大学物理上电学讲座

1、静电学静电学理学院：姜海丽理学院：姜海丽3、电通量：在静电场中，通过某一曲面的电力线总条数。、电通量：在静电场中，通过某一曲面的电力线总条数。定义式为：定义式为：0qFE一、基本概念一、基本概念1.静电场：相对于观察者静止的电荷激发的电场称为静电静电场：相对于观察者静止的电荷激发的电场称为静电 场场.2、电场强度：电场强度是描述电场的性质的物理量，其、电场强度：电场强度是描述电场的性质的物理量，其定义式为：定义式为：电场强度电场强度SeSdErrrqqF20214二、基本定律、定理和公式二、基本定律、定理和公式1真空中的库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷真空中的库仑定律：在真空中，两个静止的

2、点电荷、之间的相互作用力的大小，正比于它们电荷的乘积，之间的相互作用力的大小，正比于它们电荷的乘积，反比于它们之间的距离反比于它们之间的距离r的平方，作用力的方向沿着的平方，作用力的方向沿着它们的连线。其数学表达式为：它们的连线。其数学表达式为：只适用于两个点电荷的情形。只适用于两个点电荷的情形。2静电场的高斯定理：通过静电场中任一闭合曲面的电静电场的高斯定理：通过静电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以iiSqSdE010三、典型题形：三、典型题形：1、求解电场强度；、求解电场强度；2、求电场力、求电场力四、场强的求解方法四

3、、场强的求解方法1、迭加法：、迭加法：2、高斯定理、高斯定理无限长均匀带电细棒的场强方向垂直于无限长均匀带电细棒的场强方向垂直于细棒细棒aEy02均匀带电圆环均匀带电圆环23220)(4xRqxE点电荷：点电荷：rrqE4120 1、一环形薄片由细绳悬吊着，环的内、外半径分别为、一环形薄片由细绳悬吊着，环的内、外半径分别为R/2、R，并有电量均匀分布在环面上，细绳长，并有电量均匀分布在环面上，细绳长3R，并有电量，并有电量均匀分布在绳上，试求圆环中心均匀分布在绳上，试求圆环中心O处的电场强度。（圆处的电场强度。（圆环中心在细绳的延长线上）环中心在细绳的延长线上）迭加法求解电场强度迭加法求解电场

4、强度1、线分布、线分布20144ddxRqE20412dxRRxQ E1 x R 3R x dx O 解：先计算细绳上的电荷在解：先计算细绳上的电荷在O点产生的场强选细绳顶点产生的场强选细绳顶端作坐标原点端作坐标原点O，x轴向下为正在轴向下为正在x处取一电荷元处取一电荷元 dq = dx = Qdx/(3R) 它在环心处的场强为它在环心处的场强为 整个细绳上的电荷在环心处的场强整个细绳上的电荷在环心处的场强 4R122R00QdxQE12R16R4Rx iRQiEE20116圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强E2=0 由此，合场强由此，合场

5、强 方向竖直向下方向竖直向下 Oxy2. 求：均匀带电半圆环圆心的场强。求：均匀带电半圆环圆心的场强。 设圆设圆 环带电密度为环带电密度为 ，半径为，半径为R.Oxydl dER解：取微分元解：取微分元dl ,则则2041RdldE方向如图。方向如图。由对称性可知：由对称性可知：0 xERdRRdldEdEEyy000204sin4sin41sin2、面分布、面分布1、“无限长无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面，设半圆柱面沿轴线单位长度上的电荷为沿轴线单位长度上的电荷为 ，试求：轴线上一点的电，试求：轴线上一点的电场强度场强度dddlRd22dd020R

6、RERREx02002dsin2iRjEiEEyx02解：将半圆柱面划分成许多窄条解：将半圆柱面划分成许多窄条dl宽的窄条的电荷线密度为宽的窄条的电荷线密度为 Ey=0 2、 一半径为一半径为R，长度为，长度为L的均匀带电圆柱面，总电量为的均匀带电圆柱面，总电量为Q。试求端面处轴线上试求端面处轴线上P点的电场强度。点的电场强度。2/32204dxLRxLqdE2/32204dxLRLxxLQ2/322220d8xLRxLRLQ O x L x dx P dE 解：以左端面处为坐标原点解：以左端面处为坐标原点x轴沿轴线向右为正在距轴沿轴线向右为正在距O点为点为x处取宽处取宽dx的圆环，其上电荷的

