2022年分段函数教案

1、学习必备欢迎下载分段函数适用学科数学适用年级高一适用区域沈阳课时时长（分钟）90 知识点1、分段函数的含义的认识2、会作分段函数的图像. 3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 教学目标知识与技能：1.能根据不同情境，了解分段函数的含义。2.了解简单的分段函数（函数分段不超过三段），并能运用分段函数求函数值的问题。3.能作出分段函数的图像，利用它解决生活中的简单应用问题. 过程与方法：1.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，分清函数与分段函数的区别与联系；2.通过例题的探究，培养学生勤于动脑，乐于探究，主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要

2、性. 3.经过训练题和课堂练习，加深对分段函数的概念、图像的认识，应用，提高分析、解决问题的能力. 情感态度与价值观：学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲、感悟数学的美。教学重点1.分段函数的含义的认识2.会作分段函数的图像. 3.利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 教学难点1.分段函数与一般函数的区别与联系。2.如何作分段函数的图像（步骤、方法及技能）。3.分段函数的实际应用教学过程一、复习预习回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析

3、考点 1 分段函数定义在定义域内， 对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。2. 对应关系： 对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3. 定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集. 4. 值域：分段函数值域为各段函数值的并集. 考点 2 分段函数的图像及求值1.分段函数图像（1）画出函数在各段上的图象, 再合起来就是分段函数的图象. （2）由分段函数的图象确

4、定函数解析式的方法1) 定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. 2) 设函数式：设出函数的解析式. 3) 列方程 ( 组) ：根据图象中的已知点，列出方程( 组) ，求出该段内的解析式. 4) 下结论：最后用“ ”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 2.分段函数求值分段函数函数值的方法：1. 先确定要求值的自变量属于哪一段区间. 2. 然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值. 考点 3 分段函数求解实际应用问题(1) 首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2) 解题关键：建立恰当的分段函数模型. (3)

5、思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法. 三、例题精析【例题 1】【题干】 求函数1222 1,0;( )(0,2);32,);xxf xxxx的定义域、值域. 【答案】( )fx的定义域为 1,), 值域为( 1,3. 【解析】 作图，利用“数形结合”可知。【例题 2】【题干 】已知函数2|1|2, (| 1)( )1,(| 1)1xxf xxx求12( )ff. 【答案】134【解析】 因为311222( )|1|2f, 所以312223214( )()1()13fff. 【例题 3】【题干】在同一平面直角坐标系中, 函数( )yf x和( )yg x的图象关于直线yx对称 , 11o

6、322-1yx-1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载现将( )yg x的图象沿x轴向左平移2 个单位 , 再沿y轴向上平移1 个单位 , 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数( )f x的表达式为（）222 ( 10).( )2(02)xxxaf xx222 ( 10).( )2(02)xxxbf xx222 (12).( )1(24)xxxcf xx226 (12).( )3(24)xxxdf xx【答案】 a 【解析】 当 2,0 x时, 12

7、1yx, 将其图象沿x轴向右平移2 个单位 , 再沿y轴向 下 平 移1个 单 位 , 得 解 析 式 为1122(2)1 11yxx, 所 以()22(1fxxx, 当0,1x时, 21yx, 将其图象沿x轴向右平移2个单位 , 再沿y轴向下平移1 个单位 , 得解析式2(2)1 124yxx, 所以12( )2 (0, 2)f xxx, 综上可得222( 10)( )2(02)xxxf xx【例题 4】【题干】 判断函数32(0)( )(0)xx xf xxx的单调性 . 【答案】( )fx在r上是单调递增函数. 【解析】 显然( )f x连续 . 当0 x时, 2( )311fxx恒成立

8、 , 所以( )fx是单调递增函数 , 当0 x时, ( )20fxx恒成立 , ( )f x也是单调递增函数, 所以( )f x在r上是单调递增函数; 或画图易知( )f x在r上是单调递增函数. 【例题 5】【题干】 判断函数22(1)(0)( )(1) (0)xxxf xxxx的奇偶性 . 【答案】 对于任意xr都有()( )fxf x, 所以( )f x为偶函数 . 【解析】 当0 x时, 0 x, 22()() (1)(1)( )fxxxxxf x, 当0 x时, ( 0)(0)0ff, 当0 x, 0 x, 22()() (1)(1)( )fxxxxxf x因此 , 对于任意xr都

