2022年函数与导数经典例题(含答案)

1、精品资料欢迎下载函数与导数1. 已知函数f x4 x33tx 26txt1, xr ，其中 tr（）当 t1 时，求曲线yf x 在点 0,f 0处的切线方程；（）当 t0 时，求f x 的单调区间；（）证明：对任意的t0,f x 在区间 0,1 内均存在零点【解析】（ 19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数争论函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础学问，考查运算才能及分类争论的思想方法，满分14 分；（）解：当 t1 时，f x4 x33x26 x,f 00, f x12x26 x6f 06. 所以曲线yf x 在点 0,f 0处的切线方程为 y6 x.22t（）解：

2、f x12x6tx6t ，令 f x0 ，解得xt或x. 2由于 t0 ，以下分两种情形争论：t（ 1）如 tx0,就2t ,当x 变化时， f x, f x 的变化情形如下表：, tt ,tt ,22f x+-+f x所以，f x 的单调递增区间是, t, 2t ,;f x的单调递减区间是t ,t；2（ 2）如 t x0, 就 tt ，当 x 变化时， 2, tf x,f x 的变化情形如下表：ttt,22f x+-+f x所以，f x 的单调递增区间是,t ,t ,;2f x 的单调递减区间是t, t.2（）证明：由（）可知，当t0 时，tf x 在 0,2t内的单调递减，在, 2内单调递

3、增，以下分两种情形争论：t（ 1）当1,即t 22 时，f x 在（ 0， 1）内单调递减，f 0t10,2f 16t4t3644230.所以对任意 t2,f x 在区间（ 0， 1）内均存在零点；t（ 2）当 01,即0t22 时，tf x 在0,2t内单调递减，在,12内单调递增，如t0,1, f17 t 3t17 t 30.2442f 16t4t36t4t32t30.所以 f x在t ,12内存在零点；如 t1,2, ft7 t 3t17 t 310.244f 0t10所以 f x在0, t2内存在零点；所以，对任意 t0,2,f x 在区间（ 0， 1）内均存在零点；综上，对任意 t0

4、,f x 在区间（ 0， 1）内均存在零点；2. 已知函数f x2 x1， h xx 32（）设函数fx 18fx x2 hx2 ，求 fx的单调区间与极值；（）设 ar ，解关于 x 的方程lg 3 f x132lg hax2lgh4x ；24（）设nn*，证明：f nhn h1h2h n1 6223本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础学问，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的才能解：（）f x18 f xx hxx12x9 x0 ，2f x3x12 令 f x0 ，得 x2 （ x2 舍去）当 x0,2 时f x0 ；当 x

5、2, 时，f x0 ，故当 x0,2 时，f x 为增函数；当x2, 时，f x 为减函数x2 为f x 的极大值点，且f 2824925 （）方法一：原方程可化为log 3 f x13loghaxlogh4x ，24422即为 log x1logaxlog4xlogax ，且xa,42224x1x4,当 1a4 时， 1xa ，就 x1ax ，即2x6xa40 ，364 a4204a0 ，此时4 xx6204a235a ， 1xa ，2此时方程仅有一解 x35a 当 a4 时， 1x4 ，由 x1ax ，得x6xa40 ，364 a4204a ，如 4a4x5 ，就0 ，方程有两解x35a

6、；如 a5 时，就0 ，方程有一解x3 ；如 a1或 a5 ，原方程无解方法二：原方程可化为log 4 x1log 2 h4xlog2hax ，x10,1x4即 1 log x1log4xlogax ，4x0,xa,2222ax0,2x14xax.a x35.当 1a4 时，原方程有一解x35a ；当 4a5 时，原方程有二解x35a ；当 a5 时，原方程有一解x3 ；当 a1 或 a5 时，原方程无解（）由已知得h1h2h n12n ，f nhn14n3n1 666设数列 an 的前 n 项和为sn ，且snf n hn1 （ nn* ）6从而有a1s11 ，当 2k100 时，aksks

7、k 14k3k4k1k1 66又 akk1 4 k3k4 k1 k114k32 k4k12 k1664k3k4 k1k1110 64 k3k4k1k1即对任意 k2 时，有 akk ，又由于a111 ，所以 a1a2an12n 就 snh 1h2hn ，故原不等式成立3. 设函数f xa 2 ln xx 2ax ， a0（）求f x 的单调区间；（）求全部实数 a ，使 e1f xe2 对 x1,e 恒成立注： e 为自然对数的底数【解析】（ 21）此题主要考查函数的单调性、导数运算法就、导数应用等基础学问，同时考查抽象概括、推理论证才能；满分15 分；（）解：由于f xa 2 ln xx2a

