第5章习题解答1

1、习 题 1试利用托勒密定理证明以下问题：1. .证明：如图，BD是直径，记，根据托勒密定理有 ，由正弦定理可得 所以 。2. 正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中，长者等于其余两者之和。证明：由托勒密定理知ABPC+ACPBPABC 因为ABACBC，所以 PAPB+PC，即正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中，长者等于其余两者之和。3. 设P是AB=AC的等腰ABC的外接圆的BC弧上的一点，则 。证明：由托勒密定理知ABPC+ACPBPABC 因为ABAC，所以 。 4. 设P是正方形ABCD的外接圆的AB弧上的一点，则。证明：如图，连AC，BD，由托勒密定理可得 （2分

2、）PACD+PCADPDAC，PBAD+PDBCPCBD，因为ABBCCDDA，ACBD，故两式相除，得。又由托勒密定理可得ACPB+BCPAPCABBDPA+ADPBPDAB （4分）因为ABBCCDDA，ACBD，所以将以上二式相加，得 （2分）所以 。 （2分）5. 设P是正六边形ABCDEF的外接圆的AB弧上的一点，则PD+PE=PA+PB+PC+PF。证明：易知ACE，ACE都是正三角形，那么应用第2题的结论可得PEPA+PC， PDPB+PF两式相加即得PD+PE=PA+PB+PC+PF。6. 设P是正五边形ABCDE的外接圆的弧AB上的一点，则PC+PE=PA+PB+PD。证明：

3、分别对圆内接四边形APBE、APBC和APBD应用托勒密定理可得PEABPABE+PBAE，PCABPABC+PBAC，PDABPABD+ PBAD，从而 (PC+PE)AB = (PA+PB)BC+PABE+PBAC= (PA+PB)BC + PABD+ PBAD= (PA+PB)BC + PDAB所以 PC+PE = PA+PB+PD。习 题 21. 设O1、O2内切，切点为A，过A任作直线l，分别交O1、O2于另一点B、C，证明O1、O2在B、C处的切线平行。证明：如图，A、M分别作切线AT，MS，那么由切线的性质知 BDATAMSMA， 所以BC/SM，即O1、O2在B、C处的切线平行

4、。 2. 设O1、O2内切，切点为A，证明：A是两圆的位似中心。证明：连O1D、O2M，则O1DBC、O2MSM，故O1D/O2M。因为A、O1、O2共线所以，故A A是两圆的位似中心。3. 设O1、O2内切，切点为A，O2内的弦BC切O1于点D，证明：直线AD过弧BC的中点。证明：如第1题图，A、M分别作切线AT，MS，那么由切线的性质知 BDATAMSMA， 所以 BC/SM。所以CAMCBMBMSBAM，所以直线AD过弧BC的中点。 4. 设O1、O2外切，又同时与O3分别内切于A、B，O1、O2的一条外公切线与O1、O2切于点C、D，证明：（1）AC、BD交于O3上的一点；（2）A、B

5、、C、D共圆；（3）AC、BD、O1和O2的内公切线三线共点；（4）AB、CD、O1O2三线共点。（5）设O1与O2的切点为T，CD交O3于K、L，O1与O2的内公切线在CD的一侧交O3于M，则MFMGME。（6）设O1与O2的切点为E，外位似中心为O，则OE2OA·OB。证明：（1）如图，记CD与O3的交点为E、F，根据第3题结论知AC过弧EF的中点，BD也过弧EF的中点，所以AC、BD交于O3上的一点。 （10分）（2）连AB，那么由M是EF弧的中点知，BDF是BF弧和EN弧度数的半和，从而是BM弧的度数的半和，所以BDFBAM，所以A、B、C、D共圆。（3）如图，记O2外的半径