9、有()( )fxf x, 所以( )f x为偶函数 . 四、课堂运用【基础】-12131o-2yx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1.画出函数 y=|x|的图象 . 2.已知函数 y=.4,2,40,2,0,42xxxxxxx(1)求 ff f(5)的值;(2)画出函数的图象 . 3.已知奇函数( )fx(xr)，当x0 时，( )f x=x(5x)+1.求( )fx在 r 上的表达式。4.已知1,1,1)2()(xaxxaxfx满足对任意21xx都有02121)

10、()(xxxfxf成立，则a 的取值范围是5.已知 f(x)2a2，x2，logax2，x2 ，且 f(2)1，求 f(1)的值6.函数 y |x 3| |x1|有() a最大值4，最小值0 b最大值0，最小值 4 c最大值4，最小值 4 d最大值、最小值都不存在答案和解析：1.解析：由绝对值的概念 ,我们有 y=0.xx,-0,xx,所以函数图像如图所示。2.54, f(5)=-5+2=-3. -30,f f(5) =f(-3)=-3+4=1. 010, 故有()fx=x5 (x)+1= x(5+x)+1。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

11、 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载再由( )fx是奇函数 , ( )f x=( )f x=x(5+x)1.(5)1(0)( )0(0)(5)1(0)xxxf xxxxx4.23,2) 由于对任意21xx都有0)()(2121xxxfxf成立，)(xf在 r 上5.f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)2 3218. 6.y|x3|x1| 4(x3 )22x( 1x3)4(x 1)，因此 y4,4，故选 c.【巩固】1.已知函数22 (0)( )( )0)xx xf xg xx(为奇函数，则( ( 1)f g( ) a、 20b、 18

12、c、 15d、 17 2.设函数0,0,)(2xxxxxf若 f(a)=4, 则实数 a=( ) a.-4 或-2 b.-4 或 2 c.-2 或 4 d.-2 或 2 3.函数1,31,1)(22xxxxxxf，则 f( )的值为 ( ) a. b. c. d.18 4.设函数2( )2g xx，( )4,( ),( )( ),( ).g xxxg xf xg xx xg x求( )f x的值域 答案及解析1.答案 c 解析：由已知得，3) 1()1(fg，所以，15)3()3()1(ffgf2.答案 b 解析：当a0 时，由 -a=4,得 a=-4; 精品学习资料 可选择p d f - -

13、 - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当 a0 时，由 a2=4,得 a=2(a=-2 舍去 ).综上 a=-4 或 2. 3.答案 c 解析：98)31(1)31()3(1(131,3333)3(122ffffx，所以又，4.【解析】令,xg x解得1x或2x( )4,( ),( )( ),( ).g xxxg xf xg xx xg x222,(, 1)(2,)2, 1,2xxxxxx2217(),(, 1)(2,)2419(), 1,224xxxx当(,1)(2,)x时，( )f x(2,)；当 1

14、,2 x时，( )f x9,04；( )f x的值域为9,0(2,)4【拔高】1.已知实数0a，函数1212xaxxaxxf，若afaf11，求a的值2.已知函数112012xccxcxxfcx，满足 f (c2)98，(1)求常数 c 的值；(2)解不等式f (x) 281. 答案及解析：1.解：分类讨论：(1)当 a0 时， 1 a1,1a1. 这时 f(1a)2(1a)a2a；f(1a) (1a)2a 13a. 由 f(1a)f(1 a)，得 2a 13a，解得 a32，不符合题意，舍去(2)当 a0 时， 1 a1,1a1，这时 f(1a) (1a)2a 1a；f(1a)2(1 a)

15、a23a，由 f(1a)f(1 a)，得 1a23a，解得 a34. 综合 (1)，(2)知 a 的值为34. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2.解(1) 依题意知0c1， c2 c，f(c2)98， c3 198，所以： c12(2)由(1)得 f (x) 12x1，0 x12，24x1，12x1，由 f(x) 281，得当 0 x12时，12x128 1，24x12. 当12x1 时， 24x 1281，12x 58. 综上可知，24x58. f (x) 2

