第5章(552)均方误差准则(MSE)和LMS算法

1、146数字通信辅导材料 第5章 在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输5.5.2均方误差准则（MSE）和LMS算法引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。本节讨论问题：1. 均方误差准则；2. 无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）；3. 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）；4. LMS算法；5. 均衡器的操作；6. 递推LMS算法收敛特性的分析。一. 均方误差准则 Tx+ch+MF+WF vk + （白） 系统模型 （白） 判决器信息符号的估计值： （无限长均衡器情况）其中，接收数据样本为：，为白噪声。估计误差：定义：估计值为均衡器的性能指数。均方误差准则：使

2、均方误差性能指数最小（），此准则同时考虑使ISI及噪声影响最小。获得的途径：调整，当时，(最佳抽头系数)寻找的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：。（注：与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本，这就包含了噪声）。即。2)求函数极值方法：令2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。这两种方法是等价的，证明如下。证明：求导置零方法与正交性原理等价。 假如均衡器为有限长，则其中，以及。故另一种方法：可见，是的平方函数（二次型）。求导置零可得： 即， ，结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE。二、无限长LMS均衡器（性能）1. 求

3、：从正交原理出发，(10-2-27)即即（*） 正交条件注: 是收数据样本，其中的噪声已经白化。在（*）式左边可以得到：式中利用了。注：都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。因此我们有： (A)注：，代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。（注：令）故，其支撑为：或者说，可以得到也可以写为（*）式右边： 式中，由此可得 (B)将（A）、（B）两式代入（*）式：上式就是: 取Z变换： (10-2-31)则MMSE均衡器 (10-2-32) 等效MMSE均衡器： (10-2-33)2. 求（最小均方误差）（1） 时域利用正交原理第二项为零，所以（利用(B)式）令信息符号

4、的平均功率为1，则（2）频域通过z变换及令将式的全传输系统响应： (10-2-35) 以z反变换（留数法）求： (10-2-36) (10-2-37)代入 ，得 将以信道折叠谱表示。因为的傅里叶变换为，故又所以 (10-2-18)所以 (10-2-38)所以，当ISI=0时， (10-2-39)因，故,，利用正交原理，易证：，即。 输出SNR: (10-2-40)三、有限长LMS均衡器 (, )均方误差： 1、 求：无限长均衡器仿上面无限长均衡器的推导：根据正交条件：令则 （注: 的支撑为。） 令 得 （10-2-43）矩阵形式： （10-2-46）所以， （10-2-47） 说明：, 为有个

5、元素的列向量 为(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩阵。因为自相关函数且，所以中元素满足。是共轭转置阵（Hermite）阵。2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差：前已经证明 将代入式： (10-2-48)注：的支撑为。 工程实用方法： 采用简单的迭代过程最速下降法。四. LMS算法：内容: a)算法： (理论算法) b)梯度： c) 工程实用算法： d) 均衡器结构：图11-1-2 1、 算法：LMS算法是一种最陡下降法，其实质是一个迭代过程，而迭代过程是通过递推运算来进行的。设有（2K+1）个抽头递推运算： 每次迭代变化量： 令 则 或矩阵形式： ，式中为调节阶距（

6、步长）注：可以看到，即强制要求抽头系数向着误差下降的方向变化。则 或矩阵形式： ，式中为调节阶距（步长step），其中第k符号时间的抽头系数列矢量（即均衡器）为：2、 梯度：讨论：1)理想情况下，经过若干次迭代（），2)实际情况中，计算困难 统计平均, 不实时为克服这一困难，用估计值取代梯度真值对的无偏估计有：则 为梯度真值，为真值的无偏估计量。3. 工程实用LMS算法： (11-1-9) 即 (11-1-11)或 在商用的自适应均衡器中，为简化乘法运算次数，仅取和（或）的正负号进行运算，而不管大小。其优点是简单，易实现，运算次数少；缺点是收敛慢。 如： (11-1-14)定义复符号函数： (

7、11-1-15)4. 均衡器结构图11-1-2 基于MSE准则的线性自适应均衡器五. 均衡器的操作过程图1 方框图1. 方框图 2. 两种工作模式（状态）（1）训练模式（training mode）: （2）工作模式（run mode）: , 在完成训练之后，进入正常的工作模式情况下，即使有错判，由于很小，由此引起的误调整影响很小。3. 步长选择与收敛特性 训练时： 大加速初始调整，接近 工作时： 小稳态误差小，步长选择考虑：稳定且收敛快 稳态MSE小六. 递推LMS算法收敛特性的分析1、引言说明三个问题：要解决什么问题；分析从何入手；分析的方法。（1） 算法表示理论上LMS算法：， （A）实

8、用的递推算法： （B）梯度向量有噪无偏估计值：（2） 问题l 收敛特性与的关系？l 如何选择，以确保收敛？因为，即为真值的无偏估计，所以，对收敛特性的影响，对（A）（B）两式是相同的。为数学分析方便，我们只研究（A）式的收敛特性。（3） 收敛特性的分析方法采用反馈系统稳定性的分析方法：l 建立以输出的闭环系统模型，定性分析的影响；l 建立系统的差分方程，定量分析的影响。2、闭环系统模型定性分析收敛特性算法： （A）式中， （B）接收信号自相关矩阵，由确定。互相关矩阵，由确定。分析：由（A）式可看出（1）的迭代过程可以看作：每次迭代增量()的累积过程由保持器实现；（2）第k时刻计算的增量()应在

9、第(k+1)时刻反映出来由延迟(Z-1)来实现。图3(A) 决定闭环的主干回路(B) 决定闭环的反馈回路结论：对闭环输出收敛特性影响因素：3、系统的差分方程定量分析收敛特性由(A)式得 （） (11-1-20)为一阶差分方程组，即因为不是对角矩阵，故，（2K+1）个一阶差分方程是相互耦合的，必须联解。所以，用解联立方程组来定量分析收敛特性是困难的。解决方法：利用线性变换（酉变换）来解耦。为Hermite（厄米特）矩阵，可用U(酉矩阵)表示为 (U-1) (11-1-21) 式中，U(酉矩阵)由的特征向量确定。 (对角矩阵)的对角元素为的特征值，特征值为特征方程的根。再利用U矩阵的性质： (U-

10、2) 将(U-1)式代入()式，两边再乘，然后利用(U-2)式，可得 (11-1-22) 式中， 说明：(1)因为为对角矩阵，所以一阶差分方程组是线性不相关的（即解耦）。 (2) 收敛特性取决于其齐次方程组： (11-1-23)即表示成（2K+1）个一阶差分方程组： 可见，（2K+1）个与（2K+1）个对应。对第j个抽头系数Cj的差分方程为 图4其相应的闭环系统模型为：系统函数为： 令，得极点：要使迭代过程收敛，应使极点在单位圆内，即 (11-1-24)即， 又因为为的(2K+1)个特征值；而为自相关矩阵、Hermite型、正定的，因此，则 。又因为各抽头用统一的步长，为保证稳定收敛，以确定。因此，若步长满足：，则递推算法是稳定的，收敛的。式中，是的最大特征值，其上界为 4、收敛特性的分析（1）收敛特性在满足稳定递推运算条件下（即）， 矛盾解决方法：分(一般)。LMS算法的优点：简单，各抽头用同一个。LMS算法每次迭代时，