。aoooboaobo11sss3 4+4 2 36+4 322四形边。故结论错误。如图所示，将aob 绕点

33、a 逆时针旋转60 ，使得 ab 与 ac 重合，点 o 旋转至 o 点易知 aoo 是边长为3 的等边三角形，coo 是边长为 3、4、5 的直角三角形。则aocaobaococooaoo113 39 3sssss3 4+3=6+2224。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选a。例 2： （2012 广西玉林、防城港12 分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形 aocd 的顶精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 35 页 - - - - - - - - -点 a 的坐标是（ 0,4） ，现有两动点p、 q，点 p从

34、点 o 出发沿线段oc（不包括端点o，c）以每秒 2 个单位长度的速度， 匀速向点c 运动，点 q 从点 c 出发沿线段cd （不包括端点c，d）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点d 运动 .点 p，q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t 秒，当 t=2 秒时 pq=52. （1）求点 d 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2） 连接 aq 并延长交x轴于点 e,把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延长线于点f,连接 ef， 则 aef的面积 s是否随 t 的变化而变化？若变化，求出s与 t 的函数关系式；若不变化，求出s 的值. （3）在（ 2）的条件下，t 为何值时，四边形apqf 是

35、梯形？【答案】 解： （1）由题意可知，当t=2（秒）时， op=4，cq=2，在 rtpcq 中，由勾股定理得：pc=2222pqcq2 52=4，oc=op+pc=4+4=8 。又矩形aocd ，a（0，4） ， d（ 8，4） 。t 的取值范围为：0 t4。（2）结论： aef 的面积 s不变化。 aocd 是矩形， ad oe， aqd eqc。cecqaddq，即cet84t，解得 ce=8t4t。由翻折变换的性质可知：df=dq=4 t，则 cf=cd+df=8 t。s=s梯形aocfsfcesaoe=12（oa+cf ）?oc+12cf?ce12oa?oe=124（ 8t） 8+

36、12（8t）?8t4t12 4 （88t4t） 。化简得： s=32 为定值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 35 页 - - - - - - - - -所以 aef 的面积 s不变化， s=32。（ 3）若四边形apqf 是梯形，因为ap 与 cf 不平行，所以只有pqaf。由 pqaf 可得： cpq daf 。 cp：ad=cq ：df，即 82t：8= t：4 t，化简得t212t16=0，解得： t1=6+25，t2=62 5。由（ 1）可知， 0 t4， t1=6+25不符合题意，舍去。当 t=62 5秒时，

37、四边形apqf 是梯形。【考点】 动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由勾股定理可求pc 而得点 c 的坐标，根据矩形的性质可得点d 的坐标。点p到达终点所需时间为8 2=4 秒，点 q 到达终点所需时间为4 1=4 秒，由题意可知， t 的取值范围为： 0 t4。（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出s关于 t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以aef 的面积 s不变化， s=32。（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。例 3： （2012 江苏苏州 9 分） 如图，正方形abcd 的边 ad

38、与矩形 efgh 的边 fg 重合，将正方形 abcd 以 1cm/s 的速度沿fg 方向移动，移动开始前点a 与点 f 重合 .在移动过程中，边ad 始终与边 fg 重合，连接 cg，过点 a 作 cg 的平行线交线段gh 于点 p，连接 pd.已知正方形abcd 的边长为1cm，矩形 efgh 的边 fg、gh 的长分别为4cm、 3cm.设正方形移动时间为x（s） ，线段 gp 的长为 y（cm） ，其中0 x 2.5.试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出y =3 时相应 x 的值；记 dgp 的面积为s1， cdg 的面积为 s2试说明s1s2是常数；当线段 pd 所在直线与正方

39、形abcd 的对角线ac 垂直时，求线段pd 的长 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 35 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （ 1）cgap， cgd=pag，则tancgd= tanpag。cdpg=gdag。gf=4，cd=da=1 ，af=x ， gd=3 x，ag=4 x。1y=3x4x，即4xy=3x。 y 关于 x 的函数关系式为4xy=3x。当 y =3 时，4x3=3x，解得 :x=2.5。（2）1211 4x11113s =gp gd=3xx+2s =gd cd=3x1x+22