6、为r，那么 MDMB(MO2)2 r2= (MO2)2 O2T2， 所以MT是O2的切线。同理，MT也是O1的切线。从而有AC、BD、O1和O2的内公切线三线共点。（4）考察AO1和BO2D，易知AO1, BO2交于O3，而M是弧EMF的中点，所以O3MCD, O1C/O2D/O3M，那么根据笛沙格逆定理知AB、CD、O1O2三线共点。（5）如图，连BL，记O2外的半径为r，那么 MDMB(MO2)2 r2= (MO2)2 O2T2， 所以MT是O2的切线。同理，MT也是O1的切线。根据第1题结论知M是弧KL的中点，所以MKML，故KLMLKM。由DLMLKMLBM，知MLBMDL， 所以，即

7、ML2MBMD。 但MT2MBMD，所以MKMLMT。 （6）如图，设ME交CD于N，连EC、ED，易知CED900, 由CEN+NEDNED+DEO900,得CEOEDO。所以，即OE2OCOD。 又C、D、A、B共圆，故OCODOAOB，所以 OE2OA·OB。5. 给定三个圆A，B、C，证明：（1）设B与C的外位似中心为X，A与C外位似中心为Y，A与B外位似中心为Z，则X、Y、Z共线；（2）设B与C的内位似中心为D，A与C外位似中心为E，A与B外位似中心为F，则AD、BE、CF共点。证明：习 题31在已知三直线上各取两点，若能使每两对点共圆，则三直线共点或此六点共圆。证明：若此

8、六点不共圆，则三直线即为此三圆确定的三条根轴，从而它们共点或平行。故结论成立。2一个固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。证明：对共轴圆系中的任意二圆，与固定圆一起，共三圆，由第1题的结论知，三圆确定的三条根轴共点。由此即得固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。3若一个四边形有等角共轭点，则这对点在四边上的射影共圆。证明：如图，设P、Q是一对等角共轭点，那么A1BP=B2BQ, A2BQ=B1BP, 所以BA2BB1，BA1BB2，即 BA2BA1BB1BB2，所以A1, A2, B1, B2四点共圆。 同理，B1, B2, C1, C2四点共圆；C1, C2, D1, D2四点共圆；D1

9、, D2, A1, A2四点共圆。易知A1A2、B1B2、C1C2、D1D2的中垂线共点于PQ的中点O。从而由O点到A1、A2、B1、B2、D1、D2的距离相等，所以A1、A2、B1、B2、D1、D2共圆，即四边形的等角共轭点对在四边上的射影共圆。4若一个圆的内接四边形的对角线互相垂直，则对角线的交点在四边上的射影及各边中点，共八点在一个圆上。证明：过P作PA1AB于A1, 过O作OB2BC于B2,连OB，那么A1PB=BAP=BDC=B2OB, 所以 ABP=OBC。 同理，BCP=DCO，CDO=ADP，BAP=DAO，即O与P是四边形ABCD的一对等角共轭点。利用第3题的结论知O、P在四

10、边上的射影共八点，它们是共圆的。但圆心O在各边上的射影正好是各边的中点，所以对角线的交点在四边上的射影及各边中点，共八点在一个圆上。5. 在凸五边形ABCDE中，ABBC，BCDEAB900, P为形内一点，使得APBE，CPBD。证明：BPDE。 证明一：过B作BQDE于Q，那么BR2RE2+EQ2QD2+DS2SB2AB2AE2+BE2BD2+CD2CB22AB2 2BC202-222所以AR、BQ、CS共点，故BPDE。证明二：因为APBE，CPBD，故PE2 PB2AE2 AB2BE2 2AB2, PD2 PB2CD2 BC2BD2 2BC2,两式相减，得 PE2 PD2BE2 BD2

