伯努利方程的应用

1、，伯努利方程及其应用伯努利，1738，瑞士。动能与压强势能相互转换。沿流线的伯努利方程将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元，沿流线切线方向dv a,tdtPg A scos p A p s A s整理后dt1 p dv a,t g cos因为coss将流体元的加速度转换成欧拉形式的加速度，沿流线的质点导数为dv a,tDv(s,t)vvvdtDtVts则导出z1 Pvvg -tv -sss此式为一维欧拉方程,使用下述关系将方程沿流:线积分。两边乘以dszdsdz, dsdp,v dvsss得：vds tvdvgdz丄dp0沿流线积分ds2vgzdp常数t2此式为欧拉方程的积分式，适合于可压、无

2、粘不定常运动。 对于不可压定常流动，则可简化为2笃gz卫常数此式为伯努利方程，二项分别表示单位质量流体具有 的动能、位置势能和压强势能。即总机械能守恒。应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。22gz12 y 1P1 V2 gz2 P2伯努利方程使用的限制条件（1）无粘性流体，（2） 不可压流体（3）定常流（4）沿流线。加入能量损失就可适应粘性流体。皮托（pitot）测速管：总压强与动压强皮托测速管又称为皮托-静压管，简称皮托管，为纪 念法国人皮托命名。皮托测速管由粗细两根同轴的圆 管组成，细管（直径约为1.5 mm）前端开孔（O点）， 粗管（直径约为6 mm在距前端适当长

3、距离处的侧壁 上开数个小孔（B点），在孔后足够长距离处两管弯900 成柄状测速时管轴线沿来流方向放置设正前方的 流速保持为V，静压强为p，流体密度为。粗细两管 中的压强被引入U形测压计中，U形管中液体密度m。试求用U形管液位差h表示流速V的关系式。解：设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。 从皮托管正前方A点到端点0再到侧壁孔B点的A0 E线是一条流线，A点的速度和压强分别为 v和p , 沿流线AO段按（B4.3.4）式列伯努利方程2 2怜gzA+卫号gzo P在皮托管端点O,流体速度降至零Vo 0 ,称为驻点，P0 称为驻点压强，U形管右支管测到的即是驻点压强.由 于za zo，由（a）

4、式可得Po P 1 V2上式中2 v2称为动压强，为流体质点的动能全部转化 为压强势能时应具有的压强.（b）式表明驻点压强为 静压强和动压强之和，故po称为总压强由（b）式动 压强可表为1 2-v Po p由于皮托管较细，流线上的AE两点的位置差可忽略，伯努利方程为Pb1 22VP2Vb2因VbV ,由上式Pb p ,即U形管左支通过皮托管侧壁小孔测到的是当地静压强.在U形管内列压强关系式可得Po P ( m )g h由于实际流体具有粘性及皮托管加工误差等原因， 流体动压强转化为U形管内液位差读数存 在误差，需乘上一个修正系数 k ,由(c) , (d)式可得(m )g h k1 v2k称为皮

5、托管系数，可通过用标准皮托管作标定测量后确定.由(e)式可得v半m 1h处开一个小孔，设液面水位不变，求出流速度和出流流小孔出流：托里拆利公式及缩颈效应 从一个大容器侧壁下部距离液面为 量。解：2V-2Vi 3 g乙$ gz-AeAQ vAsv A A 2ghQ kA._2gh KA 2ghV 2gzdQ VdA *2gz bdz 2、2g tan_| h z . zdzh13Q dQ 2 2g tan hz 2 z 2 dzA、n20=2阿 tan-尹 |hl 辭 tan- h%Q f(a)h52沿流线法向方向的速度压强关系式由牛顿第二定律：得2g A ncos p A (p P) A n考

6、虑到几何关系，有dzcosdn整理，得dz g -dn1_Q2 vnR忽略重力，得22P vn R若密度为常数，则有2dn gz 卫 常数R此式为沿流线法向方向的伯努利方程，应用条件为（1） 无粘性流体，（2）不可压流体（3）定常流（4）沿流 线法向。如果流线位直线时，曲率半径为无限大，则gz 卫常数P gz C此式与静压力公式相同。沿总流的伯努利方程将伯努利方程三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守 恒，即22gz卫）dQ常数以截面平均流速 V代替不均匀的速度分布， 引入动能修正因子。有dQV2考虑到质量守恒，得gz卫常数对于一个缓变流的两个截面，有M2gZiPi2V

