目标规划的图解法

1、. 由于目标规划是在线性规划的基础上建立，并弥由于目标规划是在线性规划的基础上建立，并弥补了部分不足所以两种规划模型结构没有本质区别，补了部分不足所以两种规划模型结构没有本质区别，解法也非常类似解法也非常类似形式上的区别形式上的区别主要在于：主要在于：线性规线性规划只能处理一个目标，而目标规划能统筹兼顾地处理划只能处理一个目标，而目标规划能统筹兼顾地处理关系，以求得切合实际需求的解；关系，以求得切合实际需求的解；线性规线性规划是求满足所有约束条件的最优解，而目标规划是要划是求满足所有约束条件的最优解，而目标规划是要在多个目标或约束条件下找到在多个目标或约束条件下找到；线线性规划的约束条件是不分

2、主次地同等对待，而目标规性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际需要划可根据实际需要 . 线性规划是在可行解域内寻找某一点，线性规划是在可行解域内寻找某一点，使单个目标达到最优值（最大值或最小值）而目标规使单个目标达到最优值（最大值或最小值）而目标规划是在可行域内，首先划是在可行域内，首先寻找到一个使寻找到一个使P1级目标均满足的级目标均满足的区域区域R1，然后，然后R1中中寻找一个使寻找一个使P2级目标级目标均满足或均满足或尽尽最大可能满足的区域最大可能满足的区域R2（ R1），再在，再在R2中寻找一个满中寻找一个满足足P3的各目标的区域的各目标的区域R3（ R2 R1），

3、），,如此下去，直到如此下去，直到寻找到一个区域寻找到一个区域Rk( Rk-1 R1)，满足，满足Pk级的各目标级的各目标，这个这个，如果，如果，它只能满足，它只能满足P1,，Pi 级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许有低于有低于Pi级目标被满足，这纯属巧合级目标被满足，这纯属巧合 .类似类似 根据决策变量（当然不能多于根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、个）绘画所有（软、硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的方法加以考虑方法加以考虑 重复第重复第3、4步过程，直到解区域步过

4、程，直到解区域Ri 减少到一点或满减少到一点或满 足足了所有了所有k个级别的目标为止，此时，个级别的目标为止，此时，Rk 即为这个目标规划的最即为这个目标规划的最优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解 对对P1级的各目标，确定解区域级的各目标，确定解区域R1对下一个优先级别对下一个优先级别Pi 级各目标，确定它的最优解空间级各目标，确定它的最优解空间Ri ，但必须是，但必须是Ri Ri-1 ( i=2,3,) 在这个过程中，如果某解区域在这个过程中，如果某解区域Ri 减小到一点，则减小到一点，则 可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能可结

5、束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能. 求解下面目标规划求解下面目标规划: 112233121121121222Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ZPdP dPdxxlxxddlxxdd31233412 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iilxxddlx xddi将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变量（即量（即 ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后，），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后，在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变

6、量增大时直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）如图直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）如图3-2 xx ,.1d2d3dl1l2l3l4oABCDEFx1x2图图3-2 图解法示意图图解法示意图112233121121121222Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ZPdP dPdxxlxxddlxxdd31233412 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iilxxddlx xddi. 这个区域内的任一点均是该问题的满意解，这个区域内的任一点均是该问题的满意解，可使目标函数可使目标函数 zmin 由于由于C、D、E、F 坐标分别为坐标分别为(

7、6, 3)、(9, 0)、(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：故满意解可表示为：).,.( ).,.(),(),(),(),(xx其中：其中：),(,ii 这种满足所有目标要求的情况，即：这种满足所有目标要求的情况，即： ，在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前面几级目标要求面几级目标要求 0minz. 用图解法求解下面目标规划问题：用图解法求解下面目标规划问题：11223312111122221233Min 10 ( )2 26 ( ) 2 6 ZPdPdPdxxddlxxddlxxdd312 ( ),0,0,(1,2,3