11、, 所以BPDE。证明三：设AP交ABE于A，CP交BCD于C，那么ARAR，CSCS。故PAPAAR2 PR2AB2 BR2 ( BP2 BR2)=AB2 BP2PCPCCS2 PS2BC2 BS2 ( BP2 BS2)=BC2 BP2所以PAPAPCPC，即P是关于二圆的一个等幂点，所以BP垂直于二圆的连心线。但二圆的圆心分别为BE、BD的中点，故连心线平行于DE，于是BPDE。6. 在AOB内部一点C，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，再过D作DNOB于点N，过点E作EMOA于点M。证明：OCMN。证明：设ME与DN交于R，连CR、OR，由DNOB，EMOA，可知O、N、R、M共

12、圆，圆心为OR的中点P。又MEO=NDO，故N、E、D、M共圆，圆心为CR的中点Q。二圆的根轴为MN，所以PQMN。而PQ/OC，所以OCMN。7. 设锐角ABC的外心为O，BOC的外心为T，点M为边BC的中点，在边AB、AC上分别取点D、E，使得ADMAEMBAC。证明：ATDE。证明：如图，设DM、EM的延长线分别交AC、AB于P、Q，则ADP和AEQ都是等腰三角形。设K、L分别为AD、AE的中点，那么QLAE，PKAD。设KP与LQ交于R，则A、K、R、L共圆，圆心为AR的中点S。又K、L、P、Q共圆，且圆心为PQ的中点N。而KL是两圆的根轴，故SNKL。另一方面，MTC=BOC2BAC

13、MPC，所以T、M、C、P共圆。故TPC=TMC900。于是TPAC。所以TP/QR。 同理，TQ/RP。所以RQTP是平行四边形，故RT与PQ互相平分。从而SN/AT。但KL/DE，所以ATDE。习 题 41正交的二圆中，在交点处一个圆的切线必过另一圆的圆心。证明：根据定理“两圆正交的充分必要条件是两圆半径的平方和等于两连心线段的平方”知ACCB，即正交的二圆中，在交点处一个圆的切线必过另一圆的圆心。2以圆外一点为圆心可作一个圆与已知圆正交。证明：如上图，过B作A的切线，切点为C，以B为心，BC为半径作圆，易知B与A正交。3过已知圆上两点可作一圆与已知圆正交。证明：如图，C、D是A上的二点，

14、过C、D作A的切线交于B，以B为心，BC为半径作圆，易知B与A正交。4与两个已知圆都正交的圆，其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。证明：因为正交圆的交点处的切线经过另一圆的圆心，故与两个圆都正交的圆的圆心到两圆的切线长相等，即与两都正交的圆的圆心是到两圆的幂相等的点，所以在两圆的根轴上。由所作的是切线，故要求圆心在两圆的外部，即与两个已知圆都正交的圆，其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。5三个圆有且仅有一个公共的正交圆，其圆心是三个已知圆的根心，只要这个点在三个圆外。证明：设O与O1、O2、O3都正交，由第四题的结论可知，O在O1、O2的根轴上，也在O1、O3的根轴上，所以O就是O1、

15、O2、O3的根心，但要求三圆的根心在三圆的外部。6与两定圆正交的圆构成一个共轴圆系。证明：如图，设O1 (r1) 、O2(r2)是两个定圆，此二圆的根轴与连心线的交点为A，那么与二圆正交的任意O(R)的圆心在二圆的根轴上。设O交O1于D，交连心线于B，则AB2 = R2 OA2 = O1O2 r12 (O1O2 O1A2)= O1A2 r12从而AB的长为常数，故O过两个固定点，所以与两定圆正交的圆构成一个共轴圆系，其轴为二定圆的连心线。习 题 51 设O与直线l相离，过l上的点作O的切线、，则切点、的连线过定点。证明：设OP交AB于G，过O作m的垂线交m于K，交AB于H。 GHPG，PKKH

