北约自主招生物理模拟试题清北学长精心打造

1、北约自主招生数学模拟试题一一、选择题（本题满分48分，每小题8分）1已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是（ ）A5B6C7D82设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（ ）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个与面QPS无关的常数3给定数列xn，x1=1，且xn+1=，则=（ ）A1B-1C2+D-2+4已知=(cos, sin), , ，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则

2、OAB的面积等于（ ）A1BC2D5过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=|PH|(1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（ ）ABCD6在ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则ABC（ ）A是等腰三角形，但不是直角三角形B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形二、解答题（每小题18分，共72分）7已知a, b, cR+，且满足(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。8.求所有实多项式f和g，使得对所有

3、xR，有：(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。9已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，Q与P相外切，Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得MAN为定值。求MAN的度数。10已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2；（2）当b>1时，证明：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2；（3）当0<b1时，讨论：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件。 参考答案：一、选择题1由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1

4、)，则an-1是以8为首项，公比为-的等比数列，Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6×(-)n，|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，满足条件的最小整数n=7，故选C。2设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为，PC与面PAB所成角为，则vS-PQR=SPQR·h=PQ·PRsin)·PS·sin。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，SPQR·d=PRS·d+SPRS·d+PQS·d=PQ&#

5、183;PRsin+PS·PRsin+PQ·PS·sin，故有：PQ·PR·PS·sin=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。3xn+1=，令xn=tann，xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，有。故选A。4设向量=(x, y)，则，即，即. 或，SAOB=1。5设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又HQ=PH，所以，所以由

6、定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。故选C。6由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，3sinA-4sin3A=2sinA，sinA(1-4sin2A)=0，又sinA0，所以sin2A=，而sinA>0，sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、解答题：7解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+(a+2c)+(b+2c)2(2)

7、2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以。当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。8、设w是1的非实的立方根，满足w2+w+1=0，则g(w2+w+1)g(0)=0，设为-1的非实的立方根，则f(2-+1)=f(0)=0，故可设：f(x)=x·a(x)；g(x)=x·b(x)。因此原条件可化为：a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令x=-y，得：a(y2+y+1)=b(y2-y+1)， 1。下面证明无穷多个n使得：a(n2+3n+3)=a(1)。由n=1可得：a(1)=a(7)，假设a(n-1)2+3(n-1)+3=a(1)(n2)，则a

8、(n+1)2+3(n+1)+3=a(n+2)2+(n+2)+1=a(n+1)2-(n+1)+1=a(n-1)2+3(n-1)+3=a(1)。由于多项式a(x)-a(1)有无穷多个根，所以a(x)-a(1)是零多项式，即a(x)为常数，因此f(x)=kx，类似可知：g(x)=kx。9以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, )，Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=1+r。所以x=±, tanMAN=，令2m=h2+k2-3，tanMAN=，所以m+rk=nhr，m+(1-nh)r=，两边

9、平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tanMAN=h=±。所以MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时MAN=60°），故MAN=60°。10（1）证：依题设，对任意xR，都有f(x)1。f(x)=-b(x-)2+，f()=1，a>0, b>0, a2。（2）证：（必要性），对任意x0, 1，|f(x)|1-1f(x)据此可

10、推出-1f(1)即a-b-1，ab-1。对任意x0, 1，|f(x)|1f(x)1，因为b>1，可推出f()1。即a·-1，a2，所以b-1a2。（充分性）：因b>1, ab-1，对任意x0, 1，可以推出：ax-bx2b(x-x2)-x-x-1，即：ax-bx2-1；因为b>1，a2，对任意x0, 1，可推出ax-bx22-bx21，即ax-bx21，-1f(x)1。综上，当b>1时，对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2。（3）解：因为a>0, 0<b1时，对任意x0, 1。f(x)=ax-bx2-b-1，即f(x)-1；f

11、(x)1f(1)1a-b1，即ab+1；ab+1f(x)(b+1)x-bx21，即f(x)1。所以，当a>0, 0<b1时，对任意x0, 1，|f(x)|1的充要条件是：ab+1北约自主招生模拟试题二 答题时注意:1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.2、试卷共三大题，计1道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。 一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）A、 B、

12、C、 D、2、如图，已知：点、分别是正方形的边的中点，分别交于点，若正方形的面积是240，则四边形的面积等于（ ）A、26 B、28C、24 D、303 、设是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则代数式的值是 （ ）A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算4、如图，四边形内接于以为直径的，已知：，则线段的长是 （ ）A、 B、7 C、4+3 D、3+45、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个排的等腰梯形阵，且这排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 （ ）A、296 B、221 C、225 D、641

