高中数学课件第二章第2节函数的定义域和值域

1、会求一些简单函数的定义域和值域会求一些简单函数的定义域和值域.1.函数的定义域、值域函数的定义域、值域在函数在函数yf(x)，xa中，中，x叫做自变量，叫做自变量，a 叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与x的值对应的的值对应的y值叫做函数值，值叫做函数值，叫做函数的值域叫做函数的值域.函数值的集合函数值的集合x的取值范围的取值范围思考探究思考探究函数的值域由哪些因素决定？函数的值域由哪些因素决定？提示：提示：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.2.确定函数定义域的依据确定函数定义域的依据1.函数函数yln(2x)的定义域是的定义域是()a.1，)b

2、.(，2)c.(1,2)d.1,2)解析：解析：要使函数有意义，只须要使函数有意义，只须，即，即，1x2.答案：答案：d2.已知函数已知函数yf(x)的定义域为的定义域为1,3，则函数，则函数yf(x21)的定义域是的定义域是()a.2,2b.1,3c.1，)d.解析：解析：f(x)的定义域为的定义域为1,31x213即即0 x242x2.答案：答案：a3.函数函数f(x)(xr)的值域是的值域是()a.0,1b.0,1)c.(0,1d.(0,1)解析：解析：1x2101答案：答案：c4.若若为实数，则函数为实数，则函数yx23x5的值域是的值域是.解析：解析：为实数，为实数，x0，yx23x

3、5(x)25，当当x0时，时，ymin5.答案：答案：5，)5.若函数若函数f(x)的定义域为的定义域为r，则，则a的取值范的取值范围为围为.解析：解析：由题意知由题意知210恒成立，即恒成立，即x22axa0恒成立，其等价于恒成立，其等价于4a24a01a0.答案：答案：1,0确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则1.当函数当函数yf(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数实数x的集合的集合.2.当函数当函数yf(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合轴上的投影所覆盖的实数

4、的集合.3.当函数当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合式有意义的实数的集合.4.当函数当函数yf(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定题的意义确定.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：(1)y；(2)已知函数已知函数f(2x1)的定义域为的定义域为(0,1)，求，求f(x)的定义域的定义域.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)要使函数要使函数y有意义，有意义，应有应有即即有有所以此函数的定义域是所以此函数的定义域是x|1x1或或1x2.(2)f(2x1)的定

5、义域为的定义域为(0,1)，12x13，即即f(x)的定义域是的定义域是(1,3).解：解：f(x)的定义域为的定义域为(0,1)，02x11，若本例若本例(2)中交换中交换f(2x1)与与f(x)的位置，结论如何？的位置，结论如何？x0.即即f(2x1)的定义域为的定义域为x| x0.函数值域的求法函数值域的求法1.配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的值域，其关键在于正确化成完全平方式值域，其关键在于正确化成完全平方式.2.换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确

6、定的另一函数，从而求得原函数的值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如形如yaxb(a，b，c，d均为常数且均为常数且ac0)的函数常用此的函数常用此法求解法求解.3.不等式法：借助于基本不等式不等式法：借助于基本不等式ab2(a0，b0)求数求数的值域的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”.4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域，常用到函数性求函数的值域，常用到函数yx(p0)的单调性：的单调性：增区间为增

7、区间为(，和和)，减区间为，减区间为(,0)和和(0，).特别警示特别警示(1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量量x是否属于是否属于r.(2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键.分段函数的值域应分段分析，再取并集分段函数的值域应分段分析，再取并集.(3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先

8、确定其定义不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义域，这是求值域的重要环节域，这是求值域的重要环节.求下列函数的值域求下列函数的值域.(1)y；(2)y2x；(3)yx.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)y1，又又x211，01.011，即函数即函数y的值域为的值域为0,1).(2)设设t，则，则x.y1t2t(t)2.二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为t，在在0，)上上y(t)2的最大值为的最大值为，无，无最小值，最小值，其值域为其值域为(，.(3)函数函数yx是定义域为是定义域为x|x0上的奇函数，故上的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论其图象关于原点对称，故只讨论x0时

9、，即可知时，即可知x0时时的最值和值域的最值和值域.当当x0时，时，yx24.当且仅当当且仅当x2时，等号成立，时，等号成立，当当x0时，时，y4.综上，函数的值域为综上，函数的值域为(，44，).如何求如何求y的值域？的值域？解：解：表示点（表示点（x，0）到点（）到点（0，-1）的距离；）的距离；表示点（表示点（x，0）到点（到点（2，2）的距离，）的距离，故故故值域为故值域为1.对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域上用相应方法求函数值域上用相应方法求函数值域.2.若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影若函数解析式中含有

