竞赛讲座05几何解题途径的探求方法

1、竞赛讲座05几何解题途径的探求方法一. 充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动 的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想彖是促进人类发展的伟大天赋。”解题一项创造 性的工作，口然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指：1. 全面地设想设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的 大致方向，构思各种不同的处理方案。例1.在abcd中，ab=ac, d是bc边上一点，e是线段ad上一点， zbed = 2zced = abac ,求证：bd=2cd （92年全国初中联赛试题）例2.在aabc屮，ab>

2、;ac, za的外角平分线交abc的外接圆于d, de1ab于e。 求证：ae=（abac） （89年全国高中联赛试题）23.在rtabc的斜边上取-点d,使abd和aacq的内切圆相等。证明：sc = al）2 （31届imo备选题）例4.设a是三维立体d be的长方体砖块。若b是所冇到a的距离不超过1的点的集合（特 別地，b包含a）,试用川兀的多项式表示b的体积（84年美国普特南数学竟赛试题）2. 广泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一爭物想到与其相关的各种不同的事物, 进行由此彼的思索。在解题过程中，我们如能根据问题特征广泛地联想熟知命题，并设法 将其结论或解法加以利用，则

3、无疑是获得解题途径的简捷方法。例5.在mbc中角a, b, c的对边分别为a, b, c,若角a, b, c的大小成等比数列， 且h2-a2 =acf求角b （85年全国高中联赛试题）例6.四边形abcd内接于oo ,对角线ac1bd于p , e是cd的中点， ofxabrfo求证：pe = of （78年上海高中竞赛试题）例7. 在正方体abcd-ab.cdx中，e是bc的中点，f在棱人人上，且af : fa = 1:2,求平面b、ef与底面axbcxdx所成的二面角。（85年全国鬲中联赛试题） 例& 设州仏心儿为00的内接四边形，hp/2,/73,/74依次为 口2人/4，&quo

4、t;/|，44/2，朋淤2去的垂心。求证：7.比，比，比四点在同一个圆 上，并确定该圆的圆心位置。（92年全国高中联赛试题）3. 大胆地猜测想猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思 维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的徳国数学家高斯 就曾深有体会地说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。” “若无某种放肆的猜想， 一般是不可能有知识的进展的。”在解题过程中，通过猜想不仅可以得到问题的结论，而 且还可以获得解题的途径，但应注意，由猜想所得出的结论不一定可靠，其正确性还必须 经过严格的逻辑证明或实践的检验。例9.止方形abcd的边长

5、为1,分别是边与边ad ±各一点。若apq的周长为2。求zpcd （88年国家队选拔试题）ar ah am例10.已知岡内接四边形的对角线ac与bd相交于m。求证： 一x= cb cd mc例11.已知四面体p-abc的六条棱长之和为/,并且zapb = zbpc = zcpa = 90° ,试求它的最大体积。（28届imo备选题）例12.设止方体abcd-a.bc的棱长为a ,过棱b,ck一点q作一直线与棱和 dc的延长线分别交于p,r,试问：当q在棱fi,c,±移动时，线段pr最短吋的长度是 多少？证明你的结论。二. 粘:心地进行类比类比，是指人们在观察或思考

6、问题时，往往把相似的事物加以比较，并把处理某些事物的 成功经验用到与其性质相似的另一些事物上去的思维方式。在解题过程中，若能将它为相 似的问题精心地进行类比，则往往可由此得到解题途径，其至发现新的知识。例13.四边形abcd内接于对角线4c与bd相交于p,设abpbcp.cdp 和adap的外接恻恻心分别为0,02，。3，°4。求证：oq3，°2°4，°p三直线共点。（90 年全国高中联试题）例 14.在四面体 o 4bc 中，已 zaob = zboc = zcoa = 90° ,试问： 5眈上關3心軌心口 z间有何关系？证明你的结论。例16

7、.设0是四体abcd内部的任意一点，ao,bo,co,和do的延长线分别与而bcd,acd,abd 和 abc 交于 a：b：c：d'。求证：他 +丝+ 竺-+丝=1a4' bb cc dd三. 合理地利用特殊例17. abc和aabd在边a方的同侧，zacb + zadb = 180°,且边bc与边ad相交 于e点.求证:ae ad + be bc = ab?.例18.已知半径分別为r、f （/?厂）的两圆内切于4, ae是外圆的直径，ae的垂线与两圆分别交于4e同侧的两点b和c,试求aabc的外接圆直径（83年苏联竞赛题） 例19.设ao是的角平分线，且点boc共

8、线（心12a曲），贝uob、b'b? b2b3 a bnjb” bq°c - cc2 - c2c3 a - cn_xcn - cno的2 a ab“,gac2amc”丿（79年苏联竞赛题）例20.已知菱形abcd外切于oo, mn是与边ad.cd分别交于m,n的o o的任一切线，求证：am cn为定值。（89年苏联奥赛题）例21.设p是正三角形abc外接圆的劣弧bc上任一点，求证：（1） pb + pc = pa ； （2） pb pc = pa2-ab2例22.求证：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个内角的余弦z和小于这个三角形周长的 一半。例23. abc外接于0（2, p

9、是4b弧上一点，过p作oa,ob的垂线，与ac,bc分别于s,t ,与ab分别义于m,n。求证：pm = ms的充要条件是pn = nt o 例24.在凸六边形abcdef中，若对角线ad,be,cf中的每一条都把六边形分成面积 相等的两部分，则这三条对角线相交于一点（88年苏联奥赛题）习题1. 若 ce 是 abc 的 zc 的平分线，则 ae: ac = 1:2 （78 年四 川联赛试题）2. 在abc中，ab = ac,任意延长ca到p,再延长43到q,使ap = bq。 求证：abc的外心与a,p,0四点共圆（94年全国初中联赛试题）3. 平面上已给一锐角mbc,以4中直径的圆交高cc

10、'及延长线于m,n ,以ac为 直径的恻交高bb'反其延长线于p,q,证明：m,n,p,q四点共|员（90年美国19届奥 赛题）4 . 已知一凸五边 形 abcde 中， zbae = 3a,bc = cd = de , 且 zbcd = zcde = 180° - 2cr,求证：zbac = zcad = zdae （90 年全国初中联赛 题）5. 在 aabc 中，za,zb , zc 的对边分别为 a,b,c ,已矢a2 +ac + bc = 2b2,a2-ac + bc = 2c2,求它的最大角的度数（90年苏联奥赛试题）6. 已知锐角abc的顶点c到垂心，外

11、心的距离相等，求乙4cb （90年匈牙利奥赛题）7. 在三棱锥s-abc中，sa丄sc , sbc和aabc都有等腰三角形，£是边上 任意一点，在平hi sad内作sh1ad于h , p是sh的中点，求证：tgzpah tgzsdh 为定值。9. 设不过给定的平行四边形abcd顶点的任一直线分别与直线ab,bv,cd,da交于e,f,g,h ,则qefc与©ghc的另一交点必在定直线上。10. 设abcd是任意四边形（包括凹四边形），则ac.lbd的充要条件是：ab1 + cd2 =ad2+bc2 （1912年匈牙利竞赛试题）11 .如图，鬪的三条弦pp、,qq,rr两两相交，交点分別为a,b,c。若 ap = bq = cr,ar = bp = cq. o求证：zbc是正三角形。（28届imo备选题）12. 己知锐角4bc的外接圆半径为/?, d,e,f分别是边