2022年全国部分地区中考数学试题分类二次函数的应用

1、学习必备欢迎下载20xx年全国部分地区中考数学试题分类二次函数的应用 精编 1. （ 2021 广东珠海 7 分） 如图，二次函数 y=（ x 2） 2+m的图象与 y 轴交于点 c，点 b 是点 c 关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点a（1， 0）及点 b（1） 求二次函数与一次函数的解析式；2（2） 依据图象，写出满意kx+b（ x2） +m的 x 的取值范畴2. （ 2021 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6 分） 如图，抛物线交于 a、b 两点，与 y 轴交于点 c，且 oa=2， oc=3 1 求抛物线的解析式y=1 x

2、22bxc 与 x 轴2 如点 d2， 2 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点p，使得 bdp 的周长最小，如存在，恳求出点p 的坐标，如不存在，请说明理由12【答案】 解：（ 1） oa=2， oc=3， a（ 2，0）， c（ 0，3）；将 c（ 0，3）代入y=xbxc 2得 c=3 ；将 a（ 2，0）代入 y=1 x 22bx3 得， 0=12 222 b3 ，解得 b= 1 ；抛物线的解析式为y=1 x 21 x3；222（2）如图：连接 ad，与对称轴相交于 p，由于点 a和点 b 关于对称轴对称，就即 bp+dp=ap+d，p当 a、p、d 共线时 bp+dp

3、=ap+d最p 小；设 ad的解析式为 y=kx+b，将 a（ -2 ， 0）， d（ 2， 2）分别代入解析式得，2kb0k，解得，12，直线 ad解析式为 y= 1x+1 ；2kb2b12二次函数的对称轴为x1212122，当 x= 12时， y= 12× 1 +1= 524； p（ 1 ， 5 ）；2423. （ 2021 浙江杭州 12 分） 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（ x于点 a（ 1，k）和点 b（ 1， k ）（1） 当 k= 2 时，求反比例函数的解析式；+x 1）的图象交（2） 要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大， 求 k

4、应满意的条件以及x 的取值范畴；（3） 设二次函数的图象的顶点为q，当 abq是以 ab 为斜边的直角三角形时，求k 的值【答案】 解：（ 1）当 k= 2 时， a（ 1， 2），a在反比例函数图象上，设反比例函数的解析式为：my；将 a（ 1， 2）代入得：xm22 ，解得： m= 2；反比例函数的解析式为：y；1x（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大， k 0；2二次函数 y=k（x +x 1）= k（x1 25 k，它的对称轴为： 直线 x= 1 ；）2422要使二次函数y=k （x +x 1）满意上述条件，在k 0 的情形下， x 必需在对称轴的左边，即 x

5、12时，才能使得y 随着 x 的增大而增大；综上所述，k0 且 x 1 ；2（3）由（ 2）可得： q1，5 k24； abq是以 ab 为斜边的直角三角形， a 点与 b点关于原点对称，（如图是其中的一种情形）原点o平分 ab， oq=oa=o；b作 adoc，qcoc，垂足分别为点c，d； oqcq 2 +oc 2k=± 23 ；31 + 25 k 2 ；416oaad 2 +od 221+k 2 ，1 + 25 k 24161+k 2，解得：4. （ 2021 浙江宁波 12 分） 如图，二次函数 y=axy 轴于 c（ 0， 2），过 a， c 画直线（1） 求二次函数的解析

6、式；+bx+c 的图象交 x 轴于 a（ 1，0）， b（ 2， 0），交（2） 点 p 在 x 轴正半轴上，且 pa=pc，求 op的长；（3） 点 m在二次函数图象上，以m为圆心的圆与直线ac相切，切点为h如 m在 y 轴右侧，且 chm aoc（点 c 与点 a 对应），求点 m的坐标；如m 的半径为 455，求点 m的坐标2【答案】 解：（1）二次函数 y=ax +bx+c 的图象交 x 轴于 a（ 1， 0），b（ 2， 0）设该二次函数的解析式为：y=a（ x+1）（ x 2），将 x=0， y= 2 代入，得 2=a（ 0+1）（ 0 2），解2得 a=1；抛物线的解析式为y=（

