数学(理)二轮教案：专题七第一讲坐标系与参数方程(选修4-4)Word版含解析

1、第一讲坐标系与参数方程（选彳4 4）考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018I卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T221 .坐标系与参数方程是高考的选 考内容之一，高考考查的重点主 要有两个方面：一是简单曲线的 极坐标方程；二是参数方程、极 坐标方程与曲线的综合应用.2 .全国课标卷对此部分内容的考 查以解答题形式出现，难度中 等，备考此部分内容时应注意转 化思想白应用.n卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义于22出卷参数方程与直角坐标方程的互化T222017I卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22n卷直角坐标与极坐标的互

2、化、 动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T22出卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T222016I卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用于23n卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系 T23出卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T23讲练结合IJ考点一极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第75页悟通一一方法结论1 .圆的极坐标方程若圆心为M（佃，阶，半径为r,则圆的方程为：p-20）pcos（ 0- 00）+r2= 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：当圆心位于极点，半径为r： p= r;(2)当圆心位于 M(

3、a,0),半径为a： p= 2acos 0;(3)当圆心位于 M, 2 I半彳至为a： p= 2asin 0.2 .直线的极坐标方程若直线过点M(%),且极轴与此直线所成的角为出则它的方程为：psin( 0 a)= posin( a一心.几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0=和。=兀+如(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：pcos 0= a;(3)直线过M(b，2,且平行于极轴：psin 0= b.全练一一快速解答1. (2018高考全国卷I )在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

4、p2+ 2 pcos。 3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：由x= pcos 0, y= psin。得C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为 A(-1,0),半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为12.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，点A到11所在直线的距离为2,所以匕泻

5、# =2,故kVk2+i=4或 k= 0.3经检验，当k=0时，11与C2没有公共点；当k= 4时，11与C2只有一个公共点，12与C2有两个公共点.当12与C2只有一个公共点时，点 A到12所在直线的距离为2,所以里刍=2,故k = k2+10 或 k= 4.3经检验，当k=0时，I与C2没有公共点；当k=3时，12与C2没有公共点.综上，所求Ci的方程为y=-4|x|+ 2.32. （2017高考全国卷n ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 Ci的极坐标方程为pcos 0= 4.M为曲线Ci上的动点，点C2的直角坐标方程；P在线段OM上，且满足

6、|OM| |OP|=16,求点P的轨迹（2）设点A的极坐标为2, 3 !,点B在曲线C2上，求 OAB面积的最大值.解析：（1）设P的极坐标为（p,0)(仍0), M的极坐标为(Pl , 9( A>0).由题设知 |OP|= p, |OM|= P)=4cos 612由|OM | |OP|= 16得C2的极坐标方程 p= 4cos 6（仍0）.因此C2的直角坐标方程为（x 2）2+ y2= 4（xw 0）.（2）设点B的极坐标为（的 矶田0）,由题设知|OA|=2,旧=4cos ” 于是 OAB面积1S= 2|OA| pesin/AOB=4cos a |sin=2|sin 2 a-<

7、2+ 3.当a= 11时，S取得最大值2+4所以 OAB面积的最大值为2+m.3. （2018长春二模）在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 pcos。3 = 1, M, N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求 M, N的极坐标；（2）设M, N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解析：（1） pcos 9 3 i= 1 ,pcos 0 cos 3 + psin 0 sin= 1.又：x= pcos 依 ly= psin 0,1.32x+ 2 y=1,即曲线C的直角坐标方程为 x+ V3y-2=0,令 y=0,则

8、x= 2；令 x= 0,则 y = 2. 3 .M(2,0), N,兀一233，M的极坐标为(2,0), N的极坐标为233,(2) /M, N连线的中点P的直角坐标为卜， 兀.P的极角为0=-, 6直线OP的极坐标方程为0= 6( p R).jT类题通法/1 .极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以p或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有pcos 0, psin 0,日的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.(2)巧借两角和差公式，转化n(此”)或pcos(叶”)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程.(3)将直角坐标方程中的 x转化为pcos仇将y换成 由in 0,

9、即可得到其极坐标方程.2 .求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.考点二参数方程授课提示：对应学生用书第76页悟通方法结论几种常见曲线的参数方程圆Fx= a+ rcos a,以O' (a, b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 ,其中“是参数.y= b+ rsin a,x= r cos a当圆心在(0,0)时，方程为其中a是参数.|y=rsin a,(2)椭圆22x= acos（）, |y= bsin 也其中。是参数.椭圆b2+ *= i(a>

