2代数式恒等变形

1、代数式的恒等变形代数式的恒等变形是初中代数的重要内容， 它涉及的基础知识较 多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知 识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基 本功之一.两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值， 它们的值 都相等，则称这两个代数式恒等.把一个代数式变换成另一个与它恒 等的代数式叫做代数式的恒等变形. 恒等式的证明，就是通过恒等变 形证明等号两边的代数式相等.证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的 变形技巧，使证明过程尽量简捷.一般可以把恒等式的证明分为两类： 一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等

2、式的证 明.对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化.在化简、 求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将 代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆 项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方 法与技巧.一.设参数法如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设 一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法.如 果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数 k,用它表示连比 的比值，以便把它们分割成几个等式.例1.已知一xy z，求x+y+z的值。a b be c a例2.已知心丄旦上旦,a, b,e互不相

3、等，a b 2 b e 3 e a求证：8a+9b+5c=0.二.由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另 一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式).例3 .已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x 2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.例4.a2 3 b求证：c b2 c a2 2 2cab abc a b c ab bc ca a b例5.已知2010x212011y2 2012z2 , X >0, y > 0, Z> 0,且X求证：、2010x . 2011y、2012

4、z. 20102011. 2012三.比较法比较法利用的是：若a-b=0,若a b则a=b(比差法)；1，则a b(比商法).例6.已知a+b+c=O,求证:444222 22(a +b +c) = (a +b+c).例7.2求证：一ababccb2 cab c b ac2 abc a c b例8.设 p , q a b全不为零.证明:b cc a，r b cc a(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1 -q)(1 -r).其中 a b, b c, c四. 消元法消去条件等式中与结论无关的字母, 法。从而得到结论等式的方法叫消元例9.若a、b、c全不为零，且a1,b1 求证：c - 1

5、a例10.已知y六. “ 1”的代换等式中的“ 1”经常需要根据条件用字母进行代换a b例13若ab=1，求厂芦的值例14已知xyzt=1，证明： 1111 + _+ + 1+ k + xy xyz l + y + yu+yt 1 斗己 + 对亠己贰 1 斗 t + bs + txy =1 7.分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合 法.分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的， 这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断 言结论正确，即所谓“执果索因”.而综合法正好相反，它是“由因 导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所

6、求结论.例 15. 若a b 1，证明：a2 b2 c2 a b c2.例16设x, y, z为互不相等的非零实数，且x丄y求证:2 2 2 .xy z =1.例 17 已知 a4+b4+c4+cf=4abcd,且 a,b,c,d 都是正数,求证：a=b=c=d.反馈练习1 .已知(c-a)2-4(a-b)(b -c)=0 ,求证:2b=a+c.己令口自=, , b = , c =1,求证j a= d.2.1-bb-匚1一已3.证明:(x+y+z) 3xyz-(yz+zx+xy)33 3、=xyz(x +y +z)-(y z +z x +x y ).4、若abc=1,求池匚bbc b 1c的值

7、ca c 15.求证：b - cc aa - b*斗 (a - b)(a -巧 (tcXb良) (c - a.)(c -2 2 2=4+,a -b b-c 匚一自6.如杲=k,求k旳值z y z7.证明:abz+x - a (x - aXx - b)a3b21-(a - b)(x - a) (b - a)(x b)8 .已知 x -yz=y -xz=z -xy，求证：x=y=z 或 x+y+z=O.9. 已知 a-b+c=3, a2+b2+c2=29, a3+b3+c3=45,求 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 的值.10. 设 a+b+c=3m 求(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.11、a、b、c互不相等，化简2a b cabac2b c ab c b a2c a bc a c b12、已知 a+b+c=O,求 a - -b - -c-3 的值。b c c a ab13、已知 ax+by=7, ax2+by2=49, ax3+by3=133, ax4+by4=406.求 1999(x+y)+6xy17 a b的值2，求证:y五. 换元法 有时把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母