2022年初一数学因式分解的常用方法

1、优秀学习资料欢迎下载因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是把握因式分解内容所必需的，而且对于培育同学的解题技能，进展同学的思维才能，都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .： ma+mb+mc=ma+b+c二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过如干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分

2、解中常用的公式，例如：222222222（ 1） a+ba - b = a-ba-b =a+ba-b ；22 a±b= a± 2ab+b a± 2ab+b=a ± b ；223333223 a+ba-ab+b =a+b - a+b =a+ba-ab+b ；223333224 a-ba+ab+b = a-b -a-b =a -ba+ab+b 下面再补充两个常用的公式：5a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c 2；3332226a+b +c -3abc=a+b+ca+b +c-ab-bc -ca ；例.已知 a，b，c 是 abc 的三边，且

3、 a 2b2c2abbcca ， 就 abc 的外形是（）a. 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形解： a2b 2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2caab 2三、分组分解法 .bc 2 ca 20abc（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 = am= am= mann n abmbmbbnn每组之间仍有公因式！例 2

4、、分解因式：2ax10 ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 = 2 ax10ay 5bybx原式 = 2axbx 10ay5by= 2ax5 yb x5 y= x2ab5 y2ab= x5 y 2ab= 2ab x5 y练习：分解因式 1、 a 2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：如将第一、三项分为一组，其次、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = x= x= xy 2 y x2y x axy yaya xy

5、 a例 4、分解因式：222a2 abbc解：原式 = a 2= a2abb 2b 2 c 2c 2= abc abc练习：分解因式 3、 x 2x9 y23 y4、 x 2y2z22 yz综合练习： （1） x3x 2 yxy2y3（ 2）ax 2bx 2bxaxab22（ 3） x6xy9 y216a 28a1（ 4） a 26ab12b9b 24a（ 5） a 42a 3a 29（ 6） 4 a x4a 2 yb 2 xb 2 y四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2 pq xpqxp xq 进行分解；特点：（ 1）二次项系数是 1；（ 2）常数项是两个数的

6、乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和；摸索：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5，且 a 为整数，如2 x23 xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c ，都要求b24ac >0 而且是一个完全平方数；于是98a 为完全平方数， a1例 5、分解因式：x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5；由于 6=2 × 3=-2 × -3=1 ×6=-1 × -6 ，从中可以发觉只有2× 3 的分解适合，即 2+3=5 ；122解： x25x6 =

7、x23 x2313= x2 x31× 2+1 × 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x 27 x6解：原式 = x 216 x161-1= x1 x61-622（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 1 x214x24(2) a15a36(3) x4 x5练习 6、分解因式 1x2x2(2) y 22 y15(3) x 210x24（二）二次项系数不为条件：（ 1） aa1a 21 的二次三项式ax 2bxa1cc1（ 2） cc1c2a2c2（ 3） ba1c2a2c1ba1c

8、2a 2c1分解结果： ax 2bxc = a xc a xc 1122例 7、分解因式：3 x211x10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解： 3 x211x10 = x2 3x5练习 7、分解因式：（ 1）5x 27 x6（ 2）3x7 x2（ 3）10x17 x3（ 4）6 y211y1022（三）二次项系数为1 的齐次多项式2例 8、分解因式：a8ab2128b分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；18b1-16b8b+-16b= -8b解： a 28ab128b2 = a 2= a 8b 8b a16b a 16b

9、8b16b练习 8、分解因式 1 x23 xy2 y 2 2 m26mn8 n 2 3 a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2 x27 xy6 y2例 10、x2 y 23 xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2-3y+-4y= -7y-1+-2= -3解：原式 = x2 y 2 x3 y解：原式 = xy1 xy22练习 9、分解因式： （ 1） 15x27 xy4 y222（ 2） a x6ax8综合练习 10、（ 1） 8x 67 x31（ 2） 12x11xy15 y2（ 3） xy 23 xy10（ 4） ab 24a4b322（ 5） x