7、圆环，其上电荷dq=(Qdx) / L 小圆环小圆环在在P点产生的电场强度为：点产生的电场强度为： LxLRxLRLQdEE02/322220d8220114LRRLQ总场强总场强 方向沿方向沿x轴正向轴正向. 3. 一半径为一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，的半球面，均匀地带有电荷， 电荷面密度为电荷面密度为。 求：球心求：球心O处的电场强度。处的电场强度。OOR解：解：dS=2rdl=2RcosRd dq=dS=2R2cosd304RxdqdE x=Rsin OORRrdldExrR02/004cossin2ddEE4. 一锥顶角为一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为的圆台，上下底面半径

8、分别为R1和和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度在它的侧面上均匀带电，电荷面密度，求：顶角求：顶角O的的电势。电势。 （以无穷远处电势为零点）（以无穷远处电势为零点）xx1x2dxdlrdxtgxrdqdU022022401202)(2221RRdxtgdUUxxxdxtgrdldS2cos222dSdq解：如图所示，取微分元，则解：如图所示，取微分元，则xx1x2dxdlr5、如图所示，一电荷面密度为、如图所示，一电荷面密度为的的“无限大无限大”平面，在距离平面平面，在距离平面a处处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范的圆面

9、积范围内的电荷所产生的试求：该圆半径的大小围内的电荷所产生的试求：该圆半径的大小 02/Erdrdq22/32202draardrE无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 以图中以图中O点为圆心，取半径为点为圆心，取半径为rrdr的环形面积，其电量为的环形面积，其电量为它在距离平面为它在距离平面为a的一点处产生的场强的一点处产生的场强 RrarraE02/3220d20220412Raa则半径为则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为的圆面积内的电荷在该点的场强为 aR3解：由题意知，电荷沿解：由题意知，电荷沿x轴方向按余弦规律变化可轴方向按余弦规律变化可

10、判断场强的方向必沿判断场强的方向必沿x轴方向，且相对轴方向，且相对yOz平面对称分布平面对称分布在在x处作与处作与x轴垂直的两个相同的轴垂直的两个相同的 平面平面S，用与，用与x轴平轴平行的侧面将其封行的侧面将其封 闭为高斯面，如图所示闭为高斯面，如图所示 由高斯定理由高斯定理xcos001.设电荷体密度沿设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律轴方向按余弦规律分布在整个空间，分布在整个空间，为常量，求：空间电场分布。为常量，求：空间电场分布。SVVSdE0/d yOz 平面 侧面 S E E S O -x +x x 高斯定理求解电场强度高斯定理求解电场强度SESdES2xxVxxSVdcosd0 x

11、Ssin20由此由此 2SE = 2S 0 sin x / 0 得得 E=0 sin x / 0 方向可由方向可由E值正、负确定，值正、负确定，E0表示沿表示沿x轴正向，轴正向，ER) 试求：试求：(1) 带电球体的总电荷；带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场球内、外各点的电场强度；强度；(3) 球内、外各点的电势球内、外各点的电势3一半径为一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为 (rR) (q为一正的常量为一正的常量) (1)在球内取半径为在球内取半径为r、厚为、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = dV =

12、qr 4 r2dr/( R4) = 4qr3dr/R4则球体所带的总电荷为则球体所带的总电荷为 qrrRqVQrV034d/4d 404102401211d414RqrrrRqrErr402114RqrE0222/4qEr22024rqE(2) 在球内作一半径为在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有的高斯球面，按高斯定理有 方向沿半径向外球体外作半径为方向沿半径向外球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有的高斯球面，按高斯定理有 方向沿半径向外方向沿半径向外 RRrrErEUdd2111RRrrrqrRqrd4d420402140310123RqrRq3310412RrRqRr 120

13、20224d4d22rqrrqrEUrRrRr 2 (3) 球内电势球内电势 球外电势球外电势1. 两根相同的均匀带电细棒，长为两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为，电荷线密度为l，沿同一条直线放置两细棒间最近距离也为沿同一条直线放置两细棒间最近距离也为l，如图所示，如图所示假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求：两棒间的静假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求：两棒间的静电相互作用力电相互作用力.求解电场力求解电场力204ddxxxElxxxE0204dxlx1140解：选左棒的左端为坐标原点解：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿轴沿 棒方向向右，棒方向向右，在左棒上在左棒上x处取线元处取

