2022年八年级因式分解难题

1、第1页（共 31页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2一填空题（共10 小题）1已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是4分解因式： 4x24x3=5利用因式分解计算： 2022+202196+982=6abc三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则 abc的形状是7计算： 1222+

2、3242+5262+ 1002+1012=8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 9如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多项式 x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除12因式分解： 4x2y4xy+y13因式分解精品学习资料 可选择p d f - -

3、- - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - -第2页（共 31页）（1）a3ab2（2） （xy）2+4xy14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0

4、，求 xy的值（2）已知abc的三边长 a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，请问 abc是怎样形状的三角形？15 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “ 和谐数” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、

5、长为b 宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - -第3页（共 31页）（1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和

6、为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形17 （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图18已知 a+b=1，ab=1，设 s1=a

7、+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - -第4页（共 31页）（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算 s3的过程：因为 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果

8、，再用你学到的方法计算s4（3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s619 （1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）20阅读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 abc的三边长 a、b、c都是正整数，且满足

9、a2+b26a8b+25=0，求abc的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=21仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3） ，求另一个因式以及m的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - -第5页（共 31页）解：设另一个因式为 （x+n） ， 得 x24x+

10、m= （x+3）（x+n） ， 则 x24x+m=x2+ （n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一个因式为（ x7） ，m 的值为 21问题：（1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2） （x+a） ，则 a=；（2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1） （x+5） ，则 b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5xk 有一个因式是（2x3） ，求另一个因式以及k 的值22分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）223已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+

11、b+c）2=3（a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状24分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab225图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 之间的等量关系是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共

12、31 页 - - - - - - - - -第6页（共 31页）（3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2=（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了（5）试画出一个几何图形， 使它的面积能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n226已知 a、b、c 满足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一个长 方体 的长 、宽 、 高分别 为正 整数 a、 b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积28 （x24x）22（x24x）1529阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x

13、+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2） 若分解 1+x+x （x+1） +x （x+1）2+ +x （x+1）2004， 则需应用上述方法次，结果是（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 为正整数）30对于多项式 x35x2+x+10，如果我们把 x=2代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x2） （注：把 x=a 代入多项精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6

14、 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - -第7页（共 31页）式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（ xa） ） ，于是我们可以把多项式写成： x35x2+x+10=（x2） （x2+mx+n） ，（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x213x10 的因式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - -

15、- - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - -第8页（共 31页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共10 小题）1 （2016 秋?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160【分析】 首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】 解： x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案为： 160【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式， 正确找出公因

16、式是解题关键2 （2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x3）2【分析】 根据多项式的乘法将2（x1） （x9）展开得到二次项、常数项；将 2（x2） （x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解： 2（x1） （x9）=2x220 x+18；2（x2） （x4）=2x212x+16；原多项式为 2x212x+182x212x+18=2（x26x+9

17、）=2（x3）2【点评】 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - -第9页（共 31页）项正确3 （2015 春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是4【分析】 利用完全平方公式（

18、 a+b）2=（ab）2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab计算即可【解答】 解： x2+mx+4=（x2）2，即 x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案为： 4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键4 （2015 秋?利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3） （2x+1）【分析】 ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+

19、c=（a1x+c1） （a2x+c2） ，进而得出答案【解答】 解：4x24x3=（2x3） （2x+1） 故答案为：（2x3） （2x+1） 【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式， 正确分解各项系数是解题关键5 （2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202196+982=90000【分析】 通过观察，显然符合完全平方公式【解答】 解：原式 =2022+2x202x98+982精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - -

20、 - - - - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - -第10页（共 31页）=（202+98）2=3002=90000【点评】 运用公式法可以简便计算一些式子的值6 （2015 秋?浮梁县校级期末） abc三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则abc的形状是等边三角形【分析】 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ ab）2+（ac）2+（bc）2=0，得出： a=b=c，即选出答案【解答】 解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即

21、 a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，解得： a=b=c，所以， abc是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】 此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定 abc是等边三角形7 （2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算： 1222+3242+5262+ 1002+1012=5151【分析】 通过观察，原式变为1+（3222）+（5242）+（10121002） ，进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】 解：1222+3242+5262+ 1002+1012=1+（3222）+（5242）+

22、（10121002）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - -第11页（共 31页）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+ +（101+100）=（1+101）1012=5151故答案为： 5151【点评】此题考查因式分解的实际运用， 分组分解，利用平方差公式解决问题8 （2015 秋?乐至县期末）定义运算ab=（1a）b，下面给出了关

23、于这种运算的四个结论：2（2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 【分析】 根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】 解： 2（2）=（12）（ 2）=2，本选项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab 不一定等于 ba，本选项错误；若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本选项正确；若 ab=0，即（1a）b=0，则 a=1或 b=0，本选项正确，其中正确的有故答案为【点评】此题考查了整式的混合

