高斯光束课件

1、高斯光束一、均匀平面波如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：其中： 为波数，n为介质折射率（在空气中n1） A0 振幅均匀平面波的特点：因为振幅A0与（x, y, z）均无关（即为常数），且位相仅与Z有关： 2-1 基模高斯光束基模高斯光束 ）（12 exp),(0ikzAzyxEnK2高斯光束图2-1 高斯光束 1在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光强是相等的； 2在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空气损耗）； 3距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向的平面。 但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进行多次反射后所形成的。

2、因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故在光束截面上，边缘部分的光强必将比中心部分较弱，故激光束不是均匀平面波。高斯光束二、均匀球面波考查由原点（x=y=z=0）向自由空间辐射的球面波矢量为：其中：r=（x2+y2+z2）1/2为点光源到光矢量传播方向上任一点P（x,y,z）的距离球面半径。均匀球面波的特点： 1振幅相等的面（即等幅面）为：半经相等的球面 2位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面 3光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。 exp)(exp)(),(02/12222/12220ikrrAzyxikzyxAzyxE）（22高斯光束作为特例：当zx,y，即相距点光源很远的很小球面内，

3、rZ则 ，与平面波矢量 ，有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳光）：即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那么激光究竟是一种什么光呢？ exp),(0ikzzAzyxEexp),(0ikzAzyxE高斯光束图2-2高斯光束三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量 沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：其中，A0原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1） （一）光束参数：W（z），R（z）： 在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的特征参数。）（32)()(2(exp)()(exp)(),(222

4、220zzRyxzkizWyxzWAzyxE高斯光束 即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径： （1）在Z点处的光斑半径： 特点：光斑半径非线性可变。 （2）在Z 点处的波阵面半径： 特点：波阵面半径非线性可变。 （二）膜参数W0： 以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）膜参数 对稳定球面腔： 通用公式： ）（421)(2/12200WzWzW）（521)(220zWzzR2212121240)2()()(lRRlRRlRlRlW高斯光束图2-3高斯光束特例特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=代入上式即，已知激光器腔参数R、l可求得膜参数W0例例，设=0.6

5、32810-3mm，R=500 mm，l=250 mm， 则 * 基模发散角（远场发散角）半角对平凹稳定腔而言 （2-7）基膜发散角亦可表示为0=F（W0）（以后再讲）结论结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数WO，可求光束参数W（z），R（z）。 下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=间的变化规律。 ）（62 )(4/12220lRlWmmW224. 0)250250500()106328. 0(4/1222304/12220)(lRl高斯光束一、在束腰处（即Z=0处）1波阵面半径R（z） 即R（z）=R0=，（z=0处，R0）在z=0处，波阵面为平面波。2初

6、位相 ，即初位相为零3光斑半径： 即：光斑半径等于束腰半径2-2 高斯光束的特性高斯光束的特性 zWzlinzWzlinzRlinzzz11)(220022000)(z0)(20Wzarctgz02/1220001 )(WWzWoWLinz高斯光束4横截面光强分布：在束腰处（即z=0）基尔霍夫公式变为：图2-42020020200exp0)00(expexp)0 ,(WrWAiikWrWAyxE高斯光束推导：令r=0，则E（0，0，0）= 令r=W0，则E（x0，y0，0）=结论结论： 1在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为一等相面（与平面波波阵面一致）。 2振幅部分为一指数

7、函数（高斯函数） 高斯光束的由来。 3在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的 （或强度的 ）时的r值为高斯光束的半径。00WA)0 , 0 , 0(11exp00202000EeWAeWWWAe121e高斯光束二、高斯光束通过孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量振幅为： 而其光强E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过某一半径为的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为： 在通孔半径为的光强P（）)(exp)(220zWrzWAEdrrzWrzWAkpo.2)(2exp)()(

8、22220 )(2exp)()(exp)(2222022202zWrzWAkzWrzWAkkEP高斯光束图-2-5drrzWrzWAkPo.2)(2exp)()(22220 在 r = 时，高斯光束的全部光强P（）高斯光束设当（通光孔径）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W（z），3W（z），时，N（）值如下表：即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能量为全部能量的99.999%。 例例：若激光输出的单脉冲能量为5mw，脉宽=5ns则瞬时功率为1106瓦（兆瓦），当=W（z）时损失能量为1106（1-0.864%）=1630瓦。）（82)(2exp1.2)(2exp

9、.2)(2exp)()()(222222 zWdrrzWrkdrrzWrkPPPNopo W（z） 1.5W（z） 2W（z） 2.5W（z） N（） 0.864 0.988 0.997 0.99999 1 高斯光束* 结论结论： 激光束通过透镜变换时，为保证充分利用能量，则其透镜半径一般取该理论计算光斑的22.5倍。此结论在弱信号检测中尤为重要，在光盘系统中，孔径还与焦深、光斑的大小有关。 三、Z=时的波阵面半径： 上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中心在束腰处。 可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=处，R（z）的值均为（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）22