10、 y5x 2 y6 x 22（ 6） m4mn4n23m6n2（ 7） x 24xy4 y22 x4 y3（ 8） 5ab 223a 2b 2 10 ab 2（ 9） 4 x24 xy6x3 yy 210（ 10） 12 xy211 x 2y 2 2 xy 2摸索：分解因式：abcx2a 2 b2c 2 xabc五、换元法；例 13、分解因式（ 1）2005x 22005 21) x2005（ 2） x1 x2 x3 x6x 2解：（1）设 2005= a ，就原式 = ax 2= ax a2 1 x1) xa a= 2005 x1 x2005（ 2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四

11、个因式两两分组相乘；原式 = x 27 x6 x25 x6x 2设 x25x6a ，就 x 27 x6a2 x原式 = a2 x ax2 =a 22 axx22= ax2 = x 26x62练习 13、分解因式 （ 1） x2xyy 2 24xy x2y2 （ 2） x3x2 4 x28 x390（ 3） a 21 2a 25 24 a23 2例 14、分解因式（ 1）2x 4x36 x 2x2观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” ；这种多项式属于“等距离多项式” ；方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 =x2 2x

12、 2x61 x1 = x 2x 22 x21 xx 21 6x设 x1t ，就 x21xx2t 22原式 = x2= x2（2 t 222t5 t2t6 =2 = x2x2 2t 22 x2 x1t105x12x22= x·2 x5 ·x·xx2= 2 xx5 x2 x2x1= x1 2 2 x1 x2（ 2） x 44x3x24x122412211解：原式 = x x4 x12 = xx2xxx4 x1x121设 xy ，就 x2xxy22原式 =22x y4 y213 =2x y11 y322= x x1 xx3 = xxx1 x3 x1练习 14、（ 1）6

13、x47 x336x 27 x6（ 2） x42 x3x 212 xx 2 六、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（ 1） x33 x24解法 1拆项；解法 2添项；原式 = x313 x 23原式 = x33x24 x4x4= x= x1 x 21 x2x1x13x 3x1 x13=x x 2= x x3 x1 x4 4x444x1= x= x1 x21 x4 x422= x= x1 x 21 x4 x422（ 2） x 9x6x 33解：原式 = x91x61 x31= x= x1 x 6331 x 6x 31x31 x3x 31 x3111 x31= x4练习 15、分解因式1 x2x

14、1 x62 x33（ 1） x 39x8（ 2） x1 4 x21 2x1 4（ 3） x7 x21（ 4）x4x 22ax1 a24（ 5）xy 4xy 4（ 6）2a 2b 22a 2c 22b 2 c2a 4b 4c 4七、待定系数法；例 16、分解因式 x2xy6 y2x13 y6分析： 原式的前 3 项 x 2xy6 y 2 可以分为 x3y x2 y，就原多项式必定可分为 x3 ym x2 yn解：设 x 2xy6 y2x13y6 = x3 ym x2yn x3 ym x2 yn = x2xy6 y 2mn x3n2m ymn x2xy6 y 2x13 y6 = x2mxy6 y2

15、n1mn xm3n22m ymn对比左右两边相同项的系数可得3n2mmn613 ，解得n3原式 = x3 y2 x2 y3例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式；（ 2）假如 x 3ax 2bx8 有两个因式为x1和 x2 ，求 ab 的值；（ 1）分析：前两项可以分解为 xy xy ，故此多项式分解的形式必为 xya xyb解：设 x 22就 xy2mx5 yy2mx5 y6 = x6 = x 2ya x y 2aybb xba) yab比较对应的系数可得：a bmb a5a，解得：b2a23或 b3ab6m1m1当 m1 时，原多项式

