2022年余弦函数的图像与性质教学设计

1、学习必备欢迎下载余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像. 2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质. 3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义. 4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间. 【知识梳理】问题 1:余弦函数的图像的作法(1)平移法 : 余弦函数y= cos x 的图像可以通过将正弦曲线y=sin x 的图像向平移个单位长度得到(如图 ). (2)五点法 : 余弦曲线在 0,2 上起作用的五个关键点分别为. 问题 2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为

2、.问题 3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期 t= ;(2)偶函数 ;(3)对称轴为(4)对称中心为. 问题 4:余弦函数的复合函数f(x)=a cos(x+ )(a 0, 0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当 x+=+k时,即为对称中心 ; (2)当 x+ =k 时,即为对称轴 ; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(3)当 x+ - + 2k ,2 k 时,求得 x 属于的区间为区间 ;当 x+ 2k , +2k 时,求得 x 属于的区间为

3、区间 .(注:以上 kz) 【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例 1 画出 ycos x(xr)的简图，并根据图像写出：(1)y12时 x 的集合；(2)12 y32时 x 的集合解：用 “ 五点法 ” 作出 ycos x 的简图(1)过 0，12点作 x 轴的平行线，从图像中看出：在 ， 区间与余弦曲线交于3，12，3，12点，在 ， 区间内， y12时， x的集合为x|3 x3. 当 xr 时，若 y12，则 x 的集合为x32kx32k ，kz(2)过 0，12，0，32点分别作x 轴的平行线， 从图像中看出它们分别与余弦曲线交于232k ，12，kz，232k ，12，k z 点和

4、 62k ，32，kz，62k ，32)，kz 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当12 y32时 x 的集合为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载x232kx 62k 或62k x232k ，kz. 规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性跟踪演练1求函数 f(x)lg cos x25x2的定义域解由题意， x 满足不等式组cos x025x20，即5 x5cos x0，作出 y cos x

5、 的图像结合图像可得：x5，322，232 ，5 . 要点二：余弦函数单调性的应用例 2 求函数 ylog (cos 2x)的增区间解：由题意得cos 2x0 且 ycos 2x 递减x 只须满足： 2k 2 x2k 2，k z. kx139 136 0 ，cos 139 cos 221 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2)cos235cos235 cos 4 35cos35 ，cos174cos174 cos 4 4cos4. 0435 ，且 ycos x

6、 在 0， 上递减，cos35 cos4，即 cos 2350，又因为 1cos x1 ，显然 3cosx0，所以 xr. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载二、填空题7函数 ycosx 在区间 ，a上为增函数，则a的取值范围是_答案 ( ，0 解析 ycosx 在 ，0上是增函数，在0， 上是减函数，只有 解析 cos4710cos5 310 cos310 ，cos449cos5 9 cos9，由 ycosx 在 0，上是单调递减的，所以cos310 cos449

7、. 三、解答题9若函数f(x) absinx 的最大值为32，最小值为12，求函数y1acosbx 的最值和周期解析 (1)当 b0 时，若 sinx 1，f(x)max32；若 sinx1， f(x)min12，即ab32，ab12.解得a12，b1.此时 b10 符合题意，所以y112cosx. (2)当 b0 时， f(x)a，这与 f(x)有最大值32，最小值12矛盾，故b0 不成立(3)当 b0 时，显然有a b32，a b12.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备

8、欢迎下载解得a12，b 1，符合题意所以 y 112cos(x)112cosx. 综上可知，函数y112cosx 的最大值为32，最小值为12，周期为 2.一、选择题1将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是() acos0cos12cos1cos30 cosbcos0cos cos12cos30 cos12cos1cos30 cosdcos0cos12cos30 cos1cos答案 d 解析 在0，2上， 0126cos12cos6cos10. 又 cos cos12cos6cos1cos . 2函数 f(x) xcosx 的部分图像是 () 答案 d 精品学习资料 可选择p d f - -

9、- - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解析 由 f(x) xcosx 是奇函数，可排除a，c.令 x4，则 f(4)4cos4280.故答案选d. 二、填空题3若 cosx2m13m2，且 xr，则 m 的取 值范围是 _答案 ( ， 315， 解析 2m13m2|cosx| 1 ，|2m1| |3 m2|. (2m1)2 (3 m2)2.m 3，或 m 15. m(，315， . 4设 f(x)的定义域为r，最小正周期为32.若 f(x)cosx2 x0 ，sinxx，则 f 154_. 答案 22解析 t

10、32， ktk32(kz)都是 yf(x)的周期，f 154f3234f34sin34sin422. 三、解答题5利用余弦函数的单调性，比较cos(235)与 cos(174)的大小分析 利用诱导公式化为0， 上的余弦值，再比较大小解析 cos(235)cos235cos35，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载cos(174) cos174cos4. 因为 0435cos35，即 cos(235)0，xr. yx的定义域为r. (2)要使函数有意义，只要12cos

11、x0 ，2sinx10，即cosx12，sinx12.由下图可得cosx12的解集为 x|32k x532k ，kzsinx12的解集为 x|62kx562k ，kz它们的交集为 x|32kx562k ，k z ，即为函数的定义域精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载7函数 f(x)12a4acosx cos2x(0 x2)的最大值为2，求实数a 的值解析 令 tcosx， 由 0 x2， 知 0cos x1 ， 即 t 0,1 所以原函数可以转化为y t2at12a4ta22a2412a4，t0,1(1)若a20 ，即 a0 时，当 t0 时，ymax12a42，解得 a 6. (2)若 0a21，即 0