16、 P、G、K、H四点共圆。 OKOH=OGOP=OA2。 OK、OA都是常数， H是定点，即AB过一个定点。（另证：因为P的直线m上，所以P的极线通过m的极点，即AB通过一个定点。）2 设O外有n个共线点Pi (i=1, 2, ，n)，过Pi作O的切线，切点为i，Bi，则直线iBi共点。证明： 见第1题。3 过圆外一点任作一条割线交圆于两点，则这两点处的切线的交点在一条定直线上。证明：设圆外一点为P，过P的割线交圆于A、B，A、B处的切线交于Q，则Q的极线为AB，因为AB过P点，那么由配极原则知P的极线过Q点，即Q在P的极线上。所以过圆外一点任作一条割线交圆于两点，则这两点处的切线的交点在一条

17、定直线上。4 过圆外一点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B，连AB、OP交于K。过K任作一弦CD，则OP平分CPD。证明：如图，连OC、OD。 PA、PB是切线， OKKP=KB2=BKKA P、C、O、D共圆。 CPO=CDO=DCO=DPO，即OP平分CPD。 （另证：因为K的极线为过P且与OP垂直的直线m。设直线CB与m交于M，则（CD，KM）= 1 。由MPPK知，PM、PK为CPD的平分线。）5 设P为圆外一点，任作圆的直径AiBi，则PAiBi的垂心在一条定直线上。证明：由第6题的结论知，PAiBi的垂心Hi在定直线（P的切点弦）上。6 设H为锐角ABC的垂心，由A向以BC为直径

18、的圆作切线AP、AQ，切点为P、Q，求证：P、H、Q三点共线。（1996年，CMO）证明：如图，连PQ、OA交于G，连OQ。 AP、AQ是切线， AGAO=AQ2。 H是垂心， AHAD=AEAC=AQ2。 AHAD= AGAO G、O、H、D共圆。 GHAO，即H在过G且与AO垂直的直线上。 P、H、Q共线。（另证：H是BE与CF的交点，从而H在A的极线上。但A的极线为PQ，所以H、P、Q共线。）7 直线m（不过圆心）与O相交，过m在圆外的点作圆的两条切线，切点为A、B，则AB与OK交于定点（其中OKm于K）。证明：见第1题。8 过O内任一点K作弦iBi（直径除外），再过Ai、Bi分别作圆的

19、切线交于Pi，则所有Pi共线。证明：过K作OK的垂线交圆于Q、R两点，设Q、R处的切线交于点H。连OAi、OBi、OQ、OR，HQ、HAi、HO、HBi、HPi。 易知H、Ai、O、Bi共圆，但P、Ai、O、Bi共圆，所以P、H、Ai、O、Bi共圆。所以 PHO=PAiO=900。即P在过H且与OK垂直的直线上。（另证：Pi为AiBi的极点，而AiBi以过K，从而Pi在K的极线上。）9 设K是O直径MN上异于O的一点，过K任作一弦iBi，连iM、BiN交于Pi，则所有Pi共线。证明：过PiHMN于H连MBi、BiH。 MN是直径， Bi、H、Pi、M共圆。 HBiPi=HMPi=NBiK，即B

20、iN是KBiH的内角平分线。由MBiBiN知MBi是KBiH的外角平分线。 即 =常数，从而H是一个定点。 Pi在过H且垂直于MN的一条定直线上。（另证：设MBi与NAi交于Qi，由四边形MAiNBi的调和性可知，PiQi为K的极线。所以Pi共线。）10 设K是圆内异于圆心的任一点，过K作两条不等的弦iBi，CiDi，连AiCi、BiDi 交于Pi，则所有Pi共线。证明：作过K的直径MN，连MAi与NBi交于点Ei，连MCi与NDi交于Fi，过Ei作MN的垂线，垂足为H，那么由第6题的结论知，Ei，Fi，H在一条定直线上。考察MAiCi与NBiDi应用，其对应顶点M、N；Ai、Bi；Ci、Di