24、运算， 以及有理数的混合运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键9（2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0， 代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - -第12页（共 31页）0【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】 解： 1+a+a2+

25、a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3） ，=0+0，=0故答案是： 0【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题10 （2015 春?昆山市期末）若多项式x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是8【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可【解答】 解： x26xb=（x3）29b=（x+a）21，a=3，9b=1，解得： a=3，b=8故答案为： 8【点评】 此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7）2（n3）2的

26、值一定能被 20 整除【分析】 用平方差公式展开（ n+7）2（n3）2，看因式中有没有20 即可【解答】 解： （n+7）2（n3）2=（n+7+n3） （n+7n+3）=20（n+2） ，（n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b） （ab） 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - -

27、 - - - -第13页（共 31页）12 （2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】 先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】 解：4x2y4xy+y=y（4x24x+1）=y（2x1）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13 （2015 秋?成都校级期末）因式分解（1）a3ab2（2） （xy）2+4xy【分析】 （1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）原式 =

28、a（a2b2）=a（a+b） （ab） ；（2）原式 =x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 （2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择

29、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - -第14页（共 31页）m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知abc的三边长 a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，请问 abc是怎样形状的三角形？【分析】 （1）首先把x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（ xy）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b26a6b+18+| 3c| =0，配方得到（ a3）

30、2+（b3）2+| 3c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3 ，得出三角形的形状即可【解答】 解： （1）x2+2y22xy+4y+4=0 x2+y22xy+y2+4y+4=0，（xy）2+（y+2）2=0 x=y=2；（2）a2+b26a6b+18+| 3c| =0，a26a+9+b26b+9+| 3c| =0，（a3）2+（b3）2+| 3c| =0a=b=c=3三角形 abc是等边三角形【点评】此题考查了配方法的应用： 通过配方， 把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题15 （2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能

31、表示为两个连续偶数的平方差，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - -第15页（共 31页）那么称这个正整数为 “ 和谐数 ” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这

32、两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为2500【分析】 （1）利用 36=10282；2016=50525032说明 36 是“ 和谐数” ，2016不是“ 和谐数 ” ；（2） 设两个连续偶数为2n，2n+2 （n 为自然数） ，则“ 和谐数 ”= （2n+2）2（2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n） （2n+22n）=4（2n+1） ，然后利用整除性可说明 “ 和谐数 ” 一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 中，最小的为： 2202=4，最大的为：502482=

33、196，将它们全部列出不难求出他们的和【解答】 解： （1）36 是“ 和谐数 ” ，2016 不是“ 和谐数 ” 理由如下：36=10282；2016=50525032；（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k） （2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1） ，4（2k+1）能被 4 整除，“ 和谐数” 一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和，s=（2202）+（4222）+（6242）+ +（502482）=502=2500精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

34、 - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - -第16页（共 31页）故答案是： 2500【点评】 本题考查了因式分解的应用： 利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化16 （2015 春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b 宽为 a 的长方形以及边长为b 的大正方形的纸片（1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形

35、（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形【分析】 （1）根据小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方形的面积之和为a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可

36、求得ab 的值，从而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb） ，其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - -第17页（共 31页）可知： （na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8 张，n28，m28，2mn8（n、m 为正整数）从而可知n2，m2，从而可得出

37、答案【解答】 解： （1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形a2+3ab+2b2=（a+2b） （a+b） ；（2）长方形的周长为34，a+b=17小正方形与大正方形的面积之和为169，a2+b2=169将 a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，2ab=289169，ab=60长方形的面积为60（3）设正方形的边长为（ na+mb） ，其中（ n、m 为正整数）正方形的面积 =（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2现有三种纸片各8 张，n28，m28，2mn8（n、m 为正整数）n2，m2共有以下四种情况；n=1，m=

38、1，正方形的边长为 a+b；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - -第18页（共 31页）n=1，m=2，正方形的边长为 a+2b；n=2，m=1，正方形的边长为 2a+b；n=2，m=2，正方形的边长为 2a+2b【点评】此题考查因式分解的运用， 要注意结合图形解决问题， 解题的关键是灵活运用完全平方公式17 （2014 秋?莱城区校级

39、期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图【分析】 （1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图【解答】 解： （1）长方形的面积 =a2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如图，可推

40、导出（ a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b） （a+2b） 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - -第19页（共 31页）【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解18 （2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=1，设 s1=

41、a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算 s3的过程：因为 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6【分析】 （1） （2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出sn2+sn1=sn；（4）根据（ 3）的结论，即可推出a6+b

42、6=s6=s4+s5=2s4+s3精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - -第20页（共 31页）【解答】 解： （1）s2=a2+b2=（a+b）22ab=3；（2）（ a2+b2） （a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b） ，31=a3+b31，a3+b3=4，即 s3=4；s4=（a2+b2）22（ab）2=