7、 x+1 ）（ x 2），即 y=x x2；222（2） 设 op=x，就 pc=pa=x+1，在 rtpoc中，由勾股定理，得x +2 =（ x+1） ，解得， x= 3 ，即23op=；2（3） chm aoc， mch= cao；（i ）如图 1，当 h在点 c 下方时， mch= cao， cmx 轴，ym= 2；2x x 2=2，解得 x 1=0（舍去）， x2=1； m（ 1， 2）；（ii ）如图 2，当 h在点 c上方时， mch=cao， pa=pc；由（ 2）得， m为直线cp与抛物线的另一交点，设直线 cm的解析式为 y=kx 2，把 p（ 32，0）的坐标代入，得 32

8、k2=0，解得 k= 43； y= 4 x 2；32由 4 x 2=x x 2，解得 x 1=0（舍去）， x 2= 7 33；此时 y=×47102=339； m（710，）；39在 x 轴上取一点 d，如图 3，过点 d 作 deac 于点 e，使 de=45 ，5在 rtaoc中， ac=ao 2 +co 2 = 12 +22 =5 ； coa= dea=90°， oac=45ead， aed aoc， ad = de ，即 ad = 5，解得 ad=2； d（ 1， 0）或 d（ 3，0）；acoc5222过点 d 作 dmac，交抛物线于 m，如图 3，就直线 d

9、m的解析式为： y= 2x+2或 y= 2x6；当 2x 6=x x 2 时，即 x+x+4=0，方程无实数根，22当 2x+2=x x 2 时，即 x +x 4=0，解得117x 1， x 21+17；22点 m的坐标为（117 ，3+17 ）或（1+17，317 ）；2215.（2021 江苏南通 14 分） 如图，经过点a0 ， 4 的抛物线 y 2x 2 bx c与 x 轴相交于点 b 2， 0 和 c， o为坐标原点(1) 求抛物线的解析式；(2) 将抛物线 y 12x2 bx c 向上平移 72个单位长度、 再向左平移 mm 0 个单位长度，得到新抛物线如新抛物线的顶点p 在 ab

10、c内，求 m的取值范畴；(3) 设点 m在 y 轴上， omb oab acb，求am的长【答案】 解：（ 1）将 a（0， 4）、 b（ 2，0）代入抛物线y=1222 x +bx+c 中，0c4得：，解得，22bc0b11； 解析式： y=xc42 x4；（2） 由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= 12x+mx+m4+ 7 ，即： y= 1222121x + m1 x+mm222；它的顶点坐标 p（ 1 m， 1）；由（ 1）的抛物线解析式可得：c（ 4， 0）；直线 ab： y= 2x-4 ；直线 ac：y=x 4；m=当点 p 在直线 ab 上时， 2（1 m） 4= 1，解得：5

11、2当点 p 在直线 ac上时，（ 1m） 4=1，解得： m= 2；又 m 0，当点 p 在 abc 内时， 0m 5；2（3） 由 a（0， -4 ）、 b（ 4， 0）得： oa=oc=，4 且 oac是等腰直角三角形；如图，在 oa上取 on=ob=，2 就 onb= acb=45°； onb= nba+oab=acb=omb+ oab，即nba= nmb；2如图，在 abn、 am 1b 中， ban=m1ab， abn=am1b， abn am1b，得： ab=an.am1；222由勾股定理，得 ab =（ 2） +4 =20，又 an=oa on=4 2=2， am1=2