21、的连线共点于K，那么由笛沙格定理知，它们的对应边MAi与NBi的交点Ei，MCi与NDi的交点Fi，BiDi与AiCi的交点Pi三点共线。所以Pi在一条定直线上。（另证：设AiDi与BiCi的交点Qi，由四边形AiCiBiDi的调和性可知，PiQi为K的极线。所以Pi共线。）11设AB是圆O的直径，直线m过K且与AB垂直，Qi为m上任一点，连AQi、BQi分别交圆于Di、Ci，则CiDi共点。证明：如图，Hi为ABQi的垂心。BKQiBCiA, (1)同理，可得 （2） （3） （4）（3）×（4）×（1）÷（2），得因为AK、BK、AB都是固定的，所以X也固定。

22、所以CiDi共点。（由四边形ABCiDi的调和性可知，（AB，KX）= 1，但A、B、K固定，所以X是定点。即CiDi共点。）12设P是圆外定点，过P任作两条不相等的割线PDiAi、PCiBi。设iBi、CiDi交于Qi，则所有Qi共线。证明：设PMN是圆心的割线，m为P的切点弦，m交MN于K点。由第11题题可知，Qi在P的切点弦m上。MBi与NCi的交点Ei，MAi与NDi的交点Fi都在m上，而MAiBi与NDiCi的对应顶点的连线共点于P，故由笛沙格定理知，AiBi与DiCi的交点Qi也在m上。（另证：由四边形AiBiCiDi的调和性可知，Qi在P的极线m上。）13四边形ABCD内接于圆，

23、其边AB和CD的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，由Q作圆的两条切线QE、QF，切点为E、F，求证P、E、F三点共线。证明：由第12题知，P在Q的切点弦上，但EF为Q的切点弦，所以E、F、P共线。 第12题图 第13题图14过圆外一点H作割线HBA（直径除外），试问OH上是否存在一点K，使BKH=AKO。证明：这样的点K存在。过H作切线HC，C为切点，再过C作CKOH于K。连OA、OB。 CKOH，OCCH HC2=HKHO又 HBHA=HC2， HKHO= HBHA A、O、K、B四点共圆。 BKH=BAO=OBA=OKA。15如图，已知A为平面上两半径不等的O1和O2的一个交点，

24、两外公切线P1P2，Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2；M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：O1AO2=M1AM2。证明：如图，连HA。 AO1M1=HO1AO1A2=O1P12=O1M1O1H即 AO1M1HO1A。 O1AM1=O1HA。同理， O2AM2=O2HA。 O1AM1=O2AM2。 O1AO2=M1AM2。16设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同点，分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z。若P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N。证明：AM、DN、XY三线共点

25、。证明：如图，设AM交XY于S。 AC是直径， CMAS。又 SZAC CZPSZA， 即 CZZA=SZPZ。 但A、X、C、Y共圆，故CZZA=ZZZY=XZ2。 PZSZ=XZ2，故S是P关于XY为直径的圆的调和共轭点。同理，DN也过S点。17如图，设PA、PB是O的切线，A、B是切点，割线PEC交AB于D，若PE=2，CD=1，求DE的长。证明：根据切点弦的性质知，即 PEDC=EDPC 。所以PEDC=EDPC=ED（CD+DE+EP）。将已知代入，得 2=ED（3+ED），解得 。18直线AB与圆相切于B，弦CD经过AB的中点M，直线AC交圆于E，AD交圆于F，证明：EF/AB。证

26、明：设CD与EF交于点S，连SB交FD于T。因为S、B都在A生成的直线上，故BT是A生成的直线。所以T是A生成的点，所以（DF，TA）= 1 设EF与AB的交点为P，通过以S为中心的中心投影知（MP，BA）= 1。因为M是AB的中点，所以P是无穷远点，所以EF/AB。19在直角ABC中AB为斜边，CH为斜边上的高，以AC为半径作A。过B作A的任一割线交A于D、E，交CH于F（D在B、F之间），又作ABG=ABD，G在A上，G与D在AB异侧，求证：E、H、G共线。证明：如图，设BG交圆于另一点J。连AJ、AG、AE、AD、DHHG、HE。 ABG=ABD BDE和BGJ关于AB对称，从而AGJA

