空间向量的数乘运算(公开课)

1、3.1.2 3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算回回 顾顾aOb结论：结论：空间任意两个向量空间任意两个向量都可都可平移平移到同一个平面到同一个平面内，成为内，成为同一平面内的向量同一平面内的向量. .因此凡是因此凡是涉及涉及空间任意两个向量的问题，平面向空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论量中有关结论仍适用仍适用于它们于它们. .ba一、空间向量的数乘：一、空间向量的数乘： 2、空间向量的数乘的性质、空间向量的数乘的性质0（1）当）当时，时，aa与与同向同向0（2）当）当时，时，aa与与反向反向1 1、定义：、定义：aa实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然是一

2、个向仍然是一个向量，称为空间向量的数乘量，称为空间向量的数乘a0（3）当）当时，时，0, 0a当00a或有 a3 a | )4(a|a3 ababa )(aa)()(3、空间向量的数乘的运算律、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：）数乘结合律：（1）数乘分配律）数乘分配律1：aaa)(（2）数乘分配律）数乘分配律2：1 1、定义：、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，行或重合， 则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中的共线向量二、空间中的共线向量 （或平行向量）（或平行向量）,/)2(ba若,/ab则（3 3）非零

3、共线向量的传递性：）非零共线向量的传递性：,/,/, 0cbbab 若,/ca则（1 1）零向量与任一向量共线，）零向量与任一向量共线，,/0a即?a,a,?a,b,:bbbaba 有什么位置关系时有什么位置关系时与与反过来反过来有什么位置关系有什么位置关系与与如果如果与与对空间任意两个向量对空间任意两个向量探究探究ba2ba3b（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空间任意两个向量对空间任意两个向量),0(,bba )0(/bba有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使ba思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调?0b思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1

4、 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线OABPa若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则12 OPOAOB向量参数表示式向量参数表示式推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零且平行已知非零向量向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上上的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量. .laalOPOAta l若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。OPOAtAB ()APtAB 或(1)OPx

5、OAyOB xy 若，则A、B、P三点共线。A A、B B、P P三点共线三点共线ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxO32结论结论1:1:三、共面向量三、共面向量: :1.1.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .注意：注意：空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的，但空间，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由由平面向量基本定理平面向量基本定理知，如果知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ，

6、有且只有一对实数有且只有一对实数 ， 使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ， 共面，那么共面，那么可将三个向量平移到同一平面可将三个向量平移到同一平面 ，则有，则有 byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , , 有什么有什么位置关系？位置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即

7、确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cpxby2.2.共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量如果两个向量 ， 不共线不共线，byxpabpab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使abABPp 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在内的充要条件是存在有序实数对有序实数对x,yx,y使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abABPp 对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-x-yxyACyABxOAOPC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCA

8、BC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意平面由空平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定. .由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线, , 向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面( (性质性质) )( (判定判定) )P P、A A、B B、C C 四点共面四点共面A

9、CyABxAP共面ACABAP,) 1(APzyxOCzOByOxO结论结论2:2:解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P P、A A、B B、C C四点共面，只四点共面，只要证明存在有序实数对（要证明存在有序实数对（x,yx,y）使得）使得ACyABxAP四点共面。从而共面且有公共点，不共线，所以，又所以所以即共面，因为PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,3131,33)()(332) 1 (OAOPOCOB3)1(例例1.1.已知已知A A、B B、C C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC

10、外的任外的任一点一点O O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P P是否与是否与A A、B B、C C一一定共面？定共面？OCOBOAOP 4)2(152练习练习3.下列说法正确的是：下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面例例2(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , ,求证：求证：四点四点E、F、G

11、、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例2 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代（）代入入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例2 (课本例课本例)已知已知 ABCD

12、，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGHAMCGDB1（ a+ b)- c2)1（ a+ b+ c3例例3:3:如图如图, ,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M为为BCBC的中点，的中点，G G为为BCDBCD的重心，试用的重心，试用

13、表示下列向表示下列向量：量：,cADbACaAB c c, ,b b, ,a aDM)1(AG)2(例例4 4平行六面体中平行六面体中, ,点点MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,设设AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,试用试用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析分析: :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要结合图形只要结合图形, ,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN解解: :连连AN, ,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13= = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例4 4平行六面体中平行六面体中, ,点点MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,设设AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,试用试用a, ,b, ,c表示表示MN. .ABCDA1B1D1C1MN 共