10、参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论响，即要考虑分类讨论.3.可借助函数图象确定函数的值域或最值可借助函数图象确定函数的值域或最值.设函数设函数f(x)，g(x)f(x)ax，x1,3，其中，其中ar，记函数，记函数g(x)的最大值与最小值的差的最大值与最小值的差为为h(a).(1)求函数求函数h(a)的解析式；的解析式；(2)画出函数画出函数yh(a)的图象并指出的图象并指出h(a)的最小值的最小值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)g(x)，当当a0时，函数时，函数g(x)是区间是区间1,3上的增函数，上的增函数，此时，此时，g(x)maxg(3)23a，g(x)ming

11、(1)1a，所以，所以h(a)12a；当当a1时，函数时，函数g(x)是区间是区间1,3上的减函数，上的减函数，此时，此时，g(x)ming(3)23a，g(x)maxg(1)1a，所以，所以h(a)2a1；当当0a1时，若时，若x1,2，则，则g(x)1ax，有，有g(2)g(x)g(1)；若若x(2,3，则，则g(x)(1a)x1，有，有g(2)g(x)g(3)；因此，因此，g(x)ming(2)12a，而而g(3)g(1)(23a)(1a)12a，故当故当0a时，时，g(x)maxg(3)23a，有，有h(a)1a；当当a1时，时，g(x)maxg(1)1a，有，有h(a)a，综上所述：

12、综上所述：h(a)，(2)画出画出yh(a)的图象，如图所示的图象，如图所示.数形结合，可得数形结合，可得h(a)minh().数形结合的思想是每年高考的必考内容，数形结合的思想是每年高考的必考内容，09年宁夏、年宁夏、海南高考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合，海南高考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合，综合考查了考生对函数图象以及数形结合思想的理解和综合考查了考生对函数图象以及数形结合思想的理解和应用，很好的考查了考生综合分析问题、解决问题的能应用，很好的考查了考生综合分析问题、解决问题的能力，这是一个高考命题的新方向力，这是一个高考命题的新方向.考题印证考题印证(2009宁夏

13、、海南高考宁夏、海南高考)用用mina，b，c表示表示a、b、c三个三个数中的最小值数中的最小值.设设f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则，则f(x)的的最大值为最大值为()a.4b.5c.6d.7【解析解析】f(x)min2x，x2,10 x(x0)的图象如图的图象如图.令令x210 x，x4.当当x4时，时，f(x)取最大值，取最大值，f(4)426.【答案答案】c自主体验自主体验已知已知f(x)(x|x|)，g(x)函数函数fg(x)，值域为，值域为.解析：解析：当当x0时，时，g(x)x2，故故fg(x)f(x2)(x2|x2|)(x2x2)x2；当当x0时，时，g(x)x，

14、故故fg(x)f(x)(x|x|)(xx)0.fg(x)由于当由于当x0时，时，x20，故，故fg(x)的值域为的值域为0，).答案：答案：1.函数函数yx的定义域为的定义域为()a.x|x0b.x|x1c.x|x10d.x|0 x1解析：解析：或或x0.答案：答案：c2.若函数若函数yf(x)的定义域是的定义域是0,2，则函数，则函数g(x)的的定义域是定义域是()a.0,1b.0,1)c.0,1)(1,4d.(0,1)解析：解析：要使要使g(x)有意义，则有意义，则解得解得0 x1，故，故定义域为定义域为0,1).答案：答案：b3.函数函数ylog2xlogx(2x)的值域为的值域为()a

15、.(，1b.3，)c.1,3d.(，13，)解析：解析：ylog2xlogx21，log2xlogx22或或log2xlogx22，从而从而y3或或y1.答案：答案：d4.定义：区间定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为的长度为x2x1.已知函数已知函数y 2|x|的定义域为的定义域为a，b，值域为，值域为1,2，则区间，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为的长度的最大值与最小值的差为.解析：解析：a，b的长度取得最大值时的长度取得最大值时a，b1,1，区间，区间a，b的长度取得最小值时的长度取得最小值时a，b可取可取0,1或或1,0，因，因此区间此区间a，b的长度的最大值与最小值的差为的长度的最大值与最小值的差为1.答案：答案：15.设设o为坐标原点，给定一个定点为坐标原点，给定一个定点a(4,3)，而点，而点b(x,0)在在 x轴的正半轴上移动，轴的正半轴上移动，l(x)表示表示ab的长，则函数的长，则函数的值域为的值域为.解析：解析：依题意有依题意有x0，l(x)，所以所以y，由于由于125()2，所以所以，故故0y，即函数，即函数y的值域是的值域是(0，.答案：答案：(0，6.求下列关于求下列关于x的函数的定义域和值域：的函数的定义域和值域：(1)y；(2)ylog2(x22x)；(3)ye(4)x012345y234567解：解：(1)要使函数有意义，则要使函数有