第八章多元函数微分法及其应用1

1、多元函数的基本概念多元函数的基本概念1偏导数偏导数2全微分全微分3多元复合函数微分法多元复合函数微分法4微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用5多元函数的极值多元函数的极值6平面区域的概念平面区域的概念 1多元函数的概念多元函数的概念2多元函数的极限多元函数的极限3多元函数的连续性多元函数的连续性4小结小结5 0p ep 开区域开区域.41| ),(22 yxyxxyo.41| ),(22 yxyxxyo有界闭区域有界闭区域0| ),( yxyx无界开区域无界开区域xyo1.1.二元函数的定义二元函数的定义 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等

2、概念因变量等概念.二、多元函数的概念二、多元函数的概念),(yxf例例3 3 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 2二元函数二元函数 的几何意义的几何意义 ),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为d，对于任意，对于任意取定的取定的dyxp ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxm，当当x取

3、遍取遍d上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(

4、lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxp，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但

5、两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上

6、至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，