16、可以分解；当 m1时，原式 = xy2 xy3 ；当 m1时，原式 = xy2 xy3（ 2）分析： x3ax 2bx8 是一个三次式，所以它应当分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式；解：设 x3ax2bx8 = x1 x2 xc就 x3ax2bx8 = x33a3ccx 22a73c x2c b23c 2c8解得 b c14 ，4 ab =21练习 17、（ 1）分解因式 x 2（ 2）分解因式 x2（ 3） 已知： x23xy 3xy2 xy10 y 2x2 y 25x3 y 26x9 y7 y14 y26p 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式；（ 4

17、） k 为何值时， x 22xyky 23 x5 y2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式；其次部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式分解因式；32 分解因式： m -4m=.223. 分解因式： x -4y = .4、分解因式：x24 x4 = ；x-yn5. 将22=，x+y x+yx-yn分解因式的结果为，就 n 的值为.6、如 xy5, xy6 ，就x2 yxy22 x222 y=；二、挑选题7、多项式15m3n 25m2n20m2n3 的公因式是 a、 5mnb、 5m2 n2c 、 5m2 nd、 5mn28、以下各式从左到

18、右的变形中，是因式分解的是a、 a3a3a29a2b2b、ababa24a5c、a a45m2d、2 m3mm23 m210. 以下多项式能分解因式的是（）2222ax-ybx+1cx+y+ydx2-4x+411. 把（ x y） （ y x）分解因式为（）a（ x y）（ x y1）b（ yx ）（ xy 1）c（ y x）（ y x1）d（ yx ）（ yx 1）12. 以下各个分解因式中正确选项（）222a 10ab2c 6ac 2 2ac 2ac （5b2 3c）b（ a b）（ ba）（ a b）（ ab 1）c x（ bc a） y（ ab c） a b c（ b c a）（ x

19、y 1）2d（ a 2b）（ 3ab） 5（2b a） （ a 2b）（11b 2a）22213. 如 k-12xy+9x是一个完全平方式，那么k 应为（）a.2b.4c.2yd.4y三、把以下各式分解因式：14 、 nxny15、 4 m29n 216、 m mnn nm17、 a 32 a 2bab2x218、2416 x219、 9mn 216mn 2；五、解答题20、如图， 在一块边长 a =6.67cm 的正方形纸片中， 挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形； 求纸片剩余部分的面积；21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d45cm ，外径 d75cm，长

20、l3m ；利用分解因式运算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？取 3.14 ，结果保留 2 位有效数字 ld d22、观看以下等式的规律，并依据这种规律写出第5 个等式；1 x21x1x12 x413 x81x21x41x1x1x21x1x1(4) 4x161x81x41x21x1x15 经典二：因式分解小结学问总结归纳优秀学习资料欢迎下载因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在中学代数中占有重要的位置和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章学问时，应留意以下几点；1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果肯定是整式乘积的形式；3. 分解因式，

21、必需进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范畴，一般指在有理数范畴内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采纳一“提” 、二“公” 、三“分”、四“变”的步骤；即第一看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；（ 2）如上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回忆本章所学的内容；1.通过基本思路达到分解多项式的目的例

22、1.分解因式 x 5x 4x 3x 2x1分析：这是一个六项式，很明显要先进行分组，此题可把x 5x 4x 3 和x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x 5x 4 ， x 3x 2 ， x1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解；解一：原式 x 5x 4x 3 x 2x1x 3 x 2x x 31 x 2 x1 x 21 x 2x1x1 x 2x1x1解二：原式 = x 5x 4 x 3x 2 x1x 4 x1x 2 x1 x1 x1 x 4x1 x1 x 4 x1 x 22x 21x1 x 2x 2 x12.通过变形达到分

23、解的目的例 1.分解因式 x 33x 24解一：将 3x 2 拆成 2x 2x 2 ，就有原式x 32x 2x 24x 2 x2x2x2 x2 x 2x2 x1 x2 2解二：将常数4 拆成13 ，就有原式x 31 3x 23 x1 x 2x x1 x 24x x1 x2 21x1 3x433.在证明题中的应用例：求证：多项式 x 24 x 210x21100 的值肯定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、肯定值；此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数；证明： x 24 x 210x21100x2 x2 x3 x7100x2 x7 x2 x3100x 25x1