10、b> 0)的参数方程是x= bcos（）, ly= asin 也其中。是参数.椭圆X2+，= 1(a> b> 0)的参数方程是(3)直线x= X0+ tcos %经过点P°(x0, y°),倾斜角为a的直线的参数方程是i 其中t是参数. y= y0+ tSin a,全练快速解答x= 2cos 0,1. (2018高考全国卷n )在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为(0|y=4sin 0x= 1+ tCOS a, 为参数)，直线l的参数方程为“(t为参数).y=2+tsin a(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1

11、,2),求l的斜率.22解析：曲线c的直角坐标方程为x4+1y6=1.当cos时0时，l的直角坐标方程为 y= tan a x+2 tan a,当cos a= 0时，l的直角坐标方程为 x= 1.(2)将l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1 + 3cos2 0)t2 + 4(2cos a + sin 4t 8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 h, t2,则t1 +12= 0.又由得t1 + t2=_4(2cos讣：n a)故2cos a+ sin a= 0,于是直线l的斜率k= tan a1 + 3cos=-2.x= 3cos 0

12、,2. (2017高考全国卷I )在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为( 0ly= sin 0x= a+ 4t,为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).y= 1-t(1)若a= 1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为 历，求a.解析：(i)曲线c的普通方程为：+y2=i.当a=1时，直线l的普通方程为x+4y3=0.解得y = 021X= -25,iy=25.从而C与1的交点坐标为(3,0), ( 21, 24 (2)直线l的普通方程为x + 4y-a-4=0,故C上的点(3cos 0, sin。)到l的距离为13cos e+ 4sin e a 4|当a> 4时

13、，d的最大值为a+ 9,17.a -I- 9.由题设得竿9 =师，解得a = 8； ,17当av 4时，d的最大值为一产一;17a -I- 1.由题设得= J17, .17解得a= 16.综上，a= 8 或 a=16.3. (2018惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是p= 4cos。.以极点为平面直角坐标系的X= 1+ tcos a(t原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程是ly= tsin a为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A, B两点，且|AB|=J14,求直线l的倾斜角a的值.解析：(1)由 尸 4cos。得 f

14、2 = 4 pcos 0. x2+y2= f2，x= pcos 0, y= psin 0,，曲线C的直角坐标方程为 x2+y2-4x= 0,即(x2)2+y2=4. r(2)将X0c代入曲线C的方程得(tcos a 1)2+(tsin a)2=4,化简得t22tcosly= tsin-3=0.tl + t2= 2cos a设A, B两点对应的参数分别为ti, t2,则tit2= - 3 |AB|= |ti 3= dpi + b 2- 412 = q4cos2 什 12 = 1/14,兀、,3 Tta=一或一44 .T类题通法/ l11 .有关参数方程问题的 2个关键点(1)参数方程化为普通方程

15、的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化.(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义.2 .利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题X= Xo+ tCoS a,经过点P(X0, y0),倾斜角为a的直线l的参数方程为 一 (t为参数).若A, y= yo+ tSin a,B为直线l上两点，其对应的参数分别为ti, t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数to =tl+ t22 ；为t0,则以下结论在解题中经常用到：(2)|PM|=|to| =|AB|=|12ti|;(4)|PA| |PB|=|ti t2.讲练结合考点三极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书

16、第77页骐删(2017高考全国卷出)(10分)在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为x= 2 + t,x= 2 + m,(t为参数)，直线12的参数方程为f m(m为参数).设li与12的交点b=kty=7为P,当k变化时，P的轨迹为曲线 C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：4cos升sin 一也=0,M为13与C的交点，求M的极径.规范解答(1)消去参数t得11的普通方程1i： y=k(x 2);1 消去参数 m得12的普通方程12 : y= -(x+ 2).k(2分)'y=k(x 2 )设P(x, y),由题设得1 i消去k

17、得x2y2=4(yw。).|y=k(x+ 2)所以C的普通方程为x2y2 = 4(yw0). (4分)(2)C 的极坐标方程为p2(cos2 0- sin2 ) = 4(0< 族2 兀，/ nt)"pcos2 0- sin2 0尸 4, 联立'',厂 (6分)l.p(cos 0+ sin 0 V2=0得 cos 0- sin 0= 2(cos 0+ sin 0).故 tan 0= 3 2 c 9. 2 c 1从而 cos 0= , sin 0= . (8 分)代入(：2(cos2 0 sin2 () = 4 得 p2=5, 所以交点M的极径为75. (10分)j