43、7，s4=7；（3）s2=3，s3=4，s4=7，s2+s3=s4，sn2+sn1=sn；（3）sn2+sn1=sn，s2=3，s3=4，s4=7，s5=4+7=11，s6=7+11=18【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用， 关键在于根据题意推出 s2=3，s3=4，s4=7，分析归纳出规律： sn2+sn1=sn19 （2013 春?重庆校级期末）（1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）【分析】 （1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】 解： （1）原

44、式 =9.82+20.29.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - -第21页（共 31页）（2）4a（a1）2（1a）=（a1） （4a24a+1）=（a1） （2a1）2【点评】此题考查因式分解的实际运用， 掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键20 （2013 春?惠山区校级期末） 阅

45、读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 abc的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0，求abc的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=7【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为

46、0 求出 x与 y 的值，即可求出xy 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c的值，进而求出 a 的值，即可求出 ab+c 的值【解答】 解： （1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

47、- - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - -第22页（共 31页）（x+y）2+（y+1）2=0 x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得 a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c3+4c7，又 c 是正整数，c 最大为 6；（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（

48、b+4）b+c26c+13=0，整理得： （b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且 c3=0，即 b=2，c=3，a=2，则 ab+c=2（ 2）+3=7故答案为： 7【点评】此题考查了因式分解的应用， 以及非负数的性质， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键21 （2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3） ，求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 则 x24x+m=x2+ （n+3）精品学习资料 可选择p d f

49、- - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - -第23页（共 31页）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一个因式为（ x7） ，m 的值为 21问题：（1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2） （x+a） ，则 a=3；（2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1） （x+5） ，则 b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2

50、x2+5xk 有一个因式是（2x3） ，求另一个因式以及k 的值【分析】 （1）将（x2） （x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（2） （2x1） （x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，可知 2n3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式【解答】 解： （1）（ x2） （x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6，a2=5，解得： a=3；（2）（ 2x1） （x+5）=2x2+9x5=2x2+bx5，b=9；（3）设另一个因式为（

51、 x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，则 2n3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - -第24页（共 31页）故另一个因式为（ x+4） ，k 的值为 12故答案为：（1）3； （2 分） （2）9； （2分） （3）另一个因式是 x+4，k=12（6

52、分） 【点评】 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算， 二者是一个式子的不同表现形式22 （2012 春?郯城县期末）分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）2【分析】 （1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ xy）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可【解答】 解： （1）2x2x=x（2x1） ；（2）16x21=（4x+1） （4x1） ；（3

53、）6xy29x2yy3，=y（9x26xy+y2） ，=y（3xy）2；（4）4+12（xy）+9（xy）2，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - -第25页（共 31页）= 2+3（xy）2，=（3x3y+2）2【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（ 3） ，提取公因式 y 后，需要继续利用完全平

54、方公式进行二次因式分解23 （2012 春?碑林区校级期末） 已知 a， b， c 是三角形的三边， 且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状【分析】 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题【解答】 解：（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b22ab+b2+c22bc+a2+c22ac=0，即（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，ab=0，bc=0，ca=0，a=b=c，故abc为等边三角形【点评】 本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断关键是将已知等式利用

55、配方法变形，利用非负数的性质解题24 （2011 秋?北辰区校级期末）分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab2【分析】 （1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）2x44x2y2+2y4精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - -第26页（共

56、 31页）=2（x42x2y2+y4）=2（x2y2）2=2（x+y）2（xy）2；（2）2a34a2b+2ab2=2a（a22ab+b2）=2a（ab）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底25 （2011 秋?苏州期末）图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为（mn）2；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 之间的等量关系是（m+n）2（mn）2=4mn（3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2=9（4）实

57、际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了（m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2（5）试画出一个几何图形， 使它的面积能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n2【分析】 （1）可直接用正方形的面积公式得到精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - -第27页（共 31页）（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区

58、别（3）此题可参照第（ 2）题（4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式（5）可参照第（ 4）题画图【解答】 解： （1）阴影部分的边长为（ mn） ，阴影部分的面积为（ mn）2；（2） （m+n）2（mn）2=4mn；（3） （xy）2=（x+y）24xy=7240=9；（4） （m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：【点评】 本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形26 （2009 秋?海淀区期末） 已知 a、b、c 满足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c的

59、值【分析】本题乍看下无法代数求值， 也无法进行因式分解； 但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口由ab=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 31 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 31 页 -

60、 - - - - - - - -第28页（共 31页）【解答】 解：因为 ab=8，所以 a=b+8 （1 分）又 ab+c2+16=0，所以（ b+8）b+c2+16=0 （2分）即（b+4）2+c2=0又（b+4）20，c20，则 b=4，c=0 （4 分）所以 a=4， （5分）所以 2a+b+c=4 （6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法27 （2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积【分析】我们可先将 a+b+c+ab+