12、0÷2=10， om1=am1 oa=10 4=6；而 bm1a=bm2a=abn， om1=om2=6，am2=om2 oa=6 4=2；综上， am的长为 6 或 2；6. （ 2021 湖南郴州 10 分） 如图，已知抛物线yax2bxc 经过 a（4，0）， b（2，3）， c（ 0，3）三点（1） 求抛物线的解析式及对称轴（2） 在抛物线的对称轴上找一点m，使得 ma+mb的值最小，并求出点m的坐标（3） 在抛物线上是否存在一点p，使得以点 a、b、c、p 四点为顶点所构成的四边形为梯形？如存在， 恳求出点 p 的坐标；如不存在，请说明理由【答案】 解：（ 1）抛物线2ya

13、xbxc 经过 a（4， 0）， b（ 2， 3）， c（ 0， 3）三点，16a4bc04a2bc3a，解得 b383 ；抛物线的解析式为：4c3c3y3 x 23 x3 ，其对称轴为： xb1 ；842a（2） 由 b（2， 3）， c（ 0， 3），且对称轴为 x=1，可知点 b、c 是关于对称轴x=1 的对称点；如图 1 所示，连接 ac，交对称轴 x=1 于点 m，连接 mb，就 ma mb=ma短可知此时 ma mb的值最小；mc=a，c 依据两点之间线段最设直线 ac的解析式为 y=kx b， a（ 4， 0）， c（ 0， 3），4kb0b3k3，解得4 ；b3直线 ac的解析

14、式为： y=3 x3；令 x=1，得 y= 9；m点坐标为（ 1， 9 ）；444（3） 结论：存在；如图2 所示，在抛物线上有两个点p 满意题意：如 bcap1，此时梯形为abcp1；由 b（ 2， 3）， c（ 0， 3），可知 bcx轴，就 x 轴与抛物线的另一个交点p1 即为所求；在 y3 x 23 x3 中令 y=0 ，解得 x 1=-2 ，x 2=4；p1（ 2， 0）；p1a=6，bc=2，p1a bc；84四边形 abcp1 为梯形；如 abcp2，此时梯形为abcp2；设 cp2 与 x 轴交于点 n，bcx轴， abcp2，四边形 abcn为平行四边形； an=bc=；2

15、n（ 2， 0）；设直线 cn的解析式为 y=k 1x+b1，就有：2k1b1b130，解得3k2 ；直线 cn的解析式为： y=b33x+3 ；2点 p2 既在直线 cn： y=3 x+3 上，又在抛物线： y3 x 23 x3 上，28433232x+3=2xx3 ，化简得： x846x=0 ，解得 x 1=0（舍去）， x 2=6；点 p2 横坐标为 6，代入直线 cn解析式求得纵坐标为6；p2（ 6， 6）； abcn， ab=cn，而 cp2cn， cp2ab；四边形abcp2 为梯形；综上所述，在抛物线上存在点p，使得以点 a、b、c、p 四点为顶点所构成的四边形为梯形，点p 的坐

16、标为（ 2， 0）或（ 6， 6）；7. （ 2021 湖南株洲 10 分） 如图，一次函数 y=21x+2 分别交 y 轴、 x 轴于 a、b 两点，抛物线2y= x +bx+c 过 a、b 两点（ 1）求这个抛物线的解析式；（2） 作垂直 x 轴的直线 x=t ，在第一象限交直线ab于 m，交这个抛物线于n求当 t 取何值时， mn有最大值？最大值是多少？（3） 在（ 2）的情形下，以 a、m、n、d为顶点作平行四边形，求第四个顶点d的坐标【答案】 解：（ 1） y=1 x+22分别交 y 轴、x 轴于 a、b 两点， a、b 点的坐标为： a（ 0，2），b（ 4，0）；将 x=0 ，y