24、4 x 25x6100设 yx 25x ，就原式 y14 y6100y 28y16y4 2无论y取何值都有 y4 20x 24 x 210x21100的值肯定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因式： a2bc 3ab 3bc 3分析：此题如直接用公式法分解，过程很复杂，观看a+b， b+c 与 a+2b+c 的关系，努力查找一种代换的方法；解：设 a+b=a， b+c=b， a+2b+c=a+b原式 ab 3a 3b 3a 33a 2 b3ab 2b 3a 3b33a 2 b3ab 23ab ab3 ab bc a2bc说明：在分解因式时，敏捷运用公式，对原式进行“代换”是很重要的；中考

25、点拨例 1. 在abc 中，三边 a,b,c满意 a216b 2c26ab10bc0优秀学习资料欢迎下载求证： ac证明：a22b 16b 2c26ab10bc0a2即a6ab9b 23b 2 cc25b 210bc25b200a8babcac2 bc0a8bc，即 a8bc0于是有 a即ac2bc0 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，同学应把握这类题不能丢分；例 2.已知： x12，就 x 31xx 3解： x 31x 3121x x1xx说明：利用 x 21x 2题型展现1 2xx2 等式化繁为易1.如 x 为任意整数，求证：7x 3x 4x 2 的值不大于 100；解：7 x

26、 x 2 x 2x 37 x5x5xx 42 x14 x 28x 2x2 3x5x 5x 1002 61610010011 2 x 25xx4x 2 x0x 217x 32x1 4x 2 100说明：代数证明问2 题在初二是较为困难的问题；一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法；2.将 a 2a1 2a 2a 2 分解因式，并用分解结果运算627 2422 ；解： a 2a1 2a 2a 2a2 2 a2a2a 22aa1 a1 21a2 a2a 2a2627242 23661 24321849说明：利用因式分解简化有理数

27、的运算；1. 分解因式：（1） 3x 5（ 2） a 210x 43a8x 33 a 23x 23a110x85实战模拟（ 3） x 2（ 4） x 32xy 7 x3y 263x5y22. 已知： xy6， xy1，求： x 3y 3 的值；3. 矩形的周长是28cm，两边 x,y使 x 3x 2 yxy 2y 30 ，求矩形的面积；4. 求证： n35n 是 6 的倍数；（其中 n 为整数）5. 已知： a、b、c 是非零实数，且 a2b2c21， a 11bcb11cac 11 ab3 ，求 a+b+c 的值；6. 已知： a、b、c 为三角形的三边，比较a 2b 2c 2 和 4a2

28、b 2 的大小；经典三： 因式分解练习题精选一、填空： （30 分）1、如 x 22m3x16 是完全平方式，就 m 的值等于；22、 xxm xn2 就 m =n = 3、 2 x3 y 2 与12 x 6 y 的公因式是4、如x my n = xy 2 xy 2 x 24y ，就 m=， n=；5、在多项式3 y2 . 5 y315 y5 中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是；26、如 x2m3x16 是完全平方式，就m=；7、 x 2 x2x2 x 28、已知 1xxx 2004x20050, 就x2006 .9、如 16 ab 2m25 是完全平方式 m=；210、 x6 x 2

29、2 x3， x29 x311、如9x 2ky 2 是完全平方式，就k=；12、如 x 24 x4 的值为 0，就3x 212x5 的值是；13、如 x 2ax15 x1 x15 就 a =；14、如 xy224, xy6 就 xy ；215、方程 x4 x0 ，的解是；二、挑选题： （ 10 分）1、多项式a ax xbabax bx 的公因式是（）a 、 a、 b 、aax xbc、 a axd、a xa2、如mx 2kx9 2x32，就 m， k 的值分别是（）a 、m= 2， k=6， b、 m=2， k=12 ，c、m= 4， k= 12、d m=4 ，k=12 、3、以下名式：x 2

