高中数学必修二圆的标准方程课件

1、问题问题1 1：圆的定义是怎样的？：圆的定义是怎样的？平面内与一定点的距离等于定平面内与一定点的距离等于定长的点的集合称为圆长的点的集合称为圆. . 一、复习：一、复习：问题问题1 1：圆的定义是怎样的？：圆的定义是怎样的？平面内与一定点的距离等于定平面内与一定点的距离等于定长的点的集合称为圆长的点的集合称为圆. .om( (x, ,y) ) 一、复习：一、复习：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？ 圆心圆心c c是定点，是定点，确定了圆的因素是圆心和半径。确定了圆的因素是圆心和半径。它们到

2、圆心距离等于定长它们到圆心距离等于定长|mc|=r|mc|=r，cm问题问题2：圆周上的点圆周上的点m m是动点，是动点，问题问题2：思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？图中哪个点是定点？哪个点是动点？动图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？ 圆心圆心c c是定点，是定点， 圆周上的点圆周上的点m m是动点，是动点，它们到圆心距离等于定长它们到圆心距离等于定长|mc|=r|mc|=r，确定了圆的因素是圆心和半径。确定了圆的因素是圆心和半径。cm二、探索

3、研究：二、探索研究：根据圆的定义根据圆的定义|mc|=|mc|=rxyormc由两点间距离公式，得由两点间距离公式，得22xaybr把式两边平方，得把式两边平方，得探讨圆心在探讨圆心在c( (a, ,b),),半径长为半径长为r的圆的方程。的圆的方程。222( - )( - )x ay br解：设解：设m( )m( )是圆上任意一点，是圆上任意一点，c, c, y的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。r我们把方程称为我们把方程称为bac半径是半径是 圆心是圆心是),() 0()()(222rrbyax的圆的方程，把它叫做的圆的方程，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程

4、。r我们把方程称为我们把方程称为bac半径是半径是 圆心是圆心是),() 0()()(222rrbyax当圆心在坐标原点、半径长为当圆心在坐标原点、半径长为r r时，圆的方程是什么？时，圆的方程是什么？ 圆的方程圆的方程 具有什么特点？具有什么特点？222)()(rbyax当圆心在坐标原点即当圆心在坐标原点即c c（0,00,0），半径长为），半径长为r r时圆的方程时圆的方程为：为：222xyr结论：结论： 左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，括号内是差的形式，点括号内是差的形式，点 分别表示圆分别表示圆心的坐标和圆的半径心的坐标和圆的半径.

5、.(,),a br求下列圆的圆心及半径求下列圆的圆心及半径: :(1)(1) 422 yx222(1)3xy(2)智力抢答智力抢答( 2,5),cra( 1,0),3cr(0,0),2cr 变式：变式：) 0() 5() 2(222aayx三、知识应用与解题研究三、知识应用与解题研究223xy(2)(2)写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的方程，的圆的方程，并判断点并判断点 ，) 3, 2( a是否在这个圆上。是否在这个圆上。 ) 7, 5 (1m) 1, 5(2m例例1 （1） 例例1:(1)1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为写出圆心在坐标原点，半径长为 的圆的方程

6、。的圆的方程。3yxo3解：圆心是解：圆心是 半径长等于半径长等于5 5的圆的标准方程是的圆的标准方程是 ),3, 2( ayaxo.25)3()2(22yx把点把点 的坐标代入上方程的坐标代入上方程 ，左右两边相等，左右两边相等， ),7, 5(1m点点 的坐标适合圆的方程，的坐标适合圆的方程， 1m所以点所以点 在这个圆上；在这个圆上； 1m把点把点 的坐标代入上方程，的坐标代入上方程， ) 1, 5(2m所以点所以点 不在这个圆上不在这个圆上.2m不适合圆的方程，不适合圆的方程， 左右两边不相等，左右两边不相等，点点 的坐标的坐标2m例 1（2）m1写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半

7、径长等于5 5的圆的方程，并判断点的圆的方程，并判断点 是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3, 2( a)7, 5(1m) 1,5(2m解：圆心是解：圆心是 半径长等于半径长等于5 5的圆的标准方程是的圆的标准方程是 ),3, 2( a.25)3()2(22yx把点把点 的坐标代入上方程的坐标代入上方程 ，左右两边相等，左右两边相等， ),7, 5(1m点点 的坐标适合圆的方程，的坐标适合圆的方程， 1m所以点所以点 在这个圆上；在这个圆上； 1m把点把点 的坐标代入上方程，的坐标代入上方程， ) 1, 5(2m所以点所以点 不在这个圆上不在这个圆上.2m不适合圆的方程，不适合圆的方程， 左右

