第二章控制系统的动态数学模型(一)

1、 研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及特性，而且更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要求建立系统的数学模型。 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。p 建立系统的数学模型及模型的线性化建立系统的数学模型及模型的线性化p 重要的分析工具：拉普拉斯变换及其逆变换重要的分析工具：拉普拉斯变换及其逆变换p 经典控制理论的数学基础：传递函数经典控制理论的数学基础：传递函数 p 控制系统的图形表示：方框图及信号流图控制系统的图形表示：方框图及信号流图数学模型的基本概念o 系统的数学模型系统的数学模型 是描

2、述是描述系统系统输入、输出变量输入、输出变量以及于内部其以及于内部其它变量之间关系的它变量之间关系的数学数学表达式，表达式，它揭示它揭示了系统了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。结构及其参数与其性能之间的内在关系。 如：以物理定律及实验规律为依据的如：以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。空间方程的基础。数学模型的基本概念o 静态数学模型静态数学模型o 静态静态条件（条件（变量各阶导数为零变量各阶导数为零）下描述变量）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于之间关系的代数方程。反映系统

3、处于稳态稳态时，系时，系统状态有关属性变量之间的数学模型统状态有关属性变量之间的数学模型。o 动态数学模型动态数学模型o 描述描述变量各阶导数变量各阶导数之间关系的代数方程。反之间关系的代数方程。反映系统映系统瞬态和过渡态瞬态和过渡态的模型的模型。也可定义为描述实。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，而且的输出不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。与它过去的工作状态有关。数学模型的基本概念o 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法解析法 根据系统及元件各变量之间所遵

4、循的物理或根据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，列写出相应的数学关系式，建立模型。化学规律，列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为也称为系统辨识系统辨识。数学模型的基本概念o 数学模型的形式数学模型的形式n 时间域：时间域： 微分方程微分方程 差分方程差分方程 状态空间方程（一阶微分方程组）状态空间方程（一阶微分方程组）n 复数域复数域 传递函数传递函数 函数方框图、信号流图函数方框图、信号流图n 频率域

5、频率域 频率特性频率特性数学模型的基本概念p 对于给定的系统，对于给定的系统，数学模型表达不唯一数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：工程上常用的数学模型包括：微分方程、传微分方程、传递函数、状态方程递函数、状态方程。对于线性系统，它们之。对于线性系统，它们之间是间是等价等价的。的。2-1 数学模型的建立o 机械位移系统机械位移系统弹簧弹簧-质量质量-阻尼器阻尼器例：例：求求外力外力F(t)与质量块与质量块m位移位移(t)之间的之间的微分方程。微分方程。解 由牛顿第二定律列出方程22( )( )( )( )dy td y tF tky tfmdtdt即22( )( )( )( )d y

6、 tdy tmfky tF tdtdt2-1 数学模型的建立o 在机械系统中在机械系统中n 有些构件具有较大的惯性和刚度有些构件具有较大的惯性和刚度n 有些构件惯性较小、柔度较大有些构件惯性较小、柔度较大弹性忽略，弹性忽略，视为视为质量块质量块集中参数法惯性忽略惯性忽略，视为视为无质量的弹簧无质量的弹簧集中参数法2-1 数学模型的建立o 机械位移系统机械位移系统 动 力滑 台yo(t)工件Fi(t)(tfiFi(t)yo(t)Mkf组合机床动力滑台组合机床动力滑台力学模型力学模型 tftkytyDtyMtyMtyDtkytfMaFiooooooi 即：牛顿第二定律： 2-1 数学模型的建立o

7、无源电路无源电路 ti ti1 ti2uiuo1RC2R 4 3 2 1 tiRtutiRdttic1tiRtututititi2o21121oi21 姆姆定定律律，有有根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律和和欧欧 tudttduCRtuRRRdttduCRiioo122111432，并整理得到：分别代入、将2-1 数学模型的建立o 有源电路有源电路 _ K0 + ui(t) i1(t) i2(t) uo(t) C R A B ( ) ( )oidu tRCu tdt 整整理理得得数数学学模模型型 12( )( )( )( )( )( )iAooi ti tu td utu tdu tCCRdtd