13、 二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分） 6、已知：实常数同时满足下列两个等式：；（其中为任意锐角），则之间的关系式是： 。7、函数的最小值是 。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。9、已知：，则可用含的 有理系数三次多项式来表示为：= 。10、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p, q, r )是 。 三、解答题（共6题，共90分） 11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要

14、好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：；已知对于任意的实数，记号表示不超过的最大整数；将英文字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码： ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。 12、（本题满分15分）如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为“世博数”。1 个“世博数”之积

15、也是“世博数”吗？为什么？2 证明：两个“世博数”（）之商也是“世博数”。 13、（本题满分15分）如图，在四边形中，已知、的面积之比是314，点在边上，交于，设。求的值；若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示三边长的平方和。 14、（本题满分16分）观察下列各个等式：。你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设、的面积依次为 。当时，求的值；试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？ 15、（本题满分16

16、分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4的直角三角形；腰长为4、顶角为的等腰三角形；腰长为5、顶角为的等腰三角形；两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 16、（本题满分16分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：是

17、的边上的旁切圆，分别是切点，于点。试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设如果和的面积之比等于，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。 参考答案与评分标准一、选择题C B A D B二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。不设中间分） 6、已知：实常数同时满足下列两个等式：；（其中为任意锐角），则之间的关系式是： 。7、函数的最小值是 8 。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84 。9、已知：，则可用含的 有理系数三次多

18、项式来表示为：= 。10、设p、q、r 为素数，则方程 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p, q, r )是 。 三、解答题（共6题，共90分。学生若有其它解法，也按标准给分） 11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的个字母（不论大小写）依次用这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：；已知对于任意的实数，记号表示不超过的最大整数。将英文

19、字母转化成密码，如，即 ，再如，即。他们给出下列一组密码： ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。略解：由题意，密码对应的英语单词是interest, 对应的英语单词是is, 对应的英语单词是best, 对应的英语单词是teacher. (9分)所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。（3分） 12、（本题满分15分）如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为“世博数”。1 个“世博数”之积也是“世博数”吗？为什么？2 证明：两个“世博数”（）之商也是“世博数”。略解：

20、=，其中是有理数， “世博数”（其中是任意有理数），只须 即可。 （3分） 对于任意的两个两个“世博数”，不妨设其中j、k、r、s为任意给定的有理数， （3分） 则是“世博数”；（3分） =也是“世博数”。 （3分） 13、（本题满分15分）如图，在四边形中，已知、的面积之比是314，点在边上，交于，设。求的值；若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示三边长的平方和。 略解：不妨设、的面积分别为3、1、4， 的面积是6，的面积是 ，的面积是， 的面积为 ，的面积是。 （3分）由此可得：+=，即 ， （3分）=3 （1分）由知：分别为的中点，又点分线段成的两段，点是的重心。 （2分）而当延长到

21、，使得，连结后便得到平行四边形，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：，类似地有，其中点为边的中点。（3分） ，。（3分） 14、（本题满分16分）观察下列各个等式：。你能从中推导出计算的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线与、轴的正半轴分别交于点，将线段n等分，分点从左到右依次为，分别过这个点作轴的垂线依次交抛物线于点，设、的面积依次为 。当时，求的值；试探究：当取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？ 略解：，当式中的从1、2、3、依次取到时，就可得下列个等式： （2分），将这个等式的左右两边分别相加得：

22、 （2分）即=。（3分）先求得两点的坐标分别为，点的横坐标分别为，点的纵坐标分别为。（3分）=。 （3分）当时，=；当取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于。 （3分） 15、（本题满分16分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4的直角三角形；腰长为4、顶角为的等腰三角形；腰长为5、顶角为的等腰三角形；两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作

23、”。证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 略解：由题意可知四边形必然是等腰梯形，（2分）不妨设=，分别过点作的垂线，垂足为，则由得到，即，解得。2.4,第种塑料板“可操作”。 （5分）如上图所示，分别作直角三角形斜边上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底边上的高，易求得：=2.4, =2.5. (2分)又由可得等腰梯形的锐角底角是，=.而黄金矩形的宽等于2.4， （4分）第三种塑料板“可操作”；而第两种塑料板“不可操作”。从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。（3分） 16、（本题满分16分）定义：和三角形一边和另两边的

24、延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：是的边上的旁切圆，分别是切点，于点。试探究：三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设如果和的面积之比等于，试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。 略解：结论：三点是同在一条直线上。（1分）证明：分别延长交于点，由旁切圆的定义及题中已知条件得：，再由切线长定理得：，（3分）。，由梅涅劳斯定理的逆定理可证三点共线。 （3分）三点共线，连结，则，四点共圆。（2分）设的半径为，则：即，由得：，。 （4分），因此，由韦达定理可知：分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是。 （3分） 北约数学模拟试题三 一.选择题：（本大

