多元函数微分学3(4月14日)

1、南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数 6.2 偏导数和全微分 三、全微分的定义四*、全微分在近似计算中的应用南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 d 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数

2、:南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲类似可以定义更高阶的偏导数.例如例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲yxe22例例1. 求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 南开大学 高等数学

3、(信息类) 主讲人： 王秀玲0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如, 对三元函

4、数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲证证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxf),(),()(00yxfyyxfx则),(yxfxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),()

5、,(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx定理定理.令南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲),(),(),(0000yxxfyyxxfyxf),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(20

6、10yyxxfyx在点)(00yx ，连续,得0y南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲例例2. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲三、全微分的定义函数f(x, y)对x的偏微分函数f(x, y)对y的偏增量函数f(x, y)对y的偏微分 全增量 zf(xx, yy)f(x, y). 1.偏增量与偏微分

7、f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, 函数f(x, y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(xx, y)f(x, y) f(x, yy)f(x, y) fx(x, y)x fy(x, y)y南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲 2.全微分的定义其中a、b不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数函数z f(x, y)在点在点(x, y)可微分可微分, 而axby称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dzaxby. 如果函数在区域d内各点处都可微分, 那么称这函数在

8、d内可微分. 如果函数zf(x, y)在点(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示为) )()( )(22yxoybxaz 南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲定理定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(

9、x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfxz同样可证,byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oybxaz,0y令)(xoxa必存在,且有有xxx因此有 xyxfyxxfx),(),(lim0axxoax)(lim0南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注注: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定

10、可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲 ),(yyxxf定理定理2 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微. 0lim

11、00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲注注 本定理的条件是充分的,而非必要的., 0, 0, 0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf. 0)0, 0(yf同理，xfxffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0例如函数0)0 , 0(),(limlim00fyxfdff, 0)0 , 0()0 , 0(yfxfdfyx从而在(0,0)可微,但偏导数在此点间断.解解0)(1sin)(lim220 xxxx, 01sinlim220故f(x,y)在(0,0)可微.南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲,

12、0, 0, 0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf.1cos21sin2),(222222yxyxxyxxyxfx),0)(,(22yxyx另一方面，例如函数不存在，时极限特别地，当)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxxxfxyxxx在(0,0)可微,但偏导数在此点间断.解解.)0 , 0(),(处间断在即yxfx.)0 , 0(),(处也间断在同理，yxfy南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作ux

13、d故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲高阶微分高阶微分: 函数z=f(x,y)的全微分仍是x,y的函数,，如果存在的全微分则可再求)(dddzz22222222dydyd2dd)dyd(d)dyd(dyzxyxzxxzyyzxxzyxyzxxzxz自变量的改变量仍取dx,dy2222)(dd,)(ddyyxx表示表示zdxxzdyyzd.d)(dd2zzz的二阶全微分，记作称为2222222)( ,)( ,)(yyyxyxxx约定zd,)dd(z

14、yyxxz2d.)dd(2zyyxx南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲例例3. 求下列函数的一阶二阶微分:;,) 1 (11nmnmynxyuymxxuyynxxymxunmnmddd11解解: ;ln)2(,) 1 (22yxu

15、yxunm,) 1(,) 1(222112222nmnmnmyxnnyzymnxyxzyxmmxzyxymnxxyxmmunmnmdd2d) 1(d1122222d) 1(yyxnnnm;ddd)2(2222yyxyxyxxu;d)(dd4d)()(1d)2(2222222222yyxyxxyxxyyxu南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲可知当*四、全微分在数值计算中的应用四、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析