40、3x22222，121131ss =x+2x+2222为常数。（3）延长 pd 交 ac 于点 q. 正方形 abcd 中， ac 为对角线，cad=45 。pqac ， adq=45 。 gdp=adq=45 。 dgp 是等腰直角三角形，则gd=gp 。4x3x=3x，化简得：2x5x+5=0，解得：55x=2。0 x2.5，55x=2。在 rtdgp 中，0gd552+10pd=2 3x =2 3=22cos45。【考点】 正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出ag 、gd 的长

41、度，再由tancgd= tanpag可解出 x 的值。（2）利用（ 1）得出的y 与 x 的关系式表示出s1、s2，然后作差即可。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 35 页 - - - - - - - - -（3）延长 pd 交 ac 于点 q，然后判断 dgp 是等腰直角三角形，从而结合x 的范围得出x 的值，在rtdgp 中，解直角三角形可得出pd 的长度。例 4： （2012 四川自贡12 分） 如图所示，在菱形abcd 中， ab=4 ， bad=120 ， aef为正三角形，点e、f 分别在菱形的边bccd 上滑

42、动，且e、f 不与 bcd 重合（1）证明不论e、f 在 bccd 上如何滑动，总有be=cf ；（2）当点 e、f在 bc cd 上滑动时，分别探讨四边形aecf 和 cef 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】 解： （1）证明：如图，连接ac 四边形 abcd 为菱形， bad=120 ，bae+ eac=60 ， fac+ eac=60 ， bae= fac。 bad=120 ， abf=60 。 abc 和 acd 为等边三角形。 acf=60 ，ac=ab 。 abe= afc。在 abe 和 acf 中， bae= fac，ab=ac

43、 ， abe= afc ， abe acf （asa） 。 be=cf 。（2）四边形aecf 的面积不变，cef 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 abe acf ，则 sabe=sacf。s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc，是定值。作 ah bc 于 h 点，则 bh=2 ，22aecfabc11ssbc ahbcabbh4 322四形边。由 “ 垂线段最短 ” 可知：当正三角形aef 的边 ae 与 bc 垂直时，边 ae 最短故 aef 的面积会随着ae 的变化而变化， 且当 ae 最短时， 正三角形 aef的面积会最小，又 scef=s四边形ae

44、cfsaef，则此时 cef 的面积就会最大精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 35 页 - - - - - - - - - scef=s四边形aecfsaef2214 32 32 3332。 cef 的面积的最大值是3。【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】 （1）先求证 ab=ac ，进而求证abc 、 acd 为等边三角形，得acf =60 ，ac=ab ，从而求证abe acf，即可求得be=cf。（2 ）由abe acf可得sabe=sacf，故根据

45、s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc即可得四边形aecf 的面积是定值。 当正三角形 aef的边 ae 与 bc 垂直时，边ae 最短 aef 的面积会随着ae 的变化而变化，且当ae 最短时，正三角形aef 的面积会最小，根据scef=s四边形aecfsaef，则 cef 的面积就会最大。例 5： （2012 湖南益阳12 分） 已知：如图1，在面积为3 的正方形abcd 中， e、f 分别是bc 和 cd 边上的两点，aebf 于点 g，且 be=1（1）求证： abe bcf ；（2）求出 abe 和 bcf 重叠部分（即beg）的面积；（3）现将 abe

46、绕点 a 逆时针方向旋转到ab e（如图 2） ，使点 e 落在 cd 边上的点e处，问 abe 在旋转前后与bcf 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由【答案】（1）证明：四边形abcd 是正方形，abe= bcf=90 ，ab=bc 。 abf+ cbf=90 。aebf， abf+ bae=90 。 bae= cbf。在 abe 和 bcf 中， abe= bcf，ab=bc ， bae= cbf， abe bcf（asa ） 。（2）解：正方形面积为3， ab=3。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 35 页 -

