向量加减法运算及其几何意义

1、知识回顾知识回顾 1.向量、零向量、平行向量、相等向向量、零向量、平行向量、相等向量的含义分别是什量的含义分别是什么？么？2.如何表示向量？如何表示向量？在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运算类比。向量是否也能进行运算呢？今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的向量的线性运算线性运算指的哪些运算呢？向量的加法、减法、数乘向量的加法、减法、数乘运算以运算以及他们之间的混合运算及他们之间的混合运算ABA B C一、创设情景一、创设情景（1）AB+BC=AC（2）（3）CA B AB+BC=ACAB+BC=ACABC 上述分析表明：两个向量可以相加，并上述分析表明：两个向量可以

2、相加，并且两个向量的和还是一个向量且两个向量的和还是一个向量活动一：活动一：求两个向量和的运算，叫做向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则： ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。ACababBa + bbBC活动二：成语接龙活动二：成语接龙志同道合志同道合 合二为一合二为一 一心一意一心一意鸿鹄之志鸿鹄之志向量加法的三角形法则的特点：向量加

3、法的三角形法则的特点： 加法加法 连接连接 指向指向向量加法的三角向量加法的三角形法则形法则 首尾相连首尾相连 首指尾首指尾AAB+BC=AC尝试练习一：尝试练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD根根据图示填空：据图示填空：_ABBCCDDE AE 思考思考1 1 ？向量的加法可以用三角形法则计算，那么还向量的加法可以用三角形法则计算，那么还有别的法则可以计算向量的加法吗？有别的法则可以计算向量的加法吗？OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的

4、已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。同起点的对角线同起点的对角线起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：思考思考2 2 ？1.如何求 与任一向量 的和？a0规定：规定：a + 0 = 0 + a = a2.2.向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么区别与联系？bbaba三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:OBCa + bBOACa + bb例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 则则 OBab OABaba

5、三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二： 已已知向量知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出a b 、ab abba 当向量当向

6、量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边当向量当向量 不共线时，则不共线时，则由例由例1可知：可知：思考思考3：如图，当在数轴上两个向量如图，当在数轴上两个向量共线共线时，时，如何作出两个如何作出两个向量的和？他们的大小关系呢？向量的和？他们的大小关系呢？abab（1）（2）ABCBCAabab综合以上探究我们可得结论：| |abab若若 方向相同时，则方向相同时，则若若 方向相反时，则方向相反时，则|a|-|b|(或或|b|

7、-|a|)=思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的

8、方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图

9、所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度

10、为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设,x yR xy()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量

11、。的相反向量。a（1）()a （3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab （2）()aa()aaa00BACab设设,AB b AC a DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b a baba b你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b三、几何意义：

12、三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。ba一般地一般地abBabbAO（三角形法则）（三角形法则）a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACAD

13、BA 三、几何意义三、几何意义注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a ,OB b ,OC

14、 c ,OD d 则则BAab DCcd 作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。a b c d 练习：练习：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直巩固练习：巩固练习：1 1、在、在 中，中， ， ，则，则ABCBCa