25、题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.B.C.D.2、“已知二次函数的图像如图所示，试判断与0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时，所以.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法3、已知实数满足，则的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线与反比例函数的图像交于点，则反比例函数的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：，那么（ ）A.B.5C.3D.96、一副三角板

26、，如图所示叠放在一起，则（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4C.减少4D.减少28、一半径为8的圆中，圆心角为锐角，且，则角所对的弦长等于（ ）A.8B.10C.D.169、一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。A.13cmB.cm

27、C.12cmD.cm10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边与桌面所成的角恰好等于，则翻滚到位置时共走过的路程为（ ）A.cmB.cmC.cmD. cm11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车行驶路程S(千米)关于时间t(小时)的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图像是（ ） A B C D12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站

28、依次是：绵阳罗江黄许德阳广汉清白江新都成都.那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）A.7种B.8种C.56种D.28种二. 填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上）13、根据图中的抛物线可以判断：当_时，随的增大而减小；当_时，有最小值。14、函数中，自变量的取值范围是_.15、如图，在圆中，直径是上半圆上的两个动 点。弦与交于点，则_.16、下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍_根。 17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另

29、外一个顶点的坐标是_.18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表。某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是_元.汽车修理费元赔偿率0500605001000701000300080三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）19、（10分）先化简，再求值：，其中. 20、（10分）在中，.以为底作等腰直角，是的中点，求证：. 21、(10分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米

30、，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90而拆除旧校舍则超过了计划的10，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 22、（10分）已知直线与轴的负半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，（是坐标原点），两条直线交于点.（1）求的值及点的坐标；（2）求四边形的面积. 23、（12分）如图：已知是圆的直径，是圆的弦，圆的割线垂直于于点，交于点（1）求证：是圆的切线；（2）请你再添加一个条件，可使结论成立,说明理由。（3）在满足以上所有的条件下，求的值

31、。 24、（12分）如图，菱形的边长为12cm，60，点从点出发沿线路做匀速运动，点从点同时出发沿线路做匀速运动.（1）已知点运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由；（2）如果（1）中的点有分别从同时沿原路返回，点的速度不变，点的速度改为cm/秒，经过3秒后，分别到达两点，若与题（1）中的相似，试求的值. 25、（14分）在中，的长分别是，且.（1）求证：；（2）若2，抛物线与直线交于点和点，且的面积为6（是坐标原点）.求的值；（3）若，抛物线与轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与轴的交点是在轴的正半轴还是负半轴，说明理

32、由.北约数学模拟试题三参考答案一.选择题（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）1.B 2.C 3.D 4.C5.D 6.A7.C 8.A 9.C 10.D 11.C12.D二.填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上）13. <1 、 =1 ； 14. x>-2且x1 ； 15. 100 ；16. 501 ； 17.（-6，5） ； 18. 2687.25 三.解答题（共7个大题，共78分）19、（10分）（1）化简原式求值： 原式20、（10分）过作交于又故21、（10分）解：（1）由题意可设拆旧舍平方米，建新舍平方米，则答

33、：原计划拆建各4500平方米。（2）计划资金元实用资金节余资金：3960000-3636000324000可建绿化面积平方米答：可绿化面积1620平方米22、（10分）解：（1）因直线与轴负半轴交于点，故又由题知而 故由得即故：,点的坐标为（5，-2）（2）过作轴于点，依题知：23、（12分）解：（1）连接相交于，由题可知，即为切线（2）加条件：为的中点，（3）由题已知即或8（舍）又24、（12分）解：（1）又点到达点，即与重合点在之中点，即 为直角三角形（2）为的中点，又与相似为直角三角形到达处：1到达处：9，到达处：6+1218，25、（14分）（1）证明： （2）且 故由，得要使 抛物线

34、与直线有交点，则方程中得过作于，设为直线与坐标轴的交点，则又过分别作轴、轴的平行线交于点则又即故 即由方程得 得或（3）且又，即，即抛物线与轴的两个交点中有一个在原点右侧，故而抛物线与轴交点为当时，交轴于负半轴 当时，交轴于正半轴。绝密启用前清北学长精心打造北约自主招生数学模拟试题(四) 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:_姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息<br/>2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请将答案写在答题纸上评卷人得分一、选择题（5*6=30分） 1.已知函数的图象经过三点，

35、则的值等于（ ）A0 B1 C D25 2.已知函数 关于的方程，下列四个命题中是假命题的是（ ）A存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；B存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；C存在实数，使得方程恰有6个不同的实根；D存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 3.函数定义在正整数有序对的集合上，并满足，则的值为（ ）A364 B182 C91 D无法计算 4.二次函数的图象的一部分如图，则a的取值范围是 （ ）A BC D 5.关于x、y的方程的正整数解（x，y）的个数为（ ）A16 B24 C32 D48 6.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（