7、；gZ2P2例题：Venturi管：沿总流的伯努利方程Vi22gziPiV222gz2P2V22 '2Vi2/Pi(gzi)(gz2理）PiP3g(ziZ3)p2 p5mg hg(Z2 Z4)(gz p3 gw g君 (gz2 -p5 h gz> gzi)mg h g(z4 Z3)严 i)g hViU2gh应用连续性方程V2Ai1I 12ITI /I2AJ A21kA2g h伯努利方程的意义2g2gp常数gpH 常数g1V122gZ1P1g2gZ2P2ggzgz1P1 v22gz2P2ds1V122gZ1P1g2V222Z2P2gdlV1 tV2 t V tdldVdtdldVd

8、tdl器沦0不可压缩粘性流体内流管道入口流动示意图,设管直径为d,管口外均流速度为 U。从 开始，流体在壁面上被滞止，形成边界层。边界层 外仍保持为均流，称为核心流。由壁面不滑移条件引起壁面附近的流速降低，为满足质量守恒定律，核心流流速增大，速度廓线由平坦逐渐变为凸出。随着边界层厚度不断增长，核心 流不断加速，直至 处四周的边界层相遇，核心流消失，整个管腔被边界层流动充满，此后速度廓线不再变化。称为入口段流动或发展中流动的速度廓线，均可通过求解N-S方程获得。入口段的压强损失,可利用动量方程求解。由例B441D推导得管道入口段压强损失系数为cpPo Plu2式中Po,pL分别为x=0和x=L处

9、的压强。 管壁粗糙度的函数，在充分发展定常流动中称为达西摩擦因子，它是管道形状，雷诺数和为常数（将在中详细讨论）。（C321）式中的项为入口段中相应于充分发展段中的压强损失。K为入口段中特有的附加压强损失，它由两部分组成：将均流加速成充分发展流动所需要的压强系数；由于入口段壁面速度廓线陡峭，壁面切应力大于充分发展段的壁面切应力，为克服这部分阻力差值所需要增加的压强系数。入口段和充分发展段的压强损失系数曲线如图分别为实线和虚线）所示。入口段附加压强损失 K是入口段长度L,雷诺数Red及管道形状因子的函数，可运用有限差分法求解N-S方程获得。根据计算的K值可估算入口段的长度 L。圆管入口段长度与直

10、径的比值的典型公式为0.06Red 层流，L 4.4（Red ）1/6湍流dd对层流，最大的入口段长度为LMax= x 2300 x d=138d, （Re=2300）对湍流，由于边界层厚度增加较快，入口段长度比层流短的多Lt= （2040）d, （Re=104106）在实际的工程长管线中，如口段长度所占的比例往往是微不足道的，因此除特殊要求 为其通常不予考虑， 全长均按充分发展流动处理，但对一些较短的管道， 则应该考虑入口段影响。平行平板间的层流流动是N-S方程具有解析解的典型例子之一，包括固定平板间的压差流，平板间作相对平移运动的剪切流及两种流动同时存在的一般库埃特流。分析库埃特流不仅有理

11、论意义而且有工程背景，如气体或液体在活塞表面与缸壁间的缝隙中的泄漏流动， 机床中滑块与导轨面的间隙中的润滑油流动，及滑动轴承的轴颈和轴承的间隙中润滑油流动由于缝隙（b）很小，流动雷诺数不大，属于层流流态，均可用简化的无限大平行平面 间的粘性流体定常层流模型来分析。圆管湍流流动湍流尚无确切和全面的定义。湍流运动是有各种大小和不同涡量的涡旋叠加而 形成的流动，在湍流中随机运动和拟序运动并存。圆管流动沿程水头形式的伯努利方程式推广形式为(V2zP)2hLJ2z p )i2gg2gg上式中称为水头损失，量纲是 L。圆管流动中水头损失由两部分组成：（1）沿程损失（hf）是沿等截面管流动时管壁粘 性切应力

12、引起的摩擦损失；（2）局部损失（hm）,是由截面积变化，流动分 离和二次流等局部因素引起的损失。达西公式在水平直圆管定常流动中只有沿程损失，因VV2, z1z2，由（B4.6.13b）式中可得hfPi P2g用量纲分析法求得2lV f Re，d，d实验表明 P与l/d成正比关系，习惯上用Re, /d代替f Re, /d。称为圆管沿程阻力因子或无量纲摩擦因子，因此上式可表为V2将上式代入（C3.6.1）式可得h I V2 hfd 2g上式中l/d称为几何因子，V为管内平均速度，V2/2g为速度水头。局部损失管入出口、管截面变化部位，弯头和三通、各种阀 门等。原因：（1）截面变化引起速度重新分布；