17、=2 代入 y= x2+bx+c 得 c=2；将 x=4，y=0 代入 y= x2+bx+c 得 0= 16+4b+2，解得 b= 7 ；2抛物线解析式为： y= x2+ 72x+2 ；（2）如图 1，设 mn交 x 轴于点 e，就 e（ t ，0），be=4 t ；tanabooa21，ob42me=be.tanabo=（ 4 t ）× 12=2 1 t ；又n 点在抛物线上，且x n=t ，22yn= t + 72t+2 ；mnymet 2t2 （21 t）2t 24t=2t2+4 ；n当 t=2 时， mn有最大值 4；（3）由（ 2）可知， a（ 0， 2），m（ 2， 1）

18、， n（ 2，5）如图 2，以 a、m、n、d 为顶点作平行四边形，d点的可能位置有三种情形；（i ）当 d 在 y 轴上时，设 d 的坐标为（ 0， a），由 ad=mn，得 |a 2|=4 ，解得 a1=6， a2= 2，从而 d 为（ 0， 6）或 d（ 0， 2）；（ii ）当 d不在 y 轴上时，由图可知d为 d1n 与 d2m的交点，1由 d1（ 0， 6），n（ 2， 5）易得 d1n 的方程为 y=x+6 ；2由 d2（ 0， 2）， m（ 2，1） d2m的方程为 y= 32x 2；由两方程联立解得d为（ 4， 4）；综上所述，所求的d 点坐标为（ 0， 6），（ 0， 2）

19、或（ 4， 4）；8. （ 2021 湖南湘潭 10 分） 如图，抛物线轴交于 c 点，已知 b 点坐标为（ 4， 0）（1） 求抛物线的解析式；y=ax 23 x2 a02的图象与 x 轴交于 a、b 两点，与 y（2） 摸索究 abc 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3） 如点 m是线段 bc下方的抛物线上一点，求 mbc 的面积的最大值， 并求出此时 m点的坐标【答案】 解：（1） b（ 4， 0）在抛物线y=ax 23 x2 a02的图象上 0=16a342 ，即：a= 1 ；抛物线的解析式为：12y=x3x2 ；2222（2） 由（ 1）的函数解析式可求得：a（ 1，0）、c（

20、0， 2）； oa=1， oc=2，ob=4； ocob；oaoc又 ocab， oac ocb； oca=obc； acb=oca+ocb=obc+ocb=9°0 ； abc为直角三角形， ab 为 abc外接圆的直径； 该圆的圆心为 ab的中点，且坐标为： （ 12，0）；（3） 已求得： b（ 4，0）、c（0， 2），可得直线 bc的解析式为： y= 12x2；设直线 l bc，就该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：1 x+b= 1 x 23 x2 ，即： x 2 4x 4 2b=0，且 =0；222164×（ 4 2b

21、） =0，解得 b=4；直线 l ： y= 12x4； s mbc1 bc h ，当 h 最大（即点 m到直线 bc的距离最远）时，ab的c面积最大；2点 m是直线 l 和抛物线的唯独交点，有：12y=x 213 x22，解得：x=2 y=3； m（ 2， 3）；9. （ 2021 山东东营 11 分） 已知抛物线的另一交点为点 by=x42y=3 x 2+bx+63 经过 a（2， 0） 设顶点为点 p，与 x 轴2（1） 求 b 的值，求出点p、点 b 的坐标；（2） 如图，在直线y=3x 上是否存在点 d，使四边形 opbd为平行四边形？如存在，求出点d 的坐标；如不存在，请说明理由；（

22、3） 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点m，使 amp amb？假如存在，试举例验证你的猜想；假如不存在，试说明理由【答案】 解：（ 1）抛物线y=3 x 2 +bx+63 经过 a（ 2，0），23 x 2 +bx+63=0 ，解得 b=43 ；2抛物线的解析式为y=3 x 24 3x+63 ； y=3 x 24 3x+63=3 x4 22 3 ，222顶点 p 的坐标为（ 4，2 3 ）；令 y=0，得点 b 的坐标是（ 6，0）；3 x2243x+63=0，解得x1 =2， x 2 =6 ；（2） 在直线y=3x 上存在点 d，使四边形 opbd为平行四边形；理由如下：设直线pb 的解析

