附加随机过程课件

1、附加 随机过程给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1, 2, )是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的集合x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作(t)。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。 随机噪声特点：随机噪声特点：时间t的函数，但在任一时刻上噪声电压是随机变化的，因而是一种随机过程。随机过程是随机信号和随机噪声的统称。 图 1 样本函数的总体 x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个

2、一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1, t1)，即F1(x1,t1)=P(t1)x1该试称为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数。),(),(1111111txfxtxF 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1), (t2)，称F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数。如果存在则称f2(x1

3、,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。);,();,(2121212, 12122t txxfxxttxxF任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn ).,;.,(.).,.;,(2121212, 1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF如果存在则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。n越大，用n维分布函数、 n维概率密度函数对随机过程统计特性的描述就越充分，但复杂性也随之增加。在一般应用中，掌握二维分布函数就已经足够了。

4、1.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 什么是数字特征？即包括数学期望、方差、相关函数等。 1. 数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则(t1)的数学期望为1111),()()(dxtxfxtEta时间t的函数，表示随机过程样本函数的平均值，在电信号中相当于直流分量。 2. 方差方差)(tD)()(tEtE22)()(tatE2

5、1)(),(2tadxtxfx2=2(t)方差表示随机过程在某时刻相对于均值a(t)的偏离程度，在电信号中表示信号的交流功率 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 3. 协方差函数协方差函数T1时刻交流成分T2时刻交流成分 R(t1,t2)=E(t1)(t2) 4. 相关函数相关函数B(t1, t2)=R(t1, t2)-E(t1) E(t2) =R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=

6、R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(

7、t2)而互相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2) 1.2 平稳随机过程平稳随机过程 1.2.1 定义定义 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。 当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间隔有关。设有一个二阶矩随机过程(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 1.2.2 各态历经性各态历经性 平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。 随机过程(t)的统计特性为 假

8、设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的统计特性分别为a t2 Ra)(2t)(R)()(),()()()()(11222RRttRttatata统计平均时间平均 1.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性如果用幅频特性来表示很不方便，因为随机过程的幅度是不确定的，因此随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 随机过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均。TWFwPTTf2)()(lim

9、TWFTfwPTwPE2)()(lim)(t)的平均功率S则可表示成（傅立叶反变换）TwEEdwwpRsTT2)(21)(21)0(lim 经过推导，平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关与其自相关函数函数R()是一对傅里叶变换关系是一对傅里叶变换关系。deRwpjwr)()(dWeWPRjwr)(21)(简记为 R() P()维纳-辛钦关系功率谱密度P()有如下性质： （1） P()0，非负性； （2） P(-)=P()，偶函数。 因此， 可定义单边谱密度P()为 P1()=)(2wp0W 0W 0几个数学期望的公式随机过程（变量）的数学期望随机过程（变量）的数学期

10、望 dxxxfE)(连续随机变量函数的数学期望连续随机变量函数的数学期望 设是随机变量的函数， =g() 则 f(x)为x 的概率密度函数dxxfxgE)()(离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望 iiipxE1Xi为所有可能的值，对应概率为Pi 例 2 - 1某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。 （1） 求(t)的数学期望、自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论(t)是否具有各态历经性。 解 (1) 先考察(t)是否广义平稳。 (t)的数学期望为dtwAtEtac21)cos()()(20dtwtwAcc)sinsinc

11、os(cos220常数）(0sinsin(coscos22020dtwdtwAcc(t)的自相关函数为)()(),(2121ttEttR)cos(1twAEc2)(cos)(cos212122ttwttwEAccdttwAttwAcc212)(cos2)(cos2122021220)(cos2122ttwAc见(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔有关， 所以(t)为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R()P()，则因为 cosc (-c)+(+c)所以，功率谱密度为 P()= (-c)+(+c)平均功率为 S=R(0)=)()(22cc