27、DE。 ACCB BC是切线。 BGBJ=BC2。 CHAB BC2=BHBA BGBJ=BHBA，从而A、H、G、J四点共圆。同理，A、H、D、E共圆。 GHB=AJG=AGJ=ADE=AHE。 E、H、G共线。20. 设直线l被O截出的弦的中点为M，过M任作二弦AB、CD，AD、BC分别交l于P、Q，则M是PQ的中点。证明：延长AD、BC交于L，延长AC、BD交于K，则KLM是自极三角形，从而O是KLM的垂心，故OMLK。但OMl，所以l/KL，从而与KL的交点R是无穷远点。 由完全四边形ACBD的调和性知D、B、E、K是调和点列，以L为中心将其投射到l上，得P、Q、M、R。故P、Q、M、

28、R也是调和点列。由R是无穷远点知M是PQ的中点。 （当与O相离时，设O在上的射影为M，则结论仍成立。）习 题 61. 过ABC的顶点A、B、C各作一直线，使交于一点P，而分别交ABC的外接圆于A、B、C。又在外接圆上任取一点Q，则Q A、QB、QC与BC、CA、AB对应的交点为X、Y、Z三点共线。证明：如图，考察圆接六边形QAACBB，由巴斯卡定理知QA与BC的交点X，AA与BB的交点，AC与BQ的交点Y，三点共线。 同理，由圆内接六边形可证P、Y、Z共线。所以X、Y、Z三点共线。2.已知A1、B1、C1分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，P为ABC外接圆上的动点，PA1、PB1、PC1

29、分别与ABC的外接圆交于另外的点A、B、C。若A、B、C、A、B、C是不同的点，则直线AA、BB、CC交出一个三角形。证明：此三角形的面积不依赖于点P。证明：设A0、B0、C0是AA、BB、CC交出的三角形的三个顶点。考察圆内接六边形ABCCPA，根据巴斯卡定理知AB与CP，BC与PA，CC与AA的交点C1、A1、B0三点共线。从而B0在ABC的中位线A1C1上。同理A0、C0分别在B1C1和A1B1上。由AC/A1C1知B0C0A1AC0B1，故。同理，由BC/B1C1可知。所以B0B/A0A。故。3.设与ABC的外接圆内切并与边AB、AC相切的圆Ca，记ra为圆Ca的半径，类似地再定义rb

30、，rc，r是ABC的内切圆半径。证明：ra + rb + rc r 。（第20届伊朗数学奥林匹克）4.凸四边形ABCD内接于O，O与边BC相交，与O内切，且与BD、AC切于点P、Q。证明：ABC的内心，DBC的内心，P，Q四点共线。（07,中国国家集训测试）证明：如图，过两圆的切点T作公切线KL，延长PQ与CD交于R，联结TP并延长与大圆交于G，联结CG分别PQ、BD交于I、H。设AC与BD交于点E，TC、TD分别交小圆于M、N。由KTB+BTP=KTP=BPT=PDT+DTP，KTB=PDT，故BTP=DTP，即G为弧BAD的中点。因此CI平分BCD。因为直线HIC、PQR分别截PDR、CD

31、E，所以又梅涅劳斯定理分别得。由EP=QE，所以 。因为GDPGTD，所以 。 （3）由TNM=MTL=TDC知MN/CD。故 即 。 （4）将（4）代入（3），得 。 （5）再将（5）、（2）代入（1），得 。故DI平分BDC。于是BCD的内心I在直线PQ上。同理ABC的内心也在直线PQ上。5.设ABC的内部的点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，过点A分别作直线BP、CP的垂线，垂足分别为M、N。求证：ME、NF、BC三线共点。（05, 中国国家集训测试）证明：因为PFFA，PNNA，PEEA，PMMA，所以A、F、N、P、E、M六点共圆。 考察圆内接六边形AEMPNF，由巴斯