8、两边不相等，左右两边不相等，点点 的坐标的坐标2m2amr 那么那么 到底在圆内还是圆外呢？到底在圆内还是圆外呢？2mm2yaxom1例 1（2）写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的方程，并判断点的圆的方程，并判断点 是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3, 2( a)7, 5(1m) 1,5(2m点点 在圆在圆 外的条件是什么？外的条件是什么？ ),(000yxm222()()xaybr在圆上呢？在圆内呢？在圆上呢？在圆内呢？设点设点 到圆心到圆心 的距离为的距离为d，),(000yxm( , )c a bdr 点点m0在圆外在圆外22200()()xaybrd=r 点点

9、m0在圆上在圆上22200()()xaybrm0.dr 点点m0在圆内在圆内22200()()xaybry.cxom0.m0.r请判断请判断a(2,3)a(2,3)、b(3,1)b(3,1)、c(1,0)c(1,0)与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4的位置关系。的位置关系。答案：答案： a a在圆外在圆外b b在圆上在圆上c c在圆内在圆内在直线在直线 上，求圆心为上，求圆心为c c的圆的标准方程。的圆的标准方程。 01:yxl 已知圆心为已知圆心为c c的圆经过点的圆经过点a(1,1)a(1,1)和和b(2,-2)b(2,-2)，且圆心，且圆心c c解法

10、解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心在直线圆心在直线 上上l 例例 2lla( (1, ,1) )coyxb( (2,-,-2) )d圆心圆心圆心在弦圆心在弦ab的的垂直平分线上垂直平分线上圆心到圆心到a、b的距离相等的距离相等a、b在圆上在圆上半径半径c到到b的距离的距离解：因为解：因为 ， ，所以线段，所以线段abab的中点的中点d d坐标为坐标为 ，) 1 , 1 (a)22(，b)21,23(直线直线abab的斜率的斜率31212abk即即 033 yx圆心圆心c c的坐标是方程组的坐标是方程组01, 033yx

11、yx的解的解解此方程组，得解此方程组，得. 2, 3yx所以圆心所以圆心c c的坐标是的坐标是)2, 3(圆心为圆心为c c的圆的半径长的圆的半径长所以，圆心为所以，圆心为c c的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2()3(22yx因此线段因此线段abab的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy弦弦abab的垂的垂直平分线直平分线数形结合数形结合lla( (1, ,1) )coyxdb( (2,-,-2) )5)22()23(22 cbr 例例 2 在直线在直线 上，求圆心为上，求圆心为c c的圆的标准方程。的圆的标准方程。 01:yxl 已知圆心为已知圆心为c c的

12、圆经过点的圆经过点a(1,1)a(1,1)和和b(2,-2)b(2,-2)，且圆心，且圆心c c解法解法2 2：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 ，则，则222)()(rbyax222(1)(1)abr222(2)( 2)abr 10ab 解得解得325abr 所以所以, ,圆心为圆心为c c的圆的标准方程是的圆的标准方程是 22(3)(2)25xy由由a、b在圆上和圆心在圆上和圆心c在直线在直线l上，上，得得 例例 2 在直线在直线 上，求圆心为上，求圆心为c c的圆的标准方程。的圆的标准方程。 01:yxl 已知圆心为已知圆心为c c的圆经过点的圆经过点a(1,1)a(1,1)和和b(2

13、,-2)b(2,-2)，且圆心，且圆心c c解法解法3 3：因为圆心：因为圆心c在直线在直线l上上, ,所以可设所以可设c( (a, ,a+1),+1),则则 由由| |ca|=|=|cb| | 得得2222(1)(1 1)(2)(12)aaaa 解得解得 a=-3,=-3,所以所以c(-3,-2)(-3,-2)所以所以 r=|cb|=5所以所以, ,圆心为圆心为c的圆的标准方程是的圆的标准方程是 22(3)(2)25xy圆圆c的圆心在的圆心在x轴上，并且过点轴上，并且过点a(-1，1)和和b(1，3)，求圆，求圆c的方程的方程.解：依题可设圆心解：依题可设圆心c（a,0,0），由），由| |

14、ca|=|=|cb| |，得，得 2222(1)(0 1)(1)(03)aa22(2 1)(0 1)10r 解得，解得，a=2 所以所以圆心圆心c（2,02,0）半径长半径长所以，所求方程为所以，所求方程为22(2)10.xy圆圆c的圆心在的圆心在x轴上，并且过点轴上，并且过点a(-1，1)和和b(1，3)，求圆求圆c的方程的方程.222)()(rbyax(1)(1)牢记牢记: : 圆的标准方程：圆的标准方程： 根据题设条件直接求出圆心坐根据题设条件直接求出圆心坐标和半径长，然后再写出圆的标准方程。标和半径长，然后再写出圆的标准方程。(2)(2)明确：点与圆的位置关系。明确：点与圆的位置关系。(3)(3)方法：方法：