36、） 第II卷（非选择题）请将答案写在答题纸上评卷人得分二、填空题（6*6=36分） 7.定义: 区间的长度为. 已知函数的定义域为, 值域为，则区间长度的最大值与最小值的差等于_. 8.设是(3 +)n的展开式中x项的系数(n=2, 3, 4, ), 则当n100时, +的整数部分的值为 . 9. 平面上给定A1A2A3及点p0，定义As=As-3,s4，构造点列p0,p1,p2,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.则A1A2A3为 三角形。 10.设数列an的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,，（1个1，2

37、个2，k个k，）则数列的第100项等于 ；前100项之和等于 。 11.设，在三角形ABC中，A=90°，则k ，若B90°，则k ；若C90°，则k . 12.用3个2（不加任何运算符号）可以组成形如的四个数，那么用4个2可以组成类似形式的数 个，其中最大的是 ；评卷人得分三、解答题（共54分，12,14,14,14分） 13.（本题满分12分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为C

38、D中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 14.对于凸多边形P的每一边b，以b为一边在P内作一个面积最大的三角形证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍 15.设为n 次(n>1)整系数多项式，k是一个正整数考虑多项式 ，其中 P 出现k 次证明，最多存在 n 个整数t，使得 16.求最小实数M，使得对一切实数 a，b，c都成立不等式 试卷答案 1.D 解析：由已知，设所以，所以，选D 2.D 解析：设时，A答案正确；当，B答案正确；当时，C答案正确；选D。 3.A 4.C 解析： 由图象可知a<0且过点(0,1)和(1,0)，由二次函数的对称

39、性知，当x=-1时y>0,于是高,即.将(0,1)代入得；将代入得，即，所以 5.D解析：由得，整理得，从而，原方程的正整数解有（组） 6.A 解析：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因

40、此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 7.8 8.17 9.等边令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,×u2+×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。 10.14；945 11. 12.8； 13.（）解法一：设椭圆方程

41、为，则， 得.设，则，两式相减得，由抛物线定义可知，则或 （舍去） 所以椭圆方程为，抛物线方程为. 解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线， 作轴于，则由抛物线的定义得，所以 ， 得，所以c1，OM= (，得）, 因而椭圆方程为，抛物线方程为.（）设把直线 14.证明：过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)每两条面积平分线都交于 P 内P 可看成一个 2n 边形，每条对角线是P 的面积平分线(i=1，2，n，)设与交于 ()，由面积关系得到， ，故和中必有一个不小于 1，于是以 为一边在 P 内作的面

42、积最大的三角形的面积 对于每条有向线段，P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧由于T在和的相反侧，故必有i使得T在和 的相反侧，从而在或中即于是 P 中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积 15.证明：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立 设有整数使得，作递推数列 它以 k 为周期差分数列的每一项整除后一项由周期性及，所有 为同一个正整数令数列的周期为 2即是 P 的2-周期点 设 a 是P 的另一个2-周期点，(允许b=a)则与互相整除，故，同理展开绝对值号，若二者同取正号，推出，矛盾故必有一个取负号而得到记，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 的根

43、由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次故得本题结论 16.解析：设，则原不等式成为中两个同号而与另一个反号不妨设 则，于是由算术几何平均不等式即时原不等式成立等号在，即时达到，故所求的最小的 清北学长精心打造北约自主招生数学模拟试题五一选择题(每小题5分，共30分)1 设等差数列an 满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)2

44、03 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个4 已知方程|x2n|=k (nN*)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A)k>0 (B)0<k (C)<k (D)以上都不是5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是(A) logsin1cos1< logcos1sin1< logs

45、in1tan1< logcos1tan1(B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1(C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1(D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin16 设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式+ (A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值 (C

46、)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题8分，共48分)1arcsin(sin2000°)=_2设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，)，则limn(+)=_.3 用x表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2xlgx2=0的实根个数是 4 直角坐标平面上，满足不等式组x+y100的整点个数是 5 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 6 设M=1，2，3，1995，A是M的子集且满足条件：当xA时，15xÏA，则A中元素的个数最多是 三。

47、解答题一、(16分) 给定曲线族2(2sincos+3)x2(8sin+cos+1)y=0，为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值 2、 (18分) 求一切实数p，使得三次方程5x35(p+1)x2+(71p1)x+1=66p的三个根均为正整数 三、(18分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQNP 四、(20分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色2014年全国高校自主招生

48、数学模拟试卷五参考答案一、选择题1 设等差数列an满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，Þd=a，令an=aa (n1)0，an+1= aa n<0，得n=20选C2 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 解：设z1=cos+isin，则zk=z1k1，其中=cos+isin20=115=i，10=1，5=i zk1995=(cos1995+isin1995) 1995(k1)= (cos1995+isin199