大学数学：第7章 微分方程组与微分方程习题课

1、一、微分方程组与高阶微分方程一、微分方程组与高阶微分方程1.微分方程组与高阶微分方程的相互转化微分方程组与高阶微分方程的相互转化一阶微分方程组一阶微分方程组的一般形式的一般形式：向量形式向量形式 1112221212,nnnnndxft x xxdtdxft x xxdtdxft x xxdt , ( )dxf t x tdt 通过引入通过引入n-1个新的未知变量，可以把个新的未知变量，可以把n阶微分方程阶微分方程化为化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组：个由一阶微分方程组成的微分方程组：,2322dd ydxxyyd12,yyddx 111nnnnyyddydxdx 1,yy 11, ,n

2、nnnd ydydyfx ydxdxdx 1223112 ,nnnnyyyyyyddxddxddxdfyyxyxyd (2) 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理在闭域在闭域上连续，且满足上连续，且满足Lipschitz条件：条件：则初值问题则初值问题(1)(2)在下属区间上存在唯一的解：在下属区间上存在唯一的解： 00, ( )(1)( ) (2)dxf t x tdtx tx ,f t x 00( , )|,nGt xtta xxbRR 1212()()f t,xf t,xL xx*1 max( , ) , min, 0min,令令GbMf t xhahhML *0tthP281定理定理1

3、.1二、线性微分方程组的理论二、线性微分方程组的理论1. 线性微分方程组的向量形式线性微分方程组的向量形式 （齐次的和非齐次的）（齐次的和非齐次的）( )( ) (1)dxA t xf tdt ( ) , (2)dxA t xdt( )( ),ijn nA ta t其中12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t( )( )A tf tatb 这里和在上连续。这里和在上连续。特别地，特别地，齐次齐次线性微分方程组的线性微分方程组的n个特解的线性无关个特解的线性无关的充要条件是这的充要条件是这n个解的个解的Wronski行列式在行列式在t0处处的值不

4、等于的值不等于0，即，即W(t0) 02. n维向量值函数的线性相关与线性无关维向量值函数的线性相关与线性无关3. 齐次齐次线性微分方程组的基本解组、基解矩阵和通解线性微分方程组的基本解组、基解矩阵和通解( )X t C 基解矩阵基解矩阵-以基本解组为列构成的矩阵以基本解组为列构成的矩阵.12( )( )( )( )nX tx t x txt 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt 基本解组基本解组:12( ),( ),( )nx tx txt齐次线性微分方程的n个线性无关解齐次线性微分方程的n个线性无关解

5、齐次线性微分方程的通解齐次线性微分方程的通解1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt注意注意:基解矩阵的性质基解矩阵的性质这里这里C是任意常数列向量是任意常数列向量.4. 非齐次非齐次线性微分方程组解的结构及求解线性微分方程组解的结构及求解（1 ）非齐线非齐线性微分方程组解的性质性微分方程组解的性质（2 ）非齐次非齐次线性微分方程组的线性微分方程组的通解结构通解结构*( )( )( )x tX t Cx t 0*-10( )( )( ) ( ),ttx tX tXfdt tI其中其中0*( )() ( )ttx tX tfd 常系数常系数非齐线非齐线性微分方程组的

6、一个特解性微分方程组的一个特解(0)XE 当时当时5. 常系数常系数齐次齐次线性微分方程组的求解线性微分方程组的求解的求解步骤：的求解步骤：( )( )3dx tAx tdt （ ）（ ）det()0,AE (1) 写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程det()0,EA 或或求出特征值求出特征值.(2) 代入特征值代入特征值 i,作矩阵作矩阵A- iE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值 i的特征向量的特征向量(3) 代入特征值代入特征值 i,作矩阵作矩阵A- iE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值 i的特征向量的特征向量12,n 互不相