8、x.其中 x0所以 fa 2xa 2 xa x2 xaxx由于 a0 ，所以f x 的增区间为 0, a ，减区间为 a,（）证明：由题意得，f 1a1c1,即ac由（）知f x在1,e 内单调递增，要使 e1f xe2对x1,e 恒成立，f 1只要f e解得 ae.a1ea2e21,aee24. 设f xex1 ax 2，其中 a 为正实数 .（）当 a4 时，求3f x 的极值点；（）如f x 为 r 上的单调函数，求 a 的取值范畴 .2【解析】（ 18）（本小题满分 13 分）此题考查导数的运算，极值点的判定，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算才能，综合运用学问

9、分析和解决问题的才能.解：对f x 求导得f xex 1axax .（i）当4a，如3f x1ax2 20, 就4 x28 x30, 解得x131, x2.22综合 ,可知x, 1 122 1 , 3 32 22 3 , 2f xf x+00+极大值微小值所以, x13是微小值点 , x221是极大值点 .2（ ii ）如f x为 r 上的单调函数，就f x在 r 上不变号，结合与条件a>0 ，知ax 22ax10在 r 上恒成立，因此4a 24 a4aa10, 由此并结合 a0 ，知 0a1.5. 已知 a， b 为常数，且a 0，函数 f（ x） =-ax+b+axlnx ， f （

10、e） =2（e=2 71828 是自然对数的底数）；（i）求实数 b 的值；（ii ）求函数 f（ x）的单调区间；（iii ）当 a=1 时，是否同时存在实数m 和 m （ m<m ），使得对每一个t m， m ，直线 y=t与曲线 y=f （ x）（ x 1 ， e）都有公共点？如存在，求出最小的实数m 和最大的实数em ；如不存在，说明理由；【解析】 22本小题主要考查函数、导数等基础学问，考查推理论证才能、抽象概括才能、运算求解才能，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14 分；解：（ i）由f e2得b2,（ii ）由（ i）可得f xax2a

11、x ln x.从而 f' xa ln x.由于 a0 ，故：（1）当 a0时,由f'x>0得x>1, 由f'x<0得0<x<1;（2）当 a0时,由f' x0得0x1,由f' x0得x1.综上，当 a0 时，函数f x 的单调递增区间为 1, ，单调递减区间为（0， 1）；当 a0 时，函数 f x 的单调递增区间为（ 0， 1），单调递减区间为1, ；（iii ）当 a=1 时，f xx2x ln x,f ' xln x.,e由（ ii ）可得，当 x 在区间 1e内变化时，f ' x,f x 的变化情形如

12、下表：x11,1ee11,eef ' x-0+f x22 e单调递减微小值 1单调递增2又 222, 所以函数f ' x1 x, e的值域为 1 ， 2 ；ee据经可得，如m1,m2，就对每一个 tm, m ，直线 y=t 与曲线yf x x1,e 都有e公共点；并且对每一个 t, mm , ，直线 yt 与曲线 yf x x1, e 都没有公共点；e综上，当 a=1 时，存在最小的实数m=1 ，最大的实数m=2 ，使得对每一个t m, m ，直线y=t与曲线 yf x x1,ee都有公共点；6. 设函数f xx32ax2bxa ， gx x23 x2 ，其中 xr，a、b 为

13、常数，已知曲线yf x 与yg x在点（ 2,0）处有相同的切线l；（i） 求 a、b 的值，并写出切线l 的方程；（ii ）如方程f xg xmx 有三个互不相同的实根0、 x 、 x ，其中 x1x2 ，且对任意的 xx1, x2， fxg xm x1) 恒成立，求实数 m 的取值范畴；【解析】 20此题主要考查函数、导数、不等式等基础学问，同时考查综合运用数学学问进行推理论证的才能，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分）解：（）f x3x24axb, gx2x3.由于曲线yf x与yg x 在点（ 2， 0）处有相同的切线，故有 f2g 20, f2g 21.由此得88a2ba0,a2,解得128ab1,b5.所以 a2, b5 ，切线 l 的方程为 xy203232（）由（）得f xx4 x5x2 ，所以 f xg xx3 x2 x.依题意，方程2x x3 x2m0 有三个互不相同的实数0, x1, x2 ，12故 x , x 是方程x23x2m0 的两相异的实根；所以942m0,即m1 .4又对任意的 x x1 , x2 ,f xg xm x1 成立，特殊地，取xx1 时，