14、线元dx，其电荷为，其电荷为dq dx，它在右棒，它在右棒的的x处产生的场强为：处产生的场强为： 整个左棒产生的场强为：整个左棒产生的场强为： xxlxxEFd114dd02llxxlxF3202d11434ln402FF右棒右棒x处的电荷元处的电荷元dx在电场中受力为：在电场中受力为： 整个右棒在电场中受力为：整个右棒在电场中受力为： 方向沿方向沿x轴正向轴正向左棒受力左棒受力 2.半径为半径为R、电荷线密度为、电荷线密度为l1的一个均匀带电圆环，在其轴的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为线上放一长为l、电荷线密度为、电荷线密度为l2的均匀带电直线段，该的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆

15、环中心处，如图所示求该直线段受线段的一端处于圆环中心处，如图所示求该直线段受到的电场力到的电场力 R O 1 2 l dxqd2xRxRxqEFxddd22/3220122/322021dRxxRx2在在x处取一电荷元处取一电荷元它受到的电场力为它受到的电场力为 lRxRxRF02/32222021d42/1220212RxlR042/12202111RlRR2线段受到的总力线段受到的总力 aaal dEqWU0VQC 1 1、电势：电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在、电势：电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能。定义式为：该点所具有的电势能。定义式为：2 2、电容：

16、孤立导体所带的电荷与其电势的比值叫做孤立、电容：孤立导体所带的电荷与其电势的比值叫做孤立 导体的电容。定义式为：导体的电容。定义式为：VpP3 3、电极化强度、电极化强度：电介质中单位体积中分子电偶极矩的矢：电介质中单位体积中分子电偶极矩的矢量和。定义式为：量和。定义式为：电电 势势0ll dE1静电场的环路定理：电场强度沿任意闭合路径的线积静电场的环路定理：电场强度沿任意闭合路径的线积分（即环流）等于零。数学表达式为：分（即环流）等于零。数学表达式为：2静电场的电势叠加原理：点电荷系所激发的电场中某静电场的电势叠加原理：点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势

17、的点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和。代数和。3电场强度与电势的关系：电场中某一点的电场强度沿电场强度与电势的关系：电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度的任一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值。电势变化率的负值。VgradVE二、基本定律、定理和公式二、基本定律、定理和公式1000rrEPEEDEP4电位移矢量、电场强度和极化强度之间的关系：电位移矢量、电场强度和极化强度之间的关系：QUCUCQWe2121212222212121DDEEwe5电容器的电能：电容器的电能：6静电场的能量密度：静电场的能量密度：

18、三、典型题形：三、典型题形：1、求解电场强度；、求解电场强度；2、求电场力、求电场力3、求电势及相关参量；、求电势及相关参量；4、求解静电平衡的相关问题；、求解静电平衡的相关问题；5、电介质及电场能量。、电介质及电场能量。求解电势及相关参量求解电势及相关参量基本方法：基本方法：、定义法、叠加法21一、叠加法微元的选择：一、叠加法微元的选择：1）、点电荷）、点电荷rqV0 42)、带电圆环、带电圆环220 4RxqVP3)、带电球壳、带电球壳rQrV0 4)(外二、定义法：在已知电场分布的情况下求电势二、定义法：在已知电场分布的情况下求电势PPl dEU一般针对对称性很强的带电体，在利用高斯定理

19、求出一般针对对称性很强的带电体，在利用高斯定理求出空间场强分布的情况下，由定义式求出电势。空间场强分布的情况下，由定义式求出电势。2、图中所示为一沿图中所示为一沿x轴放置的长度为轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，的不均匀带电细棒，其电荷线密度为其电荷线密度为 ，为一常量取无穷远处为一常量取无穷远处为电势零点，求：坐标原点为电势零点，求：坐标原点O处的电势处的电势 )(0ax1、在点电荷、在点电荷q的静电场中，若选取与点电荷距离为的静电场中，若选取与点电荷距离为r0的一点为电势零的一点为电势零点，则与点电荷距离为点，则与点电荷距离为r处的电势处的电势U dxaxdq)(0 xxaxU004ddl

20、aalaaxxaxdUUdd400alaalln4003、一均匀带电球层，其电荷体密度为、一均匀带电球层，其电荷体密度为，球层，球层内表面半径为内表面半径为R1，外表面半径为，外表面半径为R2。设无穷远处电。设无穷远处电势为零，求：空腔内任一点的电势。势为零，求：空腔内任一点的电势。解解: 由高斯定理可知空腔内由高斯定理可知空腔内E0，故带电球层的空腔，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为是等势区，各点电势均为U . 在球层内取半径为在球层内取半径为rrdr的薄球层其电荷为的薄球层其电荷为 dq = 4 r2dr该薄层电荷在球心处产生的电势为该薄层电荷在球心处产生的电势为 00/d4/ddr

