非齐次方程课件

1、北京理工大学数学系北京理工大学数学系5.6 5.6 线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 常数变易法常数变易法观察法观察法待定系数法待定系数法北京理工大学数学系北京理工大学数学系 xyye练习：求的特解观察练习（不求难，只求会）： yyx练习：求 的一个特解思考：观察法的重点在那里？北京理工大学数学系北京理工大学数学系常见类型常见类型方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xPexfmx )(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 二阶

2、常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程北京理工大学数学系北京理工大学数学系1( )xmypyqye P x、对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 北京理工大学数学系北京理工大学数学系1( )xmypyqye P x、对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xP

3、xQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(;)(xmexQy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexxQy 北京理工大学数学系北京理工大学数学系1( )xmypyqye P x、对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(;)(xmexQy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(;)(xmexxQy 是特征方

4、程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p .)(2xmexQxy 北京理工大学数学系北京理工大学数学系综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.1( )xmypyqye P x、北京理工大学数学系北京理工大学数学系.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单

5、根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1北京理工大学数学系北京理工大学数学系cos2i xi xeexsin2i xi xeexi()()( )( )ixixmmypyqyPx ePx e由叠加原理：()( ),ixmypyqyP x e利用欧拉公式利用欧拉公式2 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx、()( ),ixmypyqyP x ei北京理工大学数学系北京理工大学数学系设有特解：( )( )cos( )si

6、n,kxmmy xx eRxxRxx次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 0,1iki不是根是单根注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx北京理工大学数学系北京理工大学数学系-sinyyxx例：求 的特解 0yy解：对应的齐次方程21200,1rrrr特征方程：i注意到：不是特征根，可以假设方程有特解：代入方程：1111222abcd 得：，111()cos(1)sin222yxxxx即：( )()cos()siny xaxbxcxd

7、x北京理工大学数学系北京理工大学数学系.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是是单单根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2北京理工大学数学系北京理工大学数学系.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方

8、程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3北京理工大学数学系北京理工大学数学系)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的实实部部和和虚虚

9、部部分分别别是是xiAe ,)9431(2*ixeixy 北京理工大学数学系北京理工大学数学系22 xyyexx练习：求的特解北京理工大学数学系北京理工大学数学系txe令lntx则1dydy dtdyydxdt dxx dtdyxydt( )1(1)113 ( )nnnnnnx ya xyaxya yf x、1()( )dydd yx dtydxdx2221()d ydyxdtdt222d ydyx ydtdt北京理工大学数学系北京理工大学数学系25 2x yxyyx例：求方程 的通解22,5()2ttxed ydydyyedtdtdt解：令 则此欧拉方程化为：2232td ydyyedtdt此线性非齐次常系数方程的通解：1221223yC xC xx原方程的通解：221223tttyC eC ee北京理工大学数学系北京理工大学数学系三、小结可以是复数）可以是复数） (),()()1(xPexfmx );(xQ