32、卡定理知AE与PN的交点C，EM与NF的交点，MP与FA的交点B三点共线，所以ME、NF、BC三线共点。6.已知ABC为锐角三角形，以AB为直径的K分别交AC、BC于点P、Q，分别过A、Q作K切线交于点R，分别过B、P作K切线交于点S。证明：点C在线段RS上。（2002, 澳大利亚数学竞赛）证明：如图，设AB与PQ交于T，考察圆内接六边形AABQQP，由巴斯卡定理知AA与QQ的交点R，AB与PQ的交点T，BQ与AP的交点C，三点共线。同理，考察圆内接六边形ABBQPP，可得T、S、C共线。所以C、R、S、T共线，即点C在线段RS上。7. 设凸四边形ABCD外接圆圆心为O，已知ACBD，AC与B

33、D交于点E。若P为四边形ABCD内部一点，使得PAB +PCB PBC +PDC900。求证：O、P、E三点共线。（第9届香港数学奥林匹克）证明：习 题71试证圆心是圆外切完全四边形的对角三角形的垂心。证明：如图，设四边形ABCD外切于O，AB、BC、CD、DA上的切点分别E、F、G、H，那么EG、FH、AC、BD共点。设EH与FG交于点Q，EF与GH交于点R，那么利用巴斯卡定理可得R、T、Q、S共线。利用巴斯卡定理，还可证明Q、B、P、D共线；R、C、P、A共线。从而ABCD的对角PQR是四边形EFGH的对边三角形，从而是自极三角形。由§4例2的结论即知O是PQR垂心。2. 设四边

34、形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设ABP、BCP、CDP、DAP的外接圆圆心分别为O1, O2, O3, O4，求证：OP，O1O3, O2O4三直线共点。证明：根据外心的定义可知O1O2O3O4是平行四边形。考察OO1O2与PO3O4。因为 O4O3P=DCA=DBA=O2O1O,所以 O3P/O1O。同理，可得 O4P/O2O。所以OO1O2与PO3O4的对应边平行，从而它们的交点共线。根据笛沙格逆定理知OP，O1O3, O2O4三直线共点。3. 设ABCD是O内接凸四边形，ABC、BCD、CDA、DAB的内心分别为E、F、G、H，证明：四边形EFGH是矩形。证明：如图，而

35、ACDABD，故AHDAGD，所以A、H、G、D共圆。同理，A、H、E、B；D、G、F、C；B、E、F、C都共圆。于是同理HEFEFGFGH900 。所以四边形EFGH是矩形。4.设四边形ABCD是圆内接四边形，则。证明：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+CB+D1800,从而 B C A D，C DB A，所以sinA = sinC, sinB = sinD, sin(BC) = sin(D A), sin(CD) = sin(AB),所以 。5. 设四边形ABCD是圆内接四边形，A的邻边记为a、d，C的邻边为b、c，则，其中2p = a + b + c + d。证明：记四边形ABC

36、D的面积为S，因为ABCD是圆内接四边形，所以故 。6. 设四边形ABCD是圆内接四边形，记ABa，BCb，CDc，DAd，则。证明：这是第8题的推论。7. 设四边形ABCD是圆内接四边形，记ABa，BCb，CDc，DAd，圆的半径为R, 则。 证明：由第5、6题的结论知，abe + cde = adf + bcf又，故由托勒密定理知ac+bd=ef，所以8. 设四边形ABCD是圆内接四边形，记ABa，BCb，CDc，DAd，AC=e, BD=f，则 abe + cde = adf + bcf 。证明：因为ABCD是圆内接四边形，所以cosB+cosD=0故 于是 。 由托勒密定理知ac+bd

