初中数学最值问题初步探讨

1、    初中数学最值问题初步探讨    摘 要：最值问题贯穿于整个初中数学的学习过程，在中考试卷中占据着较重的分数。最值问题的形式多种多样，其解法也灵活多变，如果再加上生活背景，这就使得学生在遇到此类问题时觉得难度较大，不容易搞懂。在初中数学最值问题中，“花费最少”“时间最短”等最值问题都与日常生活有着紧密联系，这就使得课堂教学难度加大，本文对此进行初步探讨。关键词：初中数学;最值问题;初步探讨在初中数学教学过程中，最值的求解是一类综合性较强的问题，在中考中常以压轴题形式出现，这就增加了解题难度，使得学生在考场上丢失大量分数。初中数学最值问题最

2、主要是考查学生在学习中对基础知识的综合运用，不管是代数形式还是几何问题都存在有待解决的最值问题。下面，笔者从以下几个方面对最值问题展开论述，希望对大家有所帮助。一、 运用配方法求最值在讲解最值问题时，配方法是一种重要的基本解题方法。当遇到二次多项式、一元二次方程时，学生要从配方的角度展开思考，运用配方法来进行解答，从而快速解出问题的答案。配方法的主要思路是将式子配成若干个完全平方式，通常以求取问题最小值为主，主要考查学生的观察和计算能力。笔者认为，配方法是解答最值问题的主要方式之一，学生应当熟练掌握并能够快速应用。如，当x为实数时，方程y=3x2+12x+6的最小值为  &

3、#160; 。y=3x2+12x+6=3（x2+4x+2+2-2）=3（x2+4x+4）-6=3（x+2）2-6。很显然，当x=-2时，y的最小值为-6。如，当x，y是实数，则x2+4y2-4xy+2015的最小值为    。原式=x2+4y2-4xy+2015=（x2+4y2-4xy）+2015=（x-2y）2+2015。显然有（x-2y）20，所以当x-2y=0时，所得到的代数值最小，最小值为2015。二、 基本不等式求最值在初中数学教学中，教师会在讲授最值问题的同时引导学生掌握基本不等式。这类问题有个共性，当遇到两个数的积为定值，求两数平

4、方和最小值时，教师不妨带领学生在解题时考虑不等式“a2+b22ab”，当且仅当“a=b”时取等号。但是，在问题求解过程中，学生一定要注意式子的每一项均为正数，在此基础上进行灵活运用。如，若xy=5，那么代数式1x4+14y4的最小值是  。解，分1x4+14y4=1x22+12y2221x212y2=1（xy）2=25。所以：1x4+14y4的最小值是25。三、运用判别法求最值在遇到最值问题时，有时候看起来没有任何思路，如果应用配方法或不等式法来求解较为困难，教师可以引导学生根据题意来构造关于未知数x的一元二次方程，再利用x为实数，通过方程判别式来求出y的取值范围，最终得到

5、最值。这种求解问题的方法称为判别式法，主要应用的范围为分式型二次函数。如，求x2-x+1x2+x+1的最大值与最小值分别为多少。设x2-x+1x2+x+1=y，通過分式整理得：x2-x+1=yx2+yx+y。即（1-y）x2-（1+y）x+1-y=0。因为x为实数，所以0，即（1+y）2-4（1-y）20，从而解得13y3。因此，x2-x+1x2+x+1的最大值为3，最小值为13。如，求函数y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值。原式可以化为：y12x2+x+1=3x2+6x+5，整理公式得（6-y）x2+（12-2y）x+（10-2y）=0，因为x的取值范围为全体实数，因此关于x的二次

6、方程均有实数根。=（12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）=-4y2+40y-960，即，y2-10y+240，得4y6。因此，函数y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值为6。四、 数形结合求最值在做题时，当遇到一些代数条件中的问题有几何意义时，或通过分析发现问题与几何有所关联时，教师不妨采取数形结合的教学方法，引导学生根据数形结合思想来求解问题最值。如，求x2+4+（8-x）2+16取最小值时实数x的值。x2+4+（8-x）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2。此时，学生可以构造图形，作a（0，2）关于x轴的对称点a（0，-2），设直线ab的解析式为y=kx+b，从而得：0k+b=-28k+b=-4解得k=34b=-2，得到y=34x-2，使y=0，则x=83。所以，当x=83时，x2+4+（8-x）2+16存在最小值。虽然最值问题的解题思路和方法多种多样，但是，“万变不离其宗”，学生只要从配方法、基本不等式、判别法及数形结合等多种角度深入分析，就能迅速解答问题，从而在考场上取得理想的数