8、t 而而因因为为运运放放的的输输入入阻阻抗抗很很高高，所所以以。因因此此有有点为虚地点。一般很大又因为AKtutuKoA0)()(00)()()()(00tuKtutuKtuAABo2-1 数学模型的建立o 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤n 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；确定系统和各元件的输入、输出量；n 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；元件、部件的动态微分方

9、程；n 消消去中间变量，得到描述元件或系统输入、去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；输出变量之间关系的微分方程；n 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列列2-2 数学模型的线性化实际系统一般都有实际系统一般都有非线性现象非线性现象严格讲：几乎所有实际严格讲：几乎所有实际物理系统都是非线性的。物理系统都是非线性的。 电机死区电机死区 放大器饱和放大器饱和机械间隙机械间隙xixixix0 x0 x0阀门阀门非线非线性性2-2 数学模型的线性化p 线性化的提出线性化的提出n 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作线性系统是有条件存

10、在的，只在一定的工作范围内具有线性特性。范围内具有线性特性。n 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。非线性系统的分析和综合是非常复杂的。n 对于实际系统而言，在一定条件下做某种近对于实际系统而言，在一定条件下做某种近似或缩小工作范围，用线性模型近似代替非似或缩小工作范围，用线性模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要线性模型进行处理，能够满足实际需要。2-2 数学模型的线性化o 线性化条件线性化条件n 非线性因素对系统影响很小非线性因素对系统影响很小n 系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其行线性化，求其增量增量方程。方程。 不是各个

11、变量的绝对数量，不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量而是它们偏离平衡点的量2-2 数学模型的线性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy (,)B xx yy 00002202( )()|()1( )|().2!xxxxdf xyf xxxdxdfxxxdx )(|000 xxdxdyyyxx xKxdxdyyxx0|2-2 数学模型的线性化-实例 )(to mTi(t)P 15 图 2-5 单 摆l单摆 2o2dtt2oidmlltsinmgtT ：根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律，有有: sin ! 5! 3sin 0sin 53可近似为线性方程量，则很小时，可忽略高阶小当

12、台劳级数展开，得：附近用在将程，这是一个非线性微分方ooooooooo ttmgldtt2Tdmlio2o2 2-2 数学模型的线性化o 线性化步骤线性化步骤n 找出静态工作点（工艺上给出的参数）找出静态工作点（工艺上给出的参数）。工作点工作点不同，所得线性化方程的系数也不同；不同，所得线性化方程的系数也不同；n 变量变量的偏移愈小，线性化精度越高的偏移愈小，线性化精度越高；n 在在工作点工作点附近展开附近展开成泰勒级数成泰勒级数；n 略去高阶项，仅略去高阶项，仅考虑泰勒级数考虑泰勒级数的一次项，得的一次项，得到关于到关于增量增量的线性化微分方程。的线性化微分方程。2-3 Laplace Tr

13、ansform & its inverse transformLaplace Transform & its inverse transform 拉普拉斯变换及反变换 一种解线性常微分方程的简便方法时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换复变量和复变函数复数复数有实部和虚部，两部分都是常数。有实部和虚部，两部分都是常数。 如：如：复变量复变量指复数的实部或虚部中含有变量。指复数的实部或虚部中含有变量。 如：如：复变函数复变函数 F(S)是是 s 的函数，有实部和虚部。的函数，有实部和虚部。 如：如： 25tanarg525222 jsj sFsFyjxsFFF 22arc

14、tanxyyxF sF sFFFF复数复数相加（减相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。 如：复数复数相乘（除）相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积（商），相角等于两个复数相角的和（差）。如：复数分母有理化复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如： (25)(47)(24)(57)612jjjj)(/,212121222111rrFFFrFrF138143264128)32)(32()32)(24(32242222jjjjjjjjjjj例如：例如： 2 : 222 rsrjsssG其中其中GxGyjG(s)平面平面40S平面平面20jwp 拉普拉斯变