30、y 2 ,x 2y2 ,x 2y2 ,x 2y2 , x 44y 中能用平方差公式分解因式的有（）a 、1 个， b、2 个， c、3 个， d、 4 个4、运算111 11 22331111 192111102 的值是（）a 、b、2,c.2010, d.20三、分解因式： （ 30 分）1 、 x42 x335 x22 、 3x 63x 23 、25x2 y 24 2 yx 224、 x4xy21 4 y55、 xx36、 x127、 ax2bxbxaxba8、 x 418 x2819 、 9 x 436 y 210、 x1 x2 x3 x424四、代数式求值（ 15 分）1、 已知 2x

31、y1， xy32 ，求2 x4 y3x3 y 4的值；222、 如 x、y 互为相反数，且 x22 y14 ，求 x、y 的值3、 已知 ab2 ，求a 2b 2 28a 2b 的值五、运算： （ 15）（ 1） 0.753.6632.664（ 2）200112200012（ 3） 2562856222442六、试说明： （ 8 分）1、对于任意自然数n， n7 2 n5 2 都能被动 24 整除；2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积；七、利用分解因式运算（8 分）1、一种光盘的外 d=11.9 厘米，内径的 d=3.7 厘米，求光盘的面

32、积； （结果保留两位有效数字）2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96 厘米，其面积相差960 平方厘米求这两个正方形的边长；八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为 1；丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法如这四个同学描述都正确请你构造一个同时满意这个描述的多项式，并将它分解因式；（ 4 分）经典四：因式分解一、挑选题1、代数式 a3b212 3a b ,213 44 34 22 4a b a b ,a b a b 的公因式是（）2a 、a3b2b、 a2b2c、a2b3

33、d 、a3b32、用提提公因式法分解因式5ax y 10b· x y ，提出的公因式应当为（）a 、5a 10bb 、5a 10bc 、5 xyd、y x 3、把 8m3 12m2 4m分解因式，结果是（）a 、 4m2m c、 4m2m3mb 、 4m2m4222 3m 1d 、 2m4m3m 1226m 24222424、把多项式 2x4x分解因式，其结果是（）a 、2 x 2x2b、 2x2x2c、 x2x 4d 、 2x x 2199819995、（ 2）（ 2）等于（）a、 2b、2c、 2d、21998199819991999423226、把 16 x 分解因式，其结果是

34、（）4a、2 xb、4 x 4 xc、4 x2 x2 xd、2 x2 x7、把 a4 2a2b2 b4 分解因式，结果是（）222422 2422a、a a 2b bb、a b c、a bd、a b a b8、把多项式 2x2 2x1 分解因式，其结果是（）2a 、2x1 2b、2x21 2c、 x21 2d、21x 12229、如 9a 6k 3a 1 是完全平方式，就k 的值是（）a 、± 4b 、± 2c、3d、4 或 2222210、（ 2x y） 2x y是以下哪个多项式分解因式的结果（）22a 、4x yb 、4x y222c 、 4x yd 、 4x y11、

35、多项式 x 3x54 分解因式为（）a、x 6x 9b、x 6x 9c、x 6x 9d、 x 6x 9二、填空题23 22 32 21、2x 4xy 2x =x 2y 12、 4a b 10a b = 2a b 2222223、1 amn a1=mn 14、mm n n m=25、x 16y=6、x=x 5y x 5y227、a 4a b= ·8、ax y z bx yz cx y z= x y z · 229、16x y 9xy= · 310、a b a b=a b · · 2211、x 3x 2=12、已知 x px12=x 2x 6 ，就 p=.三、解答题1、把以下各式因式分解；1x 2 2x323y3 6y2 3y3a 2x 2a 2ax 2a 24x 2 2 x 2525m2 10mn n2612a2bx y 4aby x27x 13x 2 2 3x8a 5a69x11x