2022年几何变换法在初中数学解题中的应用

1、学习必备欢迎下载几何变换法在中学数学解题中的应用在数学问题的讨论中 ,经常运用变换法 ,把复杂性问题转化为简洁性的问题而得到解决；所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射； 中学数学中所涉及的变换主要是初等变换；有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法 ,化繁为简 ,化难为易；另一方面 ,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中；将图形从相等静止条件下的讨论和运动中的讨论结合起来,有利于对图形本质的熟悉；几何变换包括 :1平移;2 旋转;3 对称；例 1 、在矩形 abcd 中， ab=2 ， ad=3 （1） ）在边 cd 上找一点 e，使 eb 平分aec，并加

2、以说明；（2） ）如 p 为 bc 边上一点，且 bp=2cp ，连接 ep并延长交 ab 的延长线于f求证：点 b 平分线段 af；pae 能否由pfb 绕 p 点按顺时针方向旋转而得到，如能，加以证明，并求出旋转度数；如不能，请说明理由答案：（ 1）当 e 为 cd 中点时， eb 平分aec；由d=90 °，de=1 ， ad=3 ，推得dea=60 °，同理，ceb=60 °，从而aeb= ceb=60 °，即eb 平分aec；cecp1（ 2）cebf， bf = bp = 2bf=2ce ；ab=2ce ，点b 平分线段 af能；1证明：cp

3、= 323 ，ce=1 ，c=90 °，ep= 33 ；在 rtade 中， ae=3 212=2 ，ae=bf ，2又pb= 33，pb=peaep= bp=90 °，paspfb；pae 可以pfb 依据顺时针方向绕 p 点旋转而得到；旋转度数为 120 °；【解析】此题综合考查同学三角形相像及全等、矩形性质、勾股定理、旋转等等 几何学问的应用；（ 1）发散思维的考查，让同学自己找满意条件的点，并说明理由；题目中给出 ab=2 ，ad=3 ，发觉满意条件的点为ab 的中点；利用三角函数的学问，及平角为180 度，很简洁得到结论；（ 2）应用相像三角形的学问得

4、bf=2ce ，且 ab=2ce ，所以点 b 平分线段 af；（ 3）问：pae 能否由pfb 绕 p 点按顺时针方向旋转而得到，即证明： pae 和pfb 是否全等；平移在几何中的运用例 2 、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形 rt abc 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 a 的坐标为（ 4 ，1），点 b 的坐标为（ 1，1 ）（ 1 ）先将 rt abc 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 rt a1b1c1 试在图中画出图形 rt a1b1c1 ，并写出 a1 的坐标；（ 2）将 rt a1b1c1 绕点 a1 顺时针旋转 90 &

5、#176;后得到rta2b2c2 ，试在图中画出图形 rta2b2c2 并运算 rta1b1c1 在上述旋转过程中 c1 所经过的路程考点：作图 -旋转变换；弧长的运算；作图 - 平移变换；专题：作图题；分析：（ 1）依据网格结构找出点 abc 平移后的对应点 a1 、b1、c1 的位置，然后顺次连接即可，再依据平面直角坐标系写出点a1 的坐标即可；（ 2）依据网格结构找出点 a1 、b1 、c1 绕点 a1 顺时针旋转 90 °后的对应点a2 、b2、c2 的位置，然后顺次连接即可，再依据勾股定理求出a1c1 的长度，然后依据弧长公式列式运算即可得解解答：解：（ 1）如下列图，a1

6、b1c1 即为所求作的三角形，点 a1 的坐标为（ 1， 0）；（ 2）如下列图，a2b2c2 即为所求作的三角形，依据勾股定理， a1c1=，所以，旋转过程中 c1 所经过的路程为=点评：此题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的运算公式，娴熟把握网格结构并精确找出对应点的位置是解题的关键对称在几何中的运用例 3.（ 2021 . 德州）如下列图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 abcd ，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合）将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处， pg 交 dc 于 h，折痕为 ef，连接 bp、bh（1） ）

7、求证：apb= bph ；（2） ）当点 p 在边 ad 上移动时，pdh 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3） ）设 ap 为 x，四边形 efgp 的面积为 s，求出 s 与 x 的函数关系式，试问s是否存在最小值？如存在，求出这个最小值；如不存在，请说明理由考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质； 正方形的性质；分析：（ 1 ）依据翻折变换的性质得出 pbc= bph ，进而利用平行线的性质得出apb= pbc 即可得出答案；（ 2 ） 首 先 证 明 abp qbp ， 进 而 得 出 bch bqh ， 即 可 得 出pd+dh+ph=ap+pd+

8、dh+hc=ad+cd=8；（ 3）利用已知得出 efmbpa ，进而利用在 rt ape 中，（4 be）2+x2=be2 ，利用二次函数的最值求出即可解答： （1）解：如图 1，pe=be，ebp=epb又eph= ebc=90 °，ephepb= ebcebp即pbc= bph 又ad bc，apb= pbcapb= bph（2） ）phd 的周长不变为定值 8证明：如图 2 ，过 b 作 bqph，垂足为 q 由（ 1）知apb= bph，又a= bqp=90 °，bp=bp ，abp qbpap=qp ，ab=bq 又ab=bc ，bc=bq 又c= bqh=90 °，bh=bh ，bch bqh ch=qh phd 的周长为： pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8（3） ）如图 3，过 f 作 fm ab，垂足为 m ，就 fm=bc=ab 又ef 为折痕，efbpefm+ mef= abp+ bef=90 °，efm= abp又a= emf=90 °，efm bpa em=ap=x在rtape 中，（ 4 be）