15、换可以理解为拉普拉斯变换可以理解为广义单边傅里叶变换广义单边傅里叶变换。傅氏变换建立了傅氏变换建立了时域和频域时域和频域间的联系，而拉氏间的联系，而拉氏变换建立了变换建立了时域和复频域时域和复频域之间的联系。之间的联系。2-3 拉普拉斯变换及其逆变换(,均为实均为实数）数）原函数原函数复变量复变量 象象函数函数 若x(t)在t=0处有一个脉冲函数，则必须明确拉氏积分的下限是0+还是0。o 拉拉氏变换积分下限的说明氏变换积分下限的说明0 ( )( )stL x tx t edt0000 ( )( )( )( )stststL x tx t edtx t edtx t edt ( ) ( )L x

16、 tL x tn 0 0+ + 表示表示外外作用开始作用作用开始作用于于系统；系统；n 0 0- - 表示表示外作用尚未作用于系统，外作用尚未作用于系统，这时可确定系统这时可确定系统所所处处 的初始状态；的初始状态；n 工程工程实际中，常把开始研究系统时刻规定为零时刻实际中，常把开始研究系统时刻规定为零时刻，即，即 为为 0 0- - 时刻时刻的拉氏的拉氏变换。变换。2-3 拉普拉斯变换及其逆变换o 简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数单位阶跃函数 t1 00110ttt 0 00 011111111ststLttdtssee 0t1 t12. . 指数函数指数函数 tet1

17、 0t1 tet1 tttt1cos1sin3 和和余余弦弦函函数数、正正弦弦函函数数 2cos2sineeeejjjjj 则则 sincos sincos jjeejj 根据欧拉公式：根据欧拉公式： 2222222 ()111sin112211222LttLtjj sjsjsjsjjjj sjsjsee j tj t 22cos112111 2j tj tLttLtssjsjsee 同同理理：4. . 幂函数幂函数 ttn1 ！则设nnndxexnexdexedxdxexdxexndxexxnxnxnxnxnxnx)(0)()()()() 1()( 0 1 0 0 0 0 0 11 0 10

18、t ttn1 应记住的一些简单函数的拉氏变换 12222 1 1cos 1sin-s1 1s1 1 nntsn!tssttsttttte 象象函函数数原原函函数数2-3 拉普拉斯变换及其逆变换o 拉拉氏变换的性质氏变换的性质1. 叠加原理叠加原理 0dLx ts X sxdt 2. 微分定理微分定理 00 0 001( )( )( ) ()( )( )(0)1( )(0)1( )stststststL x tx t edtx t deseex tdx tssxdx tedtssdtxdx tLssdt xvuuvxvudd零初始条件零初始条件两个推论：两个推论：00 1x tt ttx1 tt

19、o 终值定理终值定理2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例：0td d (t)1p 定义定义可可用于用于描述描述: :单位质量质点的密度单位质量质点的密度, ,单位电量点电荷的电荷密度单位电量点电荷的电荷密度, ,单位光通量点光源的发光度单位光通量点光源的发光度, ,单位能量无限窄电脉冲的单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等。瞬时功率等。0001ddd ( ),( ),( ),( ),( )( )ttttttttt t 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或d d0t0t01 t 0000000111lim11lim00tttttt

20、tttttt d d解：解：例例 求求f(t)的的象函数象函数 5421136( )cos( )tf tttet 221212cos ( ) sLtLtss 55421136421166( )cos( )cos()( )ttf tttetttet 6224152( ) ss eL f tss 延时定理延时定理衰减定理衰减定理拉普拉斯反变换方法使分子为零的使分子为零的S值称值称为象函数的为象函数的零点零点使分母为零的使分母为零的S值称值称为象函数的为象函数的极点极点1、只含不同单极点情况对分母进行因式分解对分母进行因式分解再分解为部分分式再分解为部分分式2、含有共轭复极点情况2、含有共轭复极点情况31