37、=ef，所以 abe + cde = adf + bcf 。9作圆内接四边形每双对边所在直线的交角的平分线，则所作四线交成一个矩形。证明： FQ是AFB的平分线， QFB=AFQ由 KHE=A+AFQ，HKE =QFB +KCF=QFB +EC =QFB +A知 KHE =HKE。 EHK是等腰三角形。 EG是HEK的平分线， EGFG，即圆内接四边形的对边夹角的平分线互相垂直。又因为一个角的内外平分线是垂直的，所以圆内接四边形每双对边所在直线的交角的平分线交成一个矩形。10在圆内接四边形中，设每边两端所引邻接边的垂线相交，则所得四交点与四边形的对角线交点及外接圆心共线。证明：如图，设ABCD

38、是O的内接四边形，过B垂直于AB的直线交O于F，过C垂直于CD的直线交O于E，BE与CF交于H。考察O的内接六边形AFBDEC，由巴斯卡定理知AF与DE的交点，FB与EC的交点H，BD与CA的交点P三点共线。由于AF、DE都是直径，故AF与DE的交点是圆心O，所以O、P、H三点共线。同理，其它三个点也在OP上。所以圆内接四边形中每边两端所引邻接边的垂线相交，而得的四交点与四边形的对角线交点及外接圆心共线。11圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心、旁心合计十六点分配在八条直线上，每线上四点，而这八线是两组互相垂直的平行线，每组含四线。证明：如图，设A1A2A3的内心为I1, 其三个旁心为B1,

39、 C1, D1；的内心为A2A3A4的内心为I2, 其三个旁心为B2, C2, D2；、A3A4A1的内心为I3, 其三个旁心为B3, C3, D3；A4A1A2的内心为I4, 其三个旁心为B4, C4, D4, 那么由第3题的结论知四边形I1I2I3I4是一个矩形。根据内心、旁心的性质可知因为A2A3A1=A2A4A1,所以A2D1A1=A2B4A1,所以A2, B4, D1, A1四点共圆。另一方面，A2, B4, A1, I4四点共圆，A2, D1, A1, I1四点共圆，从而A2, B4, D1, A1, I4, I1六点共圆。所以B4I4, D1I1都是直径，故B4D1I4I1是矩形

40、。 同理，B1D2I1I2是矩形；B3D4I3I4是矩形；B2D3I2I3是矩形。由A2, B4, D1, A1, I4, I1六点共圆可知，所以A1, D1, A3, I3四点共圆。同理，A1, B1, A3, I3四点共圆。易知A1, C3, A3, I3四点共圆。所以A1, D1, C3, B1, A3, I3六点共圆。故D1C3B1I3是矩形。同理，B4I2D4C2是矩形；B3I1D3C1是矩形；B2C4B1I4是矩形。所以圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心、旁心合计十六点分配在八条直线上，每线上四点，而这八线是两组互相垂直的平行线，每组含四线。12设四边形ABCD内接于圆O，且A

41、CBD，则OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共线。证明：如图，设OAB、OBC、OCD、ODA的垂心分别为H1, H2, H3, H4,AC与BD的交点为P，那么 AH1 / CH2, ,故 。但 AP·PCBP·PD，所以 ，所以 APH1CPH2 。于是 APH1CPH2 ，所以 H1, P, H2 三点共线。同理，BPH1DPH4 ，H1, P, H4 三点共线；BPH2DPH3 ，H2, P, H3 三点共线。所以H1, H2, H3, H4, P共线，即OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共线。13. 设四边形ABCD外切于圆O，则OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共线。证明：如图，设OAB、OBC、OCD、ODA的垂心分别为H1, H2, H3, H4,AC与BD的交点为P，那么 AH1 / CH2, ,故 。另一方面，AB+CDBC+AD，所以 ，故。于是 APH1CPH2 ，从而 APH1CPH2 ，所以 H1, P, H2 三点共线。同理，BPH1DPH4 ，H1, P, H4 三点共线；BPH2DPH3 ，H2, P, H3 三点共线。所以H1, H2, H3, H4, P共线，即OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共线。14四边形是圆外