维纳滤波基本概念

1、Wiener滤波概述Wiener滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR结构的Wiener滤波器的讨论。由信号当前值与它的各阶延迟，估计一个期望信号，输入信号是宽平稳的，和是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小。在本章中,不特别说明, 假设信号是零均值.Wiener滤波器的几个实际应用实例如下：通信的信道均衡器。图1. 信道均衡器的结构示意系统辨识：图2. 线性系统辨识的结构一般结构:图3. Wiener滤波器的一般结构Wiener滤波器的目的是求最优滤波器系数，使 最小。§3.1 从估计理论观点导出Wiener滤波FIR结构(也

2、称为横向)的Wiener滤波器的核心结构如图4所示.图4. 横向Wiener滤波器FIR结构的Wiener是一个线性Beyesian估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号，确定权系数使估计误差均方值最小，均方误差定义为：这里估计写为：除了现在是波形估计外，与线性Bayesian估计一一对应。 R（零均值假设）这里, Wiener滤波与线性Bayesian估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数为，由线性Bayesian估计得到Wiener滤波器系数对应式： 上式后一个方程称为Wiener-Hopf方程, 或 结论

3、：1) Wiener滤波器是线性FIR滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。2) 在联合高斯条件下，Wiener滤波也是总体最优的（从Bayesian估计意义上讲是这样，要满足平稳条件）3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w时，其误差性能表示：它是w的二次曲面，只有一个最小点，时，§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener滤波器Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR或FIR的。导出最优滤波器的正交原理, 并从正交原理出发重新导出一般的Wiener滤波器方程推导适应于IIR和FIR的一般结论，然后分别讨论FIR和I

4、IR。讨论一般的复数形式。·输入过程。·滤波器系数，（权系数）·希望的响应dn·输出误差：·正交性原理对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。 =均方误差是：设权系数: 定义递度算子. 其中符号是递度算子作用于J，其中第k项为：要求的值, 使得J最小,即 等价：由得：由 得到： 代入表达式整理得：当 时，J达到最小。设J达最小时，用表示权系数和误差en，且 则有：，以上为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交。推论： ·维纳霍夫方程（Wiener-Hopf）由正交性原理得 定义： 有 这就是Wiener-Hopf方程，解此方程，

5、可得到最优权。对于M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程变为：，·矩阵形式：令 和Winer-Hopf方程： 这里解方程求得：·最小均方误差：在达最优时，也写成，表示由张成的空间对dn的估计（最优线性估计）。 也可以写成： 由和正交性得：即：由 得 则·误差性能表面由 直接代入整理得：由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，Jmin在碗底，其实，由上式直接对wk求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf方程。矩阵形式在时，达最小，性能表面可以写成：由于 故 令 通过坐标变换，得到如上规范形式，对于一个给定, 有： 这是超

6、橢圆，为其一个轴。数值例子1：有一信号，它的自相关序列为，被一白噪声所污染，噪声方差为，被污染信号作为Wiener滤波器的输入，求2阶FIR滤波器使输出信号是的尽可能的恢复。解：本题中， 。由于只需要2阶滤波器设计，因此 数值例子2：希望响应是一个AR(1)过程，是白噪声，, 由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为:经过了一个通信信通，信道的传输函数为，并加入了白噪声即： 通道模型如图5所示:图5. 通道模型求解：一个二阶FIR结构Wiener滤波器，目的是由xn尽可能恢复dn解：是一个过程，在中,是一个二阶过程,相当于由二阶参数，确定, 由Yule-walker方程：反解.得由上确定sn的自相

7、关矩阵为:但：求 由：, 和 代入上式得：故 最优系数 最小均方误差：性能表面规范误差性能表面解 这是一个随圆，主轴，副轴·IIR Wiener 滤波器考虑Wiener-Hopf方程在IIR滤波器时的情况，为简单，先讨论非因果IIR滤波器的设计式。为简单，考虑实信号和实滤波器系数的情况。在非因果条件下，Wiener-Hopf方程改写为 上式两边取z变换，得或 这里是滤波器冲激响应（权系数）的z变换，是的z变换，是的z变换。最小均方误差为 例2有一信号，它的自相关序列为，被一白噪声所污染，噪声方差为，被污染信号作为Wiener滤波器的输入，求IIR滤波器使输出信号是的尽可能的恢复。解：本题中， 。求的反变换得到 最小均方误差因果IIR维纳滤波器现在考虑因果IIR维纳滤波器设计。因果IIR维纳滤波器的传输函数为上式中，是由中位于单位圆内的极点和