21、rrqU212200002dd21RRrrUURR整个带电球层在球心处产生的电势为整个带电球层在球心处产生的电势为 2122002RRUUlEUd因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为为 若根据电势定义若根据电势定义计算同样计算同样 4 Rqr = 0 (rR) 试求：试求：(1) 带电球体的总电荷；带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场球内、外各点的电场强度；强度；(3) 球内、外各点的电势球内、外各点的电势4一半径为一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为 (rR) (q为一正的常量为一正的常量) 5. 有两

22、根半径都是有两根半径都是R的的“无限长无限长”直导线，彼此平行放置，直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是两者轴线的距离是d（d2R），）， 单位长度上分别带有电单位长度上分别带有电量为量为+和和-的电荷。设两带电导线之间的相互作用不影的电荷。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线的电势差。响它们的电荷分布，试求两导线的电势差。解：设原点解：设原点O在左边导线的轴线上，在左边导线的轴线上，x轴通过两导线轴线轴通过两导线轴线并与之垂直在两轴线组成的平面上，在并与之垂直在两轴线组成的平面上，在Rx(dR)区域内，离原点距离区域内，离原点距离x处的处的P点场强为点场强为 xdxE

23、EE0022RdRxEUdRdRxxdxd1120RdRxdxlnln20RdRRRdlnln20RRd ln0则两导线间的电势差则两导线间的电势差 6. 如图所示，半径为如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷的均匀带电球面，带有电荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为长度为l，细线左端离球心距离为，细线左端离球心距离为r0设球和线上的电荷设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求：细线所受球面电荷的电分布不受相互作用影响，试求：细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为

24、零设无穷远处的电势为零)xqddlrrlqxxqFlrr000204d400 O R x r0 r0+l dx x 解：设解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元处取线元dx，其上电荷为，其上电荷为该线元在带电球面的电场中所受电场力为：该线元在带电球面的电场中所受电场力为： dF = q dx / (40 x2) 整个细线所受电场力为：整个细线所受电场力为： 方向沿方向沿x正方向正方向 电荷元在球面电荷电场中具有电势能：电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (q dx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能整个线电荷在电场中具有电势能：

25、0000ln4d400rlrqxxqWlrr 7. 如图所示，一半径为如图所示，一半径为R的均匀带正电圆环，其电荷线的均匀带正电圆环，其电荷线密度为密度为 在其轴线上有在其轴线上有A、B两点，它们与环心的距离两点，它们与环心的距离分别为分别为ROA3ROB8一质量为一质量为m、电荷为、电荷为q的粒子从的粒子从A点运动到点运动到B点求：在此点求：在此过程中电场力所作的功过程中电场力所作的功0220432RRRUA0220682RRRUB0001264qqUUqABA解：设无穷远处为电势零点，则解：设无穷远处为电势零点，则A、B两点电势分别为两点电势分别为 q由由A点运动到点运动到B点电场力作功点

26、电场力作功 注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分计算注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分计算 1. 两块两块“无限大无限大”平行平面带电导体板。试证明：静电平行平面带电导体板。试证明：静电平衡时：（平衡时：（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反；（号相反；（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同。号相同。求解静电平衡的相关问题求解静电平衡的相关问题0, 0NMEE02222040302010222204030201121QS ）（243QS ）（SQQ22141SQQ21223解：解： M

27、。N。2、半径分别为、半径分别为R1和和R2 (R2 R1)的两个同心导体薄球壳，的两个同心导体薄球壳，分别带有电量分别带有电量Q1和和Q2，今将内球壳用细导线与远处的半今将内球壳用细导线与远处的半径为径为r的导体球相连，导体球原来不带电，试求相连后导的导体球相连，导体球原来不带电，试求相连后导体球所带电量体球所带电量q。rqU00410114RqQU2024RQrq041014RqQ2024RQ)()(122112rRRQRQRrq解：设导体球带电解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点，则导体球，取无穷远处为电势零点，则导体球电势：电势： 内球壳电势：内球壳电势： 二者等电势，即二者等电势，即 解得解得 3. C和和C两个电容器，其上分别标明两个电容器，其上分别标明200pF（电容量）、（电容量）、500V（耐压值）和（耐压值）和300 pF、900V。把它们串联起来后在。把它们串联起来后在两端加上两端加上1000V电压，讨论它