第六节多元函数的极值与最值

1、1第六节第六节 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定的某邻域内有定义，对于该邻域内异于义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极大值极大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 则称函数在， 则称函数在),(00yx有有极极小值小值. . 一、二元函数极值一、二元函数极值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 2(1)(2)(3)例例1 1

2、处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 3的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 播放播放4设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点） 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点

3、.驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？5设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分条件）（充分条件）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：令令 ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00， （1 1）02 bac时具有极值， 且当时具有极

4、值， 且当0 a时有极大值，时有极大值，当当0 a时有极小值；时有极小值； （2 2）02 bac时时没没有有极极值值；（3 3）02 bac时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 cbba负定负定正定正定6求求函函数数xyxyxyxf933),(2233 的的极极值值. . 求求得得驻驻点点：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二阶阶偏偏导导数数为为：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例例4 4解解 063096322 yyfxxfyx令令cba 2bac )0, 3( )0, 1()2, 3

5、( )2, 1(6 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 无无极值极值极极小小值值- -5极极大大值值31无无极值极值1, 3 x2, 0 yf7二元函数的最值二元函数的最值 若根据实际问题若根据实际问题, ,目标函数有最大值目标函数有最大值( (或最小或最小值值),),而在定义区域而在定义区域内部内部有有惟一惟一的极大的极大( (小小) )值点值点, ,则则可以断定该极大可以断定该极大( (小小) )值点即为最大值点即为最大( (小小) )值点值点. . 设生产某种商品需原料设生产某种商品需原料a和和b，设设a的单价为的单价为2 2，数量为数量为x；而而b 的单价为的单价为1 1

6、，数量为，数量为y，而产量为而产量为 例例5 5解解，yyxxz52102022 且商品售价为且商品售价为5,5,求最大利润求最大利润. . 利润函数为利润函数为 yxyyxxyxl 2)521020(5),(228yxyyxxyxl 2)521020(5),(22令令， 0242004810 xlxlyx解得解得惟一惟一驻点驻点 ，2 . 1, 8 . 4 yx惟一惟一驻点驻点为极为极大值大值点点，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( l，yyxx24104851122 ,20,0,10 yyxyxxfcfbfa,02 bac,0 a即为即为最大值最大值点点，最大利润最大利润为为 9

7、一一块块宽宽2 24 4cm的的矩矩形形铁铁皮皮, ,两两边边折折起起, ,做做成成一一个个梯梯形形槽槽, ,当当x和和 为为何何值值时时, ,使使槽槽的的截截面面积积最最大大？ 例例6 6解解 sincos222422421xxxxs ， cossinsin2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 10其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化简简后后解解得得 3, 8 x, , 由由实实际际问问题题可可知知, ,s 必必有有最最大大值值, ,且且内内部部唯唯一一驻驻点点, ,故故当当3, 8 x时时, ,槽槽的的截截面面积积最最

8、大大, ,348 最最大大s. . ， cossinsin2sin2422xxxs 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxxsxxsx 令令11 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 实际问题中实际问题中, ,目标函数的自变量除了受到定义目标函数的自变量除了受

9、到定义域的限制外域的限制外, , 往往还受到一些附加条件的约束往往还受到一些附加条件的约束, ,这类这类极值问题称极值问题称条件极值条件极值问题问题. . 例例7 7解解 即表面积最小即表面积最小. . ，xyvz 代入目标函数代入目标函数, ,化为无条件极值问题：化为无条件极值问题： xyz12目目标标函函数数化化为为：)( 2yvxvxys , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yvxsxvysyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3vyx , ,从而从而3vz , , 内部唯一驻点内部唯一驻点, ,且由实际问题且由实际问题s有最大值有最大值, ,故做成立方故做成立方体表面积最小

10、体表面积最小. . 这种做法的缺点：这种做法的缺点： 1.1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.2.有时解出隐函数困难甚至不可能有时解出隐函数困难甚至不可能. . 13 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxf 令令,0),(0),(),(0),(),( yxfyxyxffyxyxffyyyxxx 若这样的