23、式为 y=kx+b ，把 b（ 6,0 ） ,p4,23 分别代入，得6k+b=0 4k+b=23， 解得k=3b=63；直线 pb 的解析式为 y=3x6 3 ；又直线 od的解析式为 y=3x ，直线 pbod；设直线 op的解析式为 y=mx ，把 p4,23 代入，得2 3=4m ，解得 m=32假如 opbd，那么四边形opbd为平行四边形；设直线 bd的解析式为 y=3 x+n ，将 b6,0 代入，得23 6+n=02，解得 n=33 ；直线 bd的解析式为 y=3 x+33 ；2联立方程组y=3xy=3 x+332，解得x=2 y=23；d点坐标为（ 2,2 3 ）；（3） 符

24、合条件的点 m存在；验证如下：过点p 作 x 轴的垂线，垂足为为c，就 pc=23 ，ac=2，由勾股定理，可得ap=4， pb=4；又 ab=4， apb 是等边三角形；作 pab的平分线交抛物线于m点，连接 pm,bm；am=a，m pam= bam， ab=ap， amp amb.（sas）；因此即存在这样的点m，使 amp amb；.10. （ 2021 山东枣庄 10 分） 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板abc放在其次象限，斜1靠在两坐标轴上，点c 为 1， 0如下列图， b 点在抛物线 y x2bdx轴，垂足为 d，且 b 点横坐标为 3（1） 求证： bdc coa；

25、（2） 求 bc所在直线的函数关系式；12 2x 2 图象上，过点 b 作（3） 抛物线的对称轴上是否存在点p，使 acp是以 ac为直角边的直角三角形？如存在，求出全部点 p 的坐标；如不存在，请说明理由【答案】 解：（ 1）证明： bcd aco90°， aco oac90°， bcd oac； abc 为等腰直角三角形， bc ac；在 bdc和 coa中， bdc coa90°， bcd oac， bc ac， bdc coa（ aas）；（2） c 点坐标为 1， 0 ， bd co 1； b 点横坐标为 3， b 点坐标为 3， 1 ；设 bc所在直线

26、的函数关系式为y kx b，1 k b 0k 211 3k b1，解得1；bc 所在直线的函数关系式为y 2 x 2 ；b 2（3）存在 ；y1 22x 1x 2 2112x 2217x 81，对称轴为直线x 2；如以 ac为直角边，点c 为直角顶点，对称轴上有一点p1，使 cp1ac，1bcac，点 p1 为直线 bc与对轴称直线 x 2的交点；1122y x1x 211由题意可得：1x 2， 解得，1；p1（ 2， 4）；y 4如以 ac为直角边，点a 为直角顶点，对称轴上有一点p2，使 ap2ac，1就过点 a 作 a p 2bc，交对轴称直线x 2于点 p2， cd oa， a（ 0，

27、2）；1设直线 ap2 的解析式为： y 2x m，把 a（ 0， 2）代入得 m2；1直线 ap2 的解析式为： y 2x 2；1y 2x21x 219由题意可得：1x 21，解得，1y19；p2（49， ）；24p点坐标分别为 p1（ 2， 4）、 p2（ 2， 4）；211. （ 2021 青海省 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 a、 b两点， a 点在原点的左侧，b 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 c（ 0， 3）点，点 p 是直线 bc下方的抛物线上一动点（1） 求这个二次函数的表达式（2） 连接 po、pc，并把 p

28、oc沿 co翻折，得到四边形 popc，那么是否存在点p，使四边形 popc为菱形？如存在，恳求出此时点p 的坐标；如不存在，请说明理由（3） 当点 p 运动到什么位置时， 四边形 abpc的面积最大并求出此时p 点的坐标和四边形abpc的最大面积22【答案】 解：（1）将 b、c 两点的坐标代入 y=x +bx+c9a+3b+c=0得c=3，解得b=2c=3；二次函数的表达式为：y=x2x 3；2（2） 存在点 p，使四边形 popc为菱形；设 p 点坐标为（ x， x 2x 3），pp交 co于 e，如四边形 popc是菱形，就有pc=po；连接 pp，就 peco于 e；3oe=ec=；