7、同互不相同12,nr rr 线性无关线性无关1212( ),ntttnX ter erert (i)(ii)121112121,knnkknrrrrrr1122121112121( ), kkkttttttnnkknX terererererert 12,k 相应重数满足相应重数满足12knnnn(iii)应用公式计算应用公式计算120121( )()1!2!(1)!iiintnitttx trrrren 1()1,2,.,1jijirAE rjn 其中其中 若属于若属于 i的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni0()0inirAEr 为代数方程的一个特解为代数方程的一个特解()in

8、iiAErn 注意有 个线性无关的特解。注意有 个线性无关的特解。6.常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程组的求解线性微分方程组的求解常系数非齐线性微分方程组常系数非齐线性微分方程组( )( )( )4dx tAx tf tdt （ ）（ ）x 满足初始条件 (0)= 的解满足初始条件 (0)= 的解0( )( )() ( )ttx tX t CX tfd 的通解的通解00( )()() ( ).ttx tX ttXtfd ( )( ) (0)dxX tA t xXEdt 其中是满足条件的基解矩阵。其中是满足条件的基解矩阵。123213312dxxxdtdxxxdtdxxxdt 1.1.求下列

9、常系数齐次线性微分方程组的通解：求下列常系数齐次线性微分方程组的通解：解解011101 ,110A 方程组系数矩阵其特征方程为方程组系数矩阵其特征方程为 2det12,AE 1212 二重 ，二重 ，123xxxx 011101110A dxAxdt 故特征值故特征值111101011 其对应的特征向量为及，其对应的特征向量为及， 22200ttttttteeeX teeee 故所求方程组的通解为故所求方程组的通解为 2122230,0ttttttteeeCx tX t CeeCeeC 123.CCCC 其中为任意常数其中为任意常数故基解矩阵为故基解矩阵为1122122434ttdxxxedt

10、dxxxedt 2.2.求出下列常系数齐次线性微分方程组通解：求出下列常系数齐次线性微分方程组通解： 12,43det1380,AAE 方程组的系数矩阵其对应的特征方程方程组的系数矩阵其对应的特征方程解解12111512 解得对应的特征值，及特征向量，解得对应的特征值，及特征向量，故齐次方程组的基解矩阵为故齐次方程组的基解矩阵为1243A 12xxx dxAxfdt 4ttefe 5152tttteextee 11111330,02133xEx 而故将代入，得而故将代入，得 111111000tx txt xCxtxfd 51521123312122233ttttttCeeeCtee 三三.

11、高阶线性微分方程高阶线性微分方程(1) 化为线性方程组化为线性方程组(1)123,:,:,:.:nnxx xxxxxx ( )( ) (1)dxA t xf tdt 12101000010( )0001( )( )( )( )nnnA ta tatata t ( ) (2)dxA t xdt 111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)000( )ff t 12( )( )( )( )nxtxtx txt 所有关于所有关于微分方程微分方程组的相关组的相关结论都可结论都可平行推论平行推论到到

12、n阶线阶线性微分方性微分方程上程上111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)( )( ) (1)dxA t xf tdt 21( )(,( ),)( )Tnx txtxxtt 若求得若求得 的解的解 (1)1()(xx tt 就是方程（就是方程（1）的解）的解( )x t若求得了（若求得了（1）的解）的解(1)( )(, ( ),()nTx tx txtx t 就是方程就是方程 的解的解 (1)对（对（2）和）和 也有类似的关系也有类似的关系(2)( ) (2)dxA t xdt 111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)121

13、2(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )det( )( )( )nnnnnnx tx txtxtxtxtW txtxtxt 12( ),( ),( )nx tx txt线性微分方程(2)的n个解线性微分方程(2)的n个解线线齐齐性相关性相关次次00 , ( )0ta bW tWronskyWronsky行列式行列式(2) 解的结构解的结构12( ),( ),( )nx tx txtn如果是 阶微分方程如果是 阶微分方程111( )( )0(2)nnnnnd xdxa tat xdtdt ;( )(1,2, ),ina tinatb个线性无关解 其中是上个线性无关解 其

14、中是上连续函数连续函数n n阶阶齐次齐次线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构( )x t则它的任一解可表为则它的任一解可表为1