13、（2）流体 元相互碰撞和增加摩擦；（3）二次流；（4）流动分 离成涡。计算式:hm2gK为局部损失因子，V为制定部位的平均速度。 入口 K=，出口 K=1Vi和V2,求局部损失因子。d2v PTdv P解：取图示虚线所示控制体CV，由连续性方程V2QA2A2实验证明在死水区（拐角分离区）的压强P P。忽略侧壁上的切应力作用，由动量管截面突然扩大：局部损失，如图所示，平均速度分别是方程V2 a2 V2 V1PiP2 APiP2V2 V2Vi由伯努力方程Vi2PiV22P22g2ghm由(a)(b)(c)式hmPiP2(d)2gViV22Vi22g g 2gV22(2dKel(id2式中y为小管中

14、的速度。-V2 V2 Vig2g V V/含局部损失的管道损失当管道流动中局部损失在总损失中所占比重不能忽略时，管道计算中应将沿程损失和 局部损失均考虑在内，全部损失为所有沿程损失和局部损失之和hLhfhmi V2d 2ga2g在可压缩流体流动中要考虑的流动参数除速度和压强外还要加上密度和温度。连续性 方程不再独立，必须与能量方程和状态方程联合求解，求解的结果显然与不可压缩流 体的流动规律不同。例如在一定条件下，可压缩气体在截面积逐渐减小的收缩管道内 作减速流动，而在截面积逐渐增大的扩张管道内可作加速流动，均不违背质量守恒定 律。通常用压强p、密度 和温度T三个物理量表示气体的状态，称为基本状

15、态参数。完 全气体的基本状态参数满足如下方程p R T式中R称为气体常数，由下式决定r RmRm称为通用气体常数，数值是 8 kg?mol?K, m为气体平均分子量。气体的内能通常指分子热运动所具有的动能。完全气体的内能是温度的单值函数e e T其微分式可表示为de Cv dTCv称为气体的比定容热容，它也仅是温度的函数Cv(T)单位质量气体的焓称为比焓，记为h(J/kg)，定义为ph=e+P在热力学中称为流动功，在流体力学中称为压能。焓是内能和压能之和。完全气体 的焓的微分式可表示为dh CpdTCp称为气体的比定压热容，它仅是温度的函数Cp(T)h e RT微分式为dh de RdTcVd

16、T RdTCp Cv R引入比热比CV与Cp,Cv的关系为 如空气C 717.4J/kg K ,cp 1004J/kg k ,1.4这样内能和焓可表示为e C/Th CpT热力学第一定律表述为：对气体所加的热能等于气体内能的增加和气体对外所做功之 禾口。表达式为1dq de Pd -对完全气体，可分别表示为dq CpdTdq qdT d P dP单位质量气体的熵称为比熵定义为s曲T微分式为ds也T热力学第二定律表述为：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；在不可逆过程中熵 值必定增加。对完全气体，Tds dq de pd(-) dh dpdsdeTp 1半d(-)dTd 1/1/dsdh(1/)

17、dpCpdTTTTS26cv InTirRln -1T12S26Cp lnTiT1Rln -21R空绝热而又可逆的过程称为等熵过程，ds=0,气体作无摩擦绝热流动时为等熵流动。对完全气体等熵流动可得R.P2 InR .1InT1CpP1CV2InT2.P2 InIn 11T1P12完全气体作等熵流动时的状态参数关系式，常用表达式为p常数声速来表示流体的可压缩性。声速是弹性介质中微弱扰动传播速度的总称。在图C5.2.2a中有一竖向的微弱压强扰动波在精致的流体介质（V=0 ）中以声速c向左运动。设某瞬间波前的流体压强和密度分别为p,。波后的流体速度变成 dV压强为p+dp,密度为 d 。对地面上的

18、观察者而言，这是一个非定常流动。为了便于考察波前波后流体状态参数的变化关系，在扰动层上取一薄层控制体CV，两边的面积均为 A，并将坐标系固定在控制体上与波一起前进，对站在坐标系上的观察者而言，流动是定常的。左边的流体压强为p,密度为 ，以速度c流入控制体；然后以压强p+dp，密度d ，及速度为c-dV流出控制体。由一维连续性方程（）式有d )(c dV)AdV cd d dVcA （展开后得c c略去二阶小量项可得dV cdc2ddpcdpc , dcdp,d s角标s表示等熵过程。c . RT上式是完全气体的理论声速公式c0RT)1.4 287J/kg K 288K340m/sG 、 RT1、1.4287J/kg K 216.5K295m/sCo0.13 1300当一个强烈的压缩扰动在超声速流场中传播时，在一定条件下将形成强压缩波阵面 ，称为激波.激波是流动参数的强间断面，流体通过激波后流动参数