47、 - - - - - - - -在 bge 与 abe 中， gbe= bae ， egb= eba=90 ， bge abe 。2bgeabesbe =()sae。又 be=1， ae2=ab2+be2=3+1=4。2bgeabe2be133s=s428ae。练习题：1. （ 2011山东东营12 分）如图所示， 四边形 oabc 是矩形 点 a、c 的坐标分别为 (30，)，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 35 页 - - - - - - - - -(0，1)，点 d 是线段 bc 上的动点 (与端点 b、c 不重含

48、 )，过点 d 作直线12yxb交折线oab 于点 e。(1) 记 ode 的面积为 s求 s与 b 的函数关系式：(2) 当点 e 在线段 oa 上时，且tandeo=12。若矩形oabc 关于直线de 的对称图形为四边形1111o a b c试探究四边形1111o a b c与矩形 oabc 的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积；若改变请说明理由。2. （2011 浙江舟山、嘉兴12 分） 已知直线3kxy（ k 0）分别交x 轴、 y 轴于 a、b两点，线段 oa 上有一动点p 由原点 o 向点 a 运动，速度为每秒1 个单位长度， 过点 p作x轴的垂线交直线ab

49、于点 c，设运动时间为t 秒（1）当1k时，线段oa 上另有一动点q 由点 a 向点 o 运动，它与点p 以相同速度同时出发，当点 p 到达点 a 时两点同时停止运动（如图1） 直接写出 t 1 秒时 c、q 两点的坐标； 若以 q、c、a 为顶点的三角形与aob 相似，求 t 的值（2）当43k时，设以c 为顶点的抛物线nmxy2)(与直线 ab 的另一交点为d（如图 2） ， 求 cd 的长； 设 cod 的 oc 边上的高为h ，当 t 为何值时，h 的值最大？三、其它定值问题：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 35

50、 页 - - - - - - - - -典型例题：例 1： （2012 浙江义乌12 分）如图 1， 已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x273交于点 a （ 3，6） （1）求直线y=kx 的解析式和线段oa 的长度；（2）点 p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线 pm，交 x 轴于点 m（点 m、o 不重合） ，交直线 oa 于点 q，再过点q 作直线 pm 的垂线，交y 轴于点 n试探究：线段qm与线段 qn 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 b 为抛物线上对称轴右侧的点，点 e 在线段 oa 上（与点 o、a 不重合），

51、点 d（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足bae= bed= aod 继续探究： m 在什么范围时，符合条件的e 点的个数分别是1 个、 2 个？【答案】 解： （1）把点 a（3，6）代入 y=kx 得； 6=3k ，即 k=2。y=2x 。22oa3 +6 =3 5。（2）线段 qm 与线段 qn 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 q 作 qgy 轴于点 g，qhx 轴于点 h当 qh 与 qm 重合时，显然qg 与 qn 重合，此时qmqhqhtanaom=2qnqgoh。当 qh 与 qm 不重合时，qnqm，qgqh 不妨设点h，g 分别在 x、y 轴的正半轴上，

52、 mqh= gqn。又 qhm= qgn=90 ， qhm qgn。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 35 页 - - - - - - - - -qmqhqhtanaom=2qnqgoh。当点 p、q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得qm=2qn。线段 qm 与线段 qn 的长度之比是一个定值。（3）如图 2，延长 ab 交 x 轴于点 f，过点 f 作 fcoa 于点 c，过点 a 作arx 轴于点 r。 aod= bae， af=of 。oc=ac=15oa=522。 aro= fco=90 ， aor= foc，