29、x 2x 3=32+10，解得 x1=，210x 2 =（不合题意，舍去） ；22222p点的坐标为（ 2+ 10 ， 3 ）；222（3） 过点 p 作 y 轴的平行线与bc交于点 q，与 ob交于点 f，设 p（x ， x 2x 3），设直线 bc的解析式为 y=kx+b，就3k+b=0 b=3，解得k=1；b=3直线 bc的解析式为 y=x 3；就 q点的坐标为（ x， x 3）； s四边形abpcs abcs bpqs cpq1 aboc1 qp of1 qp bf2222114 3+x 22x3x333375x+22228当 x=3 时，四边形 abpc的面积最大， 此时 p 点坐标

30、为3， 15，四边形 abpc的面积最大值为 75 ；224812. （ 2021 内蒙古包头 12 分） 已知直线 y = 2x + 4与 x 轴、 y 轴分别交于 a , d两点，抛物线y=1 x 2 +bx+c 经过点 a , d，点 b 是抛物线与 x 轴的另一个交点；2（1） 求这条抛物线的解析式及点b 的坐标；（2） 设点 m 是直线 ad 上一点，且s aom: s omd1 : 3 ，求点 m 的坐标；（3） 假如点 c（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点p，使 bcp为等腰三角形？ 如存在，恳求出点p 的坐标；如不存在，请说明理由；【答案】 解：（ 1）在

31、y = 2x + 4中，令 y =0 ，得 x= 2；令 x=0，得 y =4 ； a（ 2， 0）， d（ 0，4）；将 a（ 2， 0）， d（ 0， 4）代入y=1 x2 +bx+c ，得21 42b+c=02c=4，解得b=1；c=4这条抛物线的解析式为y=1 x 2 +x+4 ；令 y= 21 x 2 +x+4=02，解得x1 =2，x 2 =4 ； b（ 4， 0）；（2） 设 m（m， 2 m + 4 ），分两种情形：当 m在线段 ad上时，由s aom: s omd1 : 3 得12 2m+2:14m1 : 3 ，解得， m3 ； m1（31）；，2222当 m在线段 da延长

32、线上时，由s aom: s omd1 : 3 得12 2m+2:1 4m1 : 3 ，解得 m3 ； m2（ 3，4 ）；22综上所述，点m 的坐标为 m1（ 3，1）， m2（3，24 ）；（3） 存在；点 c（ 2，y）在 y=1 x 2 +x+4 上， y=2122 +2+4=42； c（ 2， 4）；设 p 0, p ，依据勾股定理，得bc 242 2 +4220 ，pb 242 +p216+p 2 ，222pc2 + p42p8p+20 ；分三种情形：如 pb=bc，就p1（ 0， 2）；216+p20 ，解得， p2 ；点 p 在 y 轴的正半轴上，如 pb=pc，就16+p2p2

33、8p+20 ，解得， p1； p2（0，21 ）；2如 bc=pc，就20p28p+20 ，解得， p0或p8 ；点 p 在 y 轴的正半轴上， p0 不符合要求；当 p8 时， b、c、 p在始终线上，不构成三角形，也不符合要求；bc=pc时，在 y 轴的正半轴上是不存在点p，使 bcp为等腰三角形；综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点p1（ 0， 2）， p2（ 0， 12），使 bcp为等腰三角形；13. （ 2021 浙江温州 14 分） 如图，经过原点的抛物线yx22mxm0 与 x 轴的另一个交点为 a. 过点 p1,m 作直线 pmx 轴于点 m，交抛物线于点b. 记点 b 关于