18、T类题通法/解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.练通一一即学即用x= 2cos1. (2018惠州模拟)已知曲线C:=.3sin(a为参数)和定点A(0, V3), Fi, F2是此曲线的左、右焦点，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点Fi且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M, N两点，求|MFi|N

19、Fi|的值.解析:(1)曲线C:x= 2cos a,U=d3sin 民22可化为尹y3=1,故曲线C为椭圆,则焦点 F1(-1,0), F2(1,0).即3x+ y 33 = 0,所以经过点A(0, J3)和F2(1，0)的直线AF2的方程为x+也=1,所以直线AF2的极坐标方程为33 pcos。+由in 0= 33.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为一 g 因为l，AF2,所以直线l的斜率为 雪，即倾斜角 3x= - 1+ 寒t,为30?,所以直线l的参数方程为(t为参数),1y=2t代入椭圆C的方程中，得13t21243t36=0.因为点M, N在点F1的两侧，所以|MF1|NF1|=

20、|t1+ 12| =用乎. 132. (2018长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线 M的参数方程为x= 1 + 22cos 3,(3为参数)，在极坐标系中，直线11的方程为g=为直线12的方程为 也y= 1 + 242sin 3=时/2.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设11与曲线M交于A, C两点，12与曲线M交于B, D两点，求四边形 ABCD面积 的取值范围.“, x= 1 + 2必 cos 8解析：(1)由厂(3为参数)，消去参数 以得曲线 M的普通方程为(x)=1+ 242 sin 3, 1)2+(y1)2=8,曲线M是以(1,1)为圆心，2，2为半径的圆.

21、(2)设|OA|= pi, |OC|=位，- O, A, C 二点共线，则 |AC|=|q f2|=g(p1+4仍侬(*),将曲线M的方程化成极坐标方程，得任一2p(sin。+ cos 0)-6=0,P1+ =2(sin 0+ cos 9._代入(*)式得 |AC|=U28 + 4sin 2 a1 .p P2= 6，用 时押替9,彳导|BD| = d284 sin 2 9,.，.八1又 11 _L 12 , S 四边形 ABCD = 2八。|BD |, S 四边形 ABCD = 2V(28+4sin 2 n28-4 sin 2。尸249-sin22 0, sin22 0 0,1，.二 S 四边

22、形 ABCD 6873, 14.课后训练提升能力端技巧：；鼻力法授课提示：对应学生用书第159页1,已知曲线Cl的参数方程为x= cos 0,（。为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半|y= 1 + sin 0轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 4sin（ 直线1的直角坐标方程为y=虫3 x.求曲线Ci和直线l的极坐标方程;（2）已知直线I分别与曲线C1、 分别为色，P2,求|位用的值.曲线C2相交于异于极点的A,B两点，若A, B的极径解析：（1）曲线Ci的参数方程为x= cos 0,（。为参数）,|y= 1 +sin 0其普通方程为x2+（y1）2=1,极坐标方程为 p= 2si

23、n 0.直线I的直角坐标方程为y=*3x,故直线l的极坐标方程为 0=6（R）.（2）曲线C1的极坐标方程为p= 2sin依直线I的极坐标方程为6.TT . _将代入C1的极坐标万程得将。=京弋入C2的极坐标方程得二 I 位一例|= 3.2.（2018开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x = tCOS a,1（t为参数）,y= tsin a圆C2： （x2）2+y2=4,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C1, C2的极坐标方程和交点A的坐标（非坐标原点）;（2）若直线C3的极坐标方程为9=；（pe R）,设C2与C3的交点为b（非坐标原点）,求4OAB的最

24、大面积.x = tCOS a,解析：（1）由S（t为参数）得曲线C1的普通方程为y=xtan a,故曲线C1的极|y= tsin a坐标方程为 0=o( pR).将x=pcos 0, y=psin。代入(x 2)2 + y2 = 4,得C2的极坐标方程为p= 4cos 0.故交点 A的坐标为(4cos a, a).(2)由题意知，B的极坐标为(22, 4)._1_u兀兀 S»A0AB= I2x 2艰x 4cos aX sin(4 4|= |2-j2sin(2 a / 2|,故 OAB的最大面积是 242+2.3. (2018长春*II拟)以直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一，一.，一一、，一.，一一、，兀兀一已知点P的直角坐标为(1,2),点C的极坐标为(3, 2),若直线l过点P,且倾斜角为"6,圆C以点C为圆心，3为半径.(1)求直线l的参数方