建立参考资料不允许缺货的生产销售存贮模型

1、2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数为常数k,x 销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期 T内，开始的一段时间(0<t<T0) 边生产一边销售，后来的一段时间(TOvtvT)只销售部 生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为cl，单位时间每 件产品贮存费为c2,以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k r和k r的情况。解：一. 模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期 T和产 量Q均为连续量。根据问题性质作如下假设：(1) 产品每天的需求量为常数r，生产率为k。(2) 每次生产准备费为cl,每天每件产品贮存费为c2.(3) 生产能力

2、为无限大(相对于需求量)，当贮存量降到零时，Q件 产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。二. 模型建立将贮存量表示为时间t的函数q(t), t=0生产0件，贮存量q(0)=0在 T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。T0时刻以后，q(t)以 需求率r减小，直到q(t)=0。如图：ToT个周期内的费用为-C20q(t)dt C2Toq(t)dt C12-c 1。每天的平均费用为-c1 C2 r k- r T c =T 2K(1)(1) 式是这个模型的目标函数。三. 模型求解求T使(1)式的c最小。容易看出kT°二T r。代入可得使c(T)2&kT达到最小值的周期

3、' c2r k"四.讨论。2G当kr时,c2r ,类似不考虑生产的情况。T：，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。7要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m,厚c=0.2m设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计 跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹 角为二如

4、图1建立总淋雨量与速度v及参数二，问速度v多大，总淋 雨量最少。计算二=0， 71 =30时的总淋雨量。（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 二如图2,建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、 w、，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算:=30时的总 淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑的影响）， 并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：一. 模型假设：将人体简化成一个长方体，高 a=1.5m,宽b=0.5m厚 c=0.2m;设跑步的距离为1000m,跑步的最大速度 vm=

5、5m/s,雨速 u=4m/s,降雨量 w=2cm/h二. 模型建立：模型一：(1)不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，雨速也是 均匀下落，由人体为长方体可知，该人淋到雨的表面积 s=2ab+2ac+bc跑步距离为d=1000m,则该人在雨中的淋雨时 间为 t=d/vm，且降雨量 w=2cm/h=(0.0001/18)m/s所以，总淋雨量为Q=s*t*w模型二：(2)当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头 顶部淋雨量为Q1,淋雨面积s仁bc淋雨的时间即t1=d/v，可知 淋雨量总量为 Q仁s1*t1*w*cos二。雨速在水平方向上的水平分 量为u*sin二。则在水平方向上的合成速度为u*sin

6、二+v,淋雨面积 s2=ab淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为 w*sin二+w*v/u(本身的淋雨 量加上人相对雨速的淋雨量)，所以迎面淋雨量为 Q2=s2*t2*w*(usin +v)/u由此可得该人在单位时间和单位面积 内的总淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01co )/(18*v)+0.075*(4sin " +v)/(18*v)模型三：雨从背面吹来时，雨相对人的速度为| u*sin-v|，(一)当u*sin -v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度， 此时在水平方向上的合成速度是 v-u*sin，此时的人的淋雨总 量可分头顶部分Q3和背面部分Q4。头顶部淋雨量为Q3,淋

7、雨面积s仁be淋雨的时间为t3=d/v，淋 雨量为w*co< ,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨 总量 Q3= s1*t1*w*cos :雨速在水平方向上的水平分量为-u*sin，雨相对人的速度为v-u*sin，淋雨面积为s2=ab淋雨的时间为t2=d/v,降雨量w=w*(v/u) -wsin，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4=s2*t2*w*(v-u*sin : )/u二abdw(v-u*sin )/uv=0.0010461(1-sin： /v) 所以降雨总量为 Q=Q3+Q4二(O.OIcos) /(18*v)+0.0010461(1-sin ： /v)(二)当u*

8、sin ：t>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度， 此时的人的淋雨总量可分为头顶部分Q5和背面部分Q6。头顶部淋雨量为Q5,淋雨面积s仁be淋雨的时间为t3=d/v，淋 雨量为w*cos，由此可知淋雨总量 Q5= s1*t1*w*cos ?雨速在水平方向上的水平分量为u*si n-v，此时在水平方向上雨与人的合成速度为u*sin-v,淋雨面积s2=ab淋雨的时间为t2=d/v,，降雨量为 w=wsin : -w*v/u,此时该人的淋雨总量 Q6= s2*t2*w*(us in?+v)/u 所以降雨总量为Q=Q5+Q6=0.0027778*(0.2cos： -1.5sin：)/v+1.

9、5三. 模型求解(1)代入数值即可求解Q=2.44L(2) 同 样 代 入 数 值 可 得Q=Q3+Q4=0.01cos，/(18*v)+0.0010461(1-sin ' /v)=0.00069445(0 .2co ： -1.5sin)/v+1.5，显然当v=vm时Q最小。则代入数据 可知二=0,速度 v=vm=5m/s,Q=1.152L二=30,速度 v=vm=5m/s,Q=1.554L(3)带入数据可求出下列：头顶淋雨量：Q5二s1*t1*w*cos 二=(0.01cos： )/(18*v)迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usin +v)/u=abdw(u*sin ： -

10、v)/uv总的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778* (0.2cos -1.5sin： ) /v+1.5 若 c*cos> -a*sin<0.即 tan: >c/a，此时 v=usi时 Q 最小， 当：=30 时,v=usin ： =4*sin30=2m/s,此时 Q=0.0027778*(0.2cos30-1.5sin30/v+1.5=0.24L ,当 v=vm 时，=30,Q=0.93L.由此可知，当v=usin，时，淋雨量是最小的。(4) :根据三中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画 出图如下：usina实际意义：当雨从人体背面吹来时，只要满足 c*cos-a*sin<0 即tan: >c/a，而此时Q最小，即人体淋雨量最少，此时该人只有 背面与头顶部淋雨。(5) 若是雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则要再多加一 个角度1,然后与上面相同将降雨量分到不同的面分解着求就可以 了，从本质与思路来说模型是不变的。四. 讨