16、81 的解集为x24x58. 课程小结1、分段函数：即在函数的定义域内，对于自变量x 的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 2、作分段函数的图像的步骤和方法：（1）化简函数解析式。（2）写出分段函数解析式。（3）作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像。3、分段函数与一般函数的区别与联系：函数h(x)是分段函数 ,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明 :分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 ; 一般函数的图像是不间断的（连续的），而分段函数的图像可能连续，也可能间断。课后作业【基础】1

17、.设函数1221 (0)( )(0)xxfxxx, 若0()1fx, 则0 x得取值范围是（）.( 1,1)a. (1,)b. (, 2)(0,)c. (, 1)(1,)d精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2. 设函数2(1)(1)( )41 (1)xxf xxx, 则使得( )1f x的自变量x的取值范围为 （）a(, 20,10b. (, 20,1c. (, 21,10d. 2,01,103.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过80 0 元的不纳税；超过800 元

18、而不超过4 000元的按超过800 元部分的14%纳税； 超过 4 000 元的按全部稿酬的11%纳税 已知某人出版一本书，共纳税420 元，则这个人应得稿费(扣税前 )为()a2 800 元b3 000 元c3 800 元d3 818 元4.某市出租车的计价标准是：3 km 以内 (含 3 km)10 元；超过 3 km 但不超过18 km 的部分 1 元/km；超出 18 km 的部分 2 元/km. (1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？(2)如果某人付了22 元的车费，他乘车行驶了多远？5.设 集 合10,)2a，1,12b， 函

19、数1,( )22(1),.xxaf xxxb若0 xa， 且0()ffxa， 则0 x的取值范围是（）a1(0,4b1 1(,4 2c1 1( ,)4 2d30, 8答案及解析1.答案 d 解析：【解析1】首先画出( )yf x和1y的大致图像 , 易知0()1fx时, 所对应的0 x的取值范围是(, 1)(1,). 【解析 2】因为0()1fx, 当00 x时, 0211x, 解得01x, 当00 x时, 1201x, 解得01x, 综上0 x的取值范围是(, 1)(1,). 故选 d. 2.答案 a 解析：当1x时 , 2( )1(1)120f xxxx或, 所以21xx或0, 精品学习资

20、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当1x时, ( )14111310fxxxx, 所以110 x, 综上所述 , 2x或010 x, 故选 a 项 . 3.答案 c 解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y0，如果稿费为4 000 元应纳税为448 元，现知某人共纳税420 元，所以稿费应在8004 000 元之间，(x800) 14%420，x3 800. 4.(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km 付费 10(元)，3 km 到

21、18 km 付费(183) 115(元)， 18 km 到 20 km 付费 (2018) 2 4(元)， 总付费 1015429(元)设付车费 y 元，当 0 x3时，车费y10；当 318 时，车费y252(x18)2x11. (2)付出 22 元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于 3 km，且小于18 km ，前 3 km 付费 10 元，余下的12 元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km. 5.答案 c 解析若0 xa，则0011(),1)22f xxb，0()ffxa，0010211021 ()22xx，001021142xx，01142x【巩固】1.已知函数132 (0

22、)( )3(01)log(1)xxf xxx x,求( )fff a(a0)的值。2.求函数23(0)3(01)5(1)xxyxxxx的最小值答案及解析1.a0, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载( )2af a, 02a1, ( )fff a=( 3)f=13log3=21, 2.方法 1先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当x0 时,y=( )f x=2x+3,此时显然有ymax= (0)f=3; 当 01 时，y=( )f x=x+5，此时y无最大值 .比较可得当x=1 时,ymax=4. 方法 2 利用函数的单调性由函数解析式可知，( )f x在x (,0)上是单调递增的， 在x(0,1)上也是递增的，而在x(1,+)上是递减的，由( )f x的连续性可知( )f x当x=1 时有最大值4 方法 3利用图像，数形结合求得作函数y=( )f x的图像（图1），显然当x=1 时ymax=4. 说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 【拔高】1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下， 大桥上的车流速度v（单位：