10、01)(zWlinzzRlinzz高斯光束四、R（z）min：令 （共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh）则令 ，得：Z=F即在Z=F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为： 即 ，共焦参数的由来可由图2-6解释： 共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在此点，波阵面半径最小，具有两对称点（相对束腰）互为其波面球心。20WF ）（9211)(22220zFzzFzzWzzR01)(22zFdzzdR）（时时1022min)( 2min)( min)(2FzRFzFzRFzzFzzR20222min)(WFFzR高斯光束图2-6高斯光束 （五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R

11、（z）随传播距离Z变化的规律： 1在Z=0（即束腰处），R（z）=，即波阵面为平面波 2在Z0时，R（z）由逐渐变小 3在Z=F时，R（z）有极小值：。 4在ZF时，R（z）逐渐变大。 5Z时，R（z），变为平面波。高斯光束图2-7高斯光束例例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所在位置Z（=0.632810-3mm） 波阵面所在位置为图2-8mmWR3 .2482106328. 05 . 0223220minmmz124123 .2482高斯光束 （六）远场发散角 从 可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光束是

12、发散的，现在讨论其特性。 定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径的变化率 即 讨论： 1当Z=0时，=0（即在束腰处，发散角为0平面波） 2/122001)(WzWzW22402022122402021)(zWWZWWzdzzdW高斯光束 2当 （等于共焦参数）时 3当 Z=时： 等效于结论结论：1高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远场发散角为: 3通常将 区域定义为光束准直区 4W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。20WZ ）（12222200WW0W4/122

13、20)(lRl200WZ 高斯光束例：已知一氦氖激光器，腔长L=250mm，R1=500mm，R2=求 其远场发散角及准直区范围，离束腰1000mm处之发散角。解：此腔型为平凹稳定腔，则其束腰在平面镜处，（1） （注意：此处定义的光斑半径是振幅为中心振幅的 处）。radlRl44/122234/1222109)250250500()106328. 0()(mradrad9 . 0109 . 034/122234/12220)250250500()106328. 0()(lRlWmm224. 0e1高斯光束图2-9高斯光束亦可用公式 准直区（2） mradW9 . 0224. 0106328.

14、030mmWF1 .249106328. 0224. 03220 2240202)1000(ZWZW2324223)106328. 0(1000224. 0224. 01000)106328. 0(mradrad6 . 0106 . 03高斯光束一、用W0和距束腰的位置Z表征高斯光束 若已知高斯光束的束腰W0及传播方向上一点到束腰的距离Z，可以根据以下公式求出光束传播（自由空间）方向任一点的波阵面半径R（z）及光斑半径W（z）。 即： 二、用W（z）和R（z）表征 若已知W（z），R（z），则可求出高斯光束的束腰W0及束腰位置Z。2-3 高斯光束的特征参数高斯光束的特征参数 ）（。用于高斯光束

15、的正变换1321)(1)(2/12202200ZWZZRWZWZW高斯光束图2-10高斯光束即： 以上两组公式的特点：优点是直观，物理概念清晰，缺点是繁杂。那么能否找到一种更简便的计算方法呢？三、高斯光束的q参数 在高斯光束电矢量方程（基尔霍夫公式）中，将与横坐标（x，y）有关的因子和W（z），R（z）放在一起，即： ）（用于高斯光束的逆变换142)()(1)()()(1)(1222/1220ZWZRZRZZRZWZWW)()(2exp)()(exp)(),(222220zzRyxzkizWyxzWAzyxE)(exp)(2)(exp)(222220zkzizRyxiRzwyxzWA高斯光束令

16、：)(2)(22222zRyxikzWyx)(2)(12)(222ziRwzRyxik)(22)(12)(222zWizRyxik)()(12)(222zWizRyxik)()(12)(222zWizRyxik高斯光束令： 引入一个新的参数q（z），其定义为：将高斯光束的两个重要光束参数R（z），W（z）统一在一个q参数中。 即：如果我们知道了高斯光束在传播过程中任一点的q参数，则可令： 即可求出该位置的R（z）和W（z）。)()(1)(12zWizRzq）（162 )(1)(1zRzqRe）（172 )()(12zWzqlm高斯光束* 要解决的三个问题1q0和W0的关系：（模参数的q参数表达

17、式） 我们知道，在描述光束传播特性时，有一个重要的参数即模参数“W0”，（即已知W0，可求光束传播任意位置的光束参数）。 因此在进行q参数变换时，也必须知道光束的膜参数wo用q参数的表达式，即求出在束腰处，qo和Wo之间的关系。 设q0 = q（o）表示Z=0处的光束的q参数 且在Z=0处，R（0）=，W（0）=W0 则用（2-16）可得： )()(1)(12zWizRzq高斯光束即： 即： （定义 为共焦参数）上式将q0和W0联系起来。2任一位置Z处的q参数： 若已知束腰的q0参数，在距离束腰为Z处的q 参数为多少？通过透镜变换后的q参数为多少？)0()0(11)0(1)(120WiRqqzq201Wi2001WiqFiWiiWq2020020WF 高斯光束下面解决第二个问题：将 ，及 代入公式（2