8、)iilx xddi作图作图3-3： .l1x1x2o1d2d3dl2l3(10, 0) 图图3-3 图解法示意图图解法示意图AB考虑考虑P2 级目标，由于直线级目标，由于直线 l2 与与R1不相不相交，所以在交，所以在R1 内无法使内无法使 因此因此在不退化在不退化P1 级目标时，不可能使级目标时，不可能使P2 级级目标完全满足这样目标完全满足这样R2 就缩为一点，就缩为一点，因为在因为在R1中，使中，使 达到最小的为达到最小的为A点，点，所以：所以：x* = (10 ,0), 02ddd11223312111122221233Min 10 ( )2 26 ( ) 2 6 ZPdPdPdxx

9、ddlxxddlxxdd312 ( ),0,0,(1,2,3)iilx xddi.由于由于R2仅含有一个点，所以对仅含有一个点，所以对P3级目标，我们已级目标，我们已经无法进一步的选择与考虑，可求得经无法进一步的选择与考虑，可求得 ，即目标函数为：即目标函数为：dPPzmin 此例中，之所以产生解域此例中，之所以产生解域R2退缩为一个点，退缩为一个点，从而无法使从而无法使P2，P3级目标达成，是因为级目标达成，是因为P2级目标级目标的期望值定得过高如果将它的目标值从的期望值定得过高如果将它的目标值从26降到降到14，则可考虑到，则可考虑到P3级目标，见图级目标，见图3-4. 满足满足P1、P2

10、级目标的可行解域为级目标的可行解域为R2，l1x1x2o1d2d3dl2l3(10, 0)使使P1,P2,P3级目标完全满足，这时问题的满意解不唯一一级目标完全满足，这时问题的满意解不唯一一般地，目标要求确定得越低，可供选择的解越多，目标定般地，目标要求确定得越低，可供选择的解越多，目标定得太高，满意解的选择余地也越小，甚至一些低级别的目得太高，满意解的选择余地也越小，甚至一些低级别的目标无法实现标无法实现进一步考察进一步考察P3级目级目 标可得最优解区域标可得最优解区域R3，对该区域中任意一点，均同时能对该区域中任意一点，均同时能图图3-4.4 , 3 , 2 , 1, 0,30245040

11、)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPzii满足约束条件：目标函数： 求解下面目标规划求解下面目标规划: .用图解法求解，见图4.2。4 , 3 , 2 , 1, 0,30245040)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPzii.从图4.2中看到 在考虑具有P1、P2的目标实现后，x1、x2的取值范围为ABCD。考虑P3的目标要求时，因d3的权系数大于d4，故先考虑min d3；这时x1、x2的取值范围缩小为ABEF区域。然后考虑d4。在ABEF中无法

12、满足d4=0，因此只能在ABEF中取一点，使d4尽可能小，这就是E点。故E点为满意解。其坐标为(24，26)，.在目标规划中，考虑低级别目标时，不能在目标规划中，考虑低级别目标时，不能破坏已经满足的高级别目标，这是基本原则但它并不破坏已经满足的高级别目标，这是基本原则但它并不是说，当某一高级别目标不可能满足时，其后的低级别是说，当某一高级别目标不可能满足时，其后的低级别目标就一定不能满足而是在有些目标规划中，当某一目标就一定不能满足而是在有些目标规划中，当某一优先级的目标不能优先级的目标不能满足时，其后的某满足时，其后的某些低级别目标仍可些低级别目标仍可能被满足能被满足#.例例3.5 用图解法

13、求解目标规划用图解法求解目标规划)3()()(min323322111ddpddpddpf)3 , 2 , 1(0,40603750251521332122211121iddxxddxxddxxddxxii S , t(利润利润)(装配装配)(检验检验).X2X1102030400102030405060750251521xxAB1d1dFE2d2d60321xxCG3d3d4021 xxHIDP1级目标：级目标： 线段线段AB：P1P2级目标：级目标： 线段线段 HI：故故I点为最优解。点为最优解。P1P2+P3级目标：级目标：H点：点：(25,15)3230min.10pfdI点：点：(37.5,7.5)335min. 5pfdI)3 ()()(min323322111ddpddpddpf) 3 , 2 , 1( 0,40603750251521332122211121iddxxddxxddxxddxxii.210100012100180512 30032 )(min 21422213112