53、 aor foc。ofao3 55ocor3。of=5155522。点 f（152， 0） 。设点 b （x，2422x +x273） ， 过点 b 作 bk ar 于点 k， 则 akb arf 。bkakfrar，即24226x +xx32737.536。解得 x1=6，x2=3（舍去）。点 b（6，2） 。bk=6 3=3， ak=6 2=4。 ab=5。在 abe 与 oed 中， bae= bed， abe+ aeb= deo+ aeb 。 abe= deo。 bae= eod， abe oed。设 oe=x ，则 ae=3 5x （0 x3 5） ，由 abe oed 得aeoda

54、boe，即3 5xm5x。22113 5139m=x 3 5x =x +x=x5+0 x3 5555524。顶点为39x524，。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 35 页 - - - - - - - - -如图 3，当9m=4时， oe=x=352，此时 e 点有 1 个；当90m4时，任取一个m 的值都对应着两个x 值，此时e 点有 2 个当9m=4时， e 点只有 1 个，当90m4时， e 点有 2 个。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。

55、【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据a 点坐标用勾股定理求出线段oa 的长度。（2） 如图 1， 过点 q 作 qgy 轴于点 g， qh x 轴于点 h， 构造相似三角形qhm与 qgn，将线段qm 与线段 qn 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即qmqhqhtanaom=2qnqgoh为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系bae= bed= aod ，可以得到 abe oed。在相似三角形abe 与 oed 中，运用线段比例关系之前需要首先求出ab 的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线） 的性质

56、求得ab 的长度。 设 oe=x ，则由相似边的比例关系可以得到m 关于 x 的表达式2139m=x5+524，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3） ，可见 m 在不同取值范围时，x 的取值（即oe 的长度，或 e 点的位置）有1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。例 2： （2012 山东淄博4分） 如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【】(a)4 个(b)3 个(c)2 个(d)1 个【答案】 c。精品学习资料 可选择p d f - - - -

57、- - - - - - - - - - 第 25 页，共 35 页 - - - - - - - - -【考点】 正方形的性质，折叠的性质，含30 度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。【分析】 如图，图中，abc=12abd 12 450 dbe ，即 abc 22.50。根据含 30 度角的直角三角形中30 度角所对的直角边是斜边的一半的性质， cd 12bc。图中，由折叠的性质，abc= abf，ecfb， abc= abf= ade= bdc 。 bc=dc 。又由正方形对折的性质和平行线的性质，知ad=bd ，根据直角三角形

58、斜边上中线的性质，得dc=12ab ，即 bc=12ab。满足它的一条直角边等于斜边的一半。图中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。图中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，知ab=cb ，ab=2bd ，abe= cbe，bc=2bd 。 bcd=300。 cbd=600。 abe cbe cbd=1800。 abe =600。 aeb =300。ab=12be。满足它的一条直角边等于斜边的一半。综上所述，这样的图形有2 个。故选c。例 3： （2012 四川绵阳 14 分）如图 1，在直角坐标系中，o 是坐标原点，点a 在 y 轴正

59、半轴上，二次函数y=ax2+16x +c 的图象 f 交 x 轴于 b、c 两点， 交 y 轴于 m 点，其中 b（-3，0） ，m（0，-1） 。已知 am=bc 。（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线f 上存在点d，使 a、b、c、d 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线bd 的解析式；（3）在（ 2）的条件下，设直线l 过 d 且分别交直线ba、bc 于不同的p、q 两点， ac 、bd 相交于 n。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 35 页 - - - - - - - - -若直线l bd，

60、如图 1 所示，试求11bpbq的值；若 l 为满足条件的任意直线。如图 2 所示，中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。【答案】 解：（ 1）二次函数y=ax2+16x +c 的图象经过点b（-3，0）， m（0，-1），19a3c0 6c1，解得1a6c1。二次函数的解析式为：211yxx166。（2）证明：在211yxx166中，令y=0，得211xx1066，解得x1=3，x2=2。c（ 2，0）， bc=5 。令 x=0，得 y=-1， m（0， 1）， om=1 。又 am=bc ， oa=am om=4 。 a（0， 4）。设 ad x 轴，交抛物线于点d