球棒系统的建模及反馈控制

1、球棒系统的建模及反馈控制题 目:球棒系统的建模及反馈控制姓 名:学 院:班 级:学 号:指导教师: 年 月 日 南京农业大学教务处制球棒系统的建模及反馈控制设计 由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如下图所示。连杆在驱动力矩 作用下绕轴心点做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用,表示, 设刚性球的半径为R。当小球转动时, 球的移动和棒的转动构成复合运动。 球棒系统是一个典型的多变量的非线性系统。该系统通过操作驱动力矩的控制使刚性球稳定在连杆的中心位置。利用拉格朗日方程建立球棒系统的数学模型, 并用状态反馈的方法设计球棒系统的控制器, 通过给出具体的数据并进行计算, 再利用这些数据进行模

2、拟仿真。仿真表明利用状态反馈法设计的控制器, 可以实现球棒系统的稳定控制, 即刚性球随动力臂一起转动时不发生滚动。刚性球与机械臂的动态方程由下式描述：。选取刚性球的位移和其速度，以及机械臂的转角 及其角速度作为状态变量，令，可得系统的状态空间表达式：设球棒系统各参数如下：., 实习内容：1.将系统在平衡点x =0处线性化,求线性系统模型；先求平衡点；令，解得： 由题可知平衡点为处，故即。将球棒系统各参数带入得：由于A矩阵特征值为-7.657,7.657i，-7.657i，7.657，可知该开环系统是不稳定的。2利用状态反馈，将线性系统极点配置于求出状态反馈控制增益，并画出小球初始状态为横杆角度

3、为和初始状态,横杆角度为时的仿真图像。1、判断可控性：系统完全能控，能通过状态反馈任意配置极点。Matlab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> Uc=b,a*b,a2*b,a3*b;>> rank(Uc)ans = 42、状态反馈控制增益：K =-0.4940 -0.0043 0.3600 0.1200 Matlab 编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0

4、,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;>> p=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j;>> K=acker(a,b,p)Warning: Pole locations are more than 10% in error.K = -0.4940 -0.0043 0.3600 0.12003、添加反馈后的A矩阵：>> a-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0 0 -140.1400 0 0 0 0 1.0000 0.1784 0.2141 -18.0000 -6.0000状态方程为：4、小球初始状

5、态为横杆角度为仿真图像：球初始状态为横杆角度为图像通过matlab编程绘图（X1，X2，X3，X4）>> A=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6;>> B=0;0;0;49.995;>> C=1,0,0,0;0,0,1,0;>> D=0;>> x0=0.3;0;pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D)>> y,t,x=initial(sys,x0);>> plot(t,x)5、小球初始状态为初始状态,横杆角度为时的仿真图像：初始状态,横杆角度

6、为时图像通过matlab编程绘图（X1，X2，X3，X4）>> A=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6;B=0;0;0;49.995;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;x0=-0.3;0;-pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D);>> y,t,x=initial(sys,x0);>> plot(t,x)6、simulink仿真：球初始状态为横杆角度为的仿真图像：初始状态,横杆角度为时的仿真图像：3设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出小

7、球初始状态为，横杆角度为和初始状态，横杆角度为时的仿真图像，以及观测器输出与系统状态差值图像。1、状态反馈重新配置：由第二问图像知，系统的调节时间和超调量都比较大，运行matlab时，系统还提示：Warning: Pole locations are more than 10% in error.这主要由于极点配置不合理导致的。下面我们采用主导极点的方法对系统的性能进行改进，令系统性能指标： 超调量为5%，调整时间为0.5s。根据公式，等到，根据典型二阶系统的传递函数可知：s12=。系统为四阶，其他的两个极点可选为实部大于5倍S1,2的任意数，此处选择6倍极点s34。2、状态反馈增益：k =

8、-93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402Matlab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p)k = -93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402>> a-b*kans = 1.0e+003 * 0 0.0010 0 0 0 0 -0.1401 0

9、 0 0 0 0.0010 2.2770 0.3632 -4.0448 -0.11203、观测器增益：>> Uo=c;c*a;c*a2;c*a3;>> rank(Uo)ans = 4系统完全能观，可设计状态观测器。根据 Rei A-EC = (35 )Rei A-BK，选择极点 S12=-248.39j，S34=-1448.39j求G，A-Gc：Matlab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;p=-24-8.39*j,-24+

10、8.39*j,-144-8.39*j,-144+8.39*j;>> c=c'a=a'G=place(a,c,p);>> G'ans = 1.0e+003 * 0.1749 0.0090 4.0707 -0.0659 0.0461 0.1611 7.7485 3.4456>> a=a'-(G')*(c')a = 1.0e+003 * -0.1749 0.0010 -0.0090 0 -4.0707 0 -0.0742 0 -0.0461 0 -0.1611 0.0010 -7.7730 0 -3.4456 04、

11、小球初始状态为，横杆角度为时的图象：Matlab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x) 5、小球初始状态为初始状态，横杆角度为时的图像：>> a=0,1,

12、0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j;k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0;>> y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)simulink仿真：小球初始状态为，横杆角度为时的仿真图：小球初始状态为初始状态，横杆角度为时的仿真图像：6、小球初始状态为横杆角度为图像（t-e）：Matl

13、ab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;>> b=0;0;0;49.995;>> c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> d=0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);>> a1=a-b*k;>> u=0;>> G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x

14、)7、小球初始状态为横杆角度为图像（t-e）：Matlab编程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;>> b=0;0;0;49.995;>> c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> d=0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);>> a1=a-b*k;>> u=0;>> G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0

15、;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)8、simulink仿真小球初始状态为横杆角度为仿真图像（t-e）：小球初始状态为横杆角度为仿真图像（t-e）：4、分析和结论：当系统可控时，我们可以通过状态反馈对极点进行任意配置，而合适的极点选取对系统的性能有着很大的影响。第二问中我们对题目给定的极点进行状态反馈参数配置，画出仿真图后发现系统性能很不理想，经过分析发现这其实是系统的极点选取不理想导致的，这就需要我们在第三问中对极点进行重新配置。我们选取了主导极点的方法对系统进行改进，一开始对能否用主导极点的方法我们还是有疑问的，因为在第一问中我们计算得到这是一个零输入系统，而在自控原理中超调量和调整时间的公式都是在二阶系统有阶跃响应输入情况下计算的到的。最后，我们发现状态反馈回来的值其实就