12、wwwwA22A(2) 现在来求(t)的时间平均。 根据式（2.2 - 6）可得0)cos(12/2/limdttwATaTTcTdtttwACOStwATRcTTcT)()cos(1)(2/2/limdtwtwdtwTAcTTcTTcT)22cos(cos(2lim2/2/2/2/2cwAcos22 比较统计平均与时间平均，得a= , R()= ， 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 a)(R1.3 高斯随机过程高斯随机过程 1.3.1 定义定义 高斯随机过程又称正态随机过程，在通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。 若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯

13、随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 212121.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即B b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且为简化分析，我们只研究一维概率密度函数图2-3 正态分布的概率f (x)12Oax)2)(exp(21)(22axxf若随机变量的概率密度函数满足称随机变量是服从正态分布的随机变量特性： (1

14、) a为(t)的数学期望，即样值的均值，样值为a时，发生的概率最大；2为方差 (2) f(x)对称于x=a这条直线。 (3) (4) a为分布中心，a不同时曲线左右平移； 当a固定,f(x) 将随着的减小而变高和变窄。 (因为2方差表示样值与均值a的偏离程度， 2小则偏离小，样值靠近a的概率越大） (5) 当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf且有 (6) 当我们需要在某个范围内的概率P时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分。),(),(1111111txfxtxF一维分布函数一维概率密度函数dzazxpxFx

15、2)(exp21)()(22=时当axaxerf),2(2121时当axaxerfc),2(211Erf:误差函数Erfc:互补误差函数高斯过程的正态分布函数 1.3.3 高斯白噪声高斯白噪声 白噪声：功率谱密度均匀分布在整个频率范围内的噪声 P()= (双边噪声功率谱密度)n0为一常数，单边噪声功率谱密度，单位是瓦/赫。 将P()进行傅立叶反变换，得到：20n R()= )(20n白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的 带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2带限白噪声只有在=k/2fH(k=1,

16、 2, 3, )上得到的随机变量才互不相关。因为R()=0。后面讲到抽样定理就是利用这一点，选择合适的抽样抽样时刻，使各个抽样值互不相关。如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。白噪声：功率谱密度是均匀分布高斯分布：概率密度符合高斯分布实际上理想化的白噪声是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的范围远远大于工作频带，我们就可以把近似看为白噪声。 1.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统Vo(t)=Vi(t)*h(t)= dthvi)()(信号通过线性系统的模型：H()Vi()Vo()Vo()=H()Vi()线性系统响应输入信号卷积系统单位冲激响应 o(t)=dthi)(

17、)(0我们研究随机过程通过线性系统，就是把输入信号Vi(t)换成i(t)，输出信号Vo(t)换成o(t)。假设输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析o(t)的统计特性1. 数学期望Eo(t)=aH(0) 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。 自相关函数 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。 3. o(t)的功率谱密度 系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。可以用来方便地计算输出过程的自相关函数（反变换）。 当k0=0时，R0(0)=n0fH=n0B 带限噪声的平均功率)()()(),(10

18、10110oRttEttR)()()()()(2wpwHwPwHwHii Po()= 4. 输出过程o(t)的概率分布 高斯过程线性变换后的过程仍然是高斯过程。 带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才互不相关。因为R()=0。后面讲到抽样定理就是利用这一点，选择合适的抽样抽样时刻，使各个抽样值互不相关。1.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的

19、，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。 窄带过程的频谱和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )缓慢变化的包络a(t)频率近似为 fc(b)窄带随机过程(t)表达式: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 =c(t)cosct-s(t)sinct 其中c(t)=a(t)cos(t) s(t)=a(t) sin(t) 式中, a(t) 是(t)的包络函数， c(t)及s(t)是(t)的同相分量和正交分量。 基本性质基本性质 设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为2 1. 数学期望数学期望 因为 E(t)=0 推出： Ec(t)=0 Es(t)=02. 自相关函数自相关函数Rs(t, t+)=Rs() R