11、点惟一若这样的点惟一, ,由实际问题由实际问题, ,可直接确定此即所求的点。可直接确定此即所求的点。14如如果果目目标标函函数数是是三三元元函函数数),(zyxf, ,且且约约束束条条件件有有两两个个, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 则构造拉格朗日函数为则构造拉格朗日函数为 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxl 令令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 解解出出zyx,，就就是是可可能能的的极极值

12、值点点的的坐坐标标. 15 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 例例7 7目目标标函函数数：)( 2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 解解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )()( 2vxyzzxyzxyl , , 令令 vxyzxyyxlxzzxlyzzylzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点3vzyx , , 由实际问题由实际问题, ,即为最小值点即为最小值点. . 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 xyz16三、多元

13、函数最大值、最小值及其应用三、多元函数最大值、最小值及其应用 在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域域d内的最大值和最小值内的最大值和最小值. .根据实际情况，我们往往根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域可以判断最大值或最小值在区域d的内部达到，若的内部达到，若函数在函数在d内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点是最大值点或最小值点. . 17在在周周长长为为p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面积积最最大大的的三三角角形形. . 设设三三角角形形的的三三条条边边长长分分

14、别别为为zyx, , 则则面面积积为为 )()(zpypxpps , , 约约束束条条件件: : pzyx2 , , 目目标标函函数数取取为为：)()(),(zpypxpzyxf , , 令令 pzyxypxplzpxplzpyplzyx20)(0)(0)( , , 例例8 8解解，)2()()(pzyxzpypxpl 解得唯一驻点解得唯一驻点 ，pzyx32 即即做成做成正三角形时面积最大正三角形时面积最大. . 18用用一一根根长长为为p2的的铁铁丝丝做做一一个个网网兜兜边边框框： 五五边边形形( (正正) ): : 222752. 051025251pp ； 圆圆：2223183. 0/

15、 pprs , ,最最大大. . 三角形中三角形中, ,以正三角形面积为最大以正三角形面积为最大: : .1925. 09322pp 四边形中四边形中, ,以正方形面积为最大：以正方形面积为最大： .25. 04122pp 19求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 在由在由直线直线6 yx，x 轴和轴和 y 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域 d 上的上的极值、最大值与最小值极值、最大值与最小值. 解解xyo6 yxd例例9 9先求函数在先求函数在d内的驻点，内的驻点， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域 d 内内惟惟一一驻驻点点

16、)1 , 2(, 解方程组解方程组 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfaxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfbxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfcyy,02 bac,0 a. 4)1 , 2( 是极大值是极大值所以所以 f20 xyo6 yxd再再求求),(yxf在在 d边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是极极大大值值 4)1 ,2( f在在边边界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最

17、大大值值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 21某产品的生产函数某产品的生产函数414380),(yxyxq ， 其中， 其中yx,分别表示投入的劳力数和资本数，分别表示投入的劳力数和资本数，q是产量。是产量。若每个单若每个单位劳力需位劳力需 600600 元， 每单位资本为元， 每单位资本为 20002000 元， 而劳力和资本元， 而劳力和资本投入的总预算为投入的总预算为 4040 万元，试求最佳资金投入分配方案。万元，试求最佳资金投入分配方案。 例例1010解解目目标标

18、函函数数 414380),(yxyxq ， 约约束束条条件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxl 22由由，)2000103(804143 yxyxl 200010301020036043434141yxyxlyxlyx ，3103 yx，yx10 ,50,500 yx由实际问题，此即最佳分配方案由实际问题，此即最佳分配方案. . 23设两种产品的需求量设两种产品的需求量21,qq分别为分别为112 . 024pq ， 2205. 010pq ( (21, pp为其价格为其价格),),总成本为总成本为 )(403521qqc , ,问如何定价，才能获取最大利润？问如何定价，才能获取最大利润？ 解法解法1),(),(21221121qqcqpqpqql ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121plplpp,12080 21 pp故故当当 120,8021 pp时时，利利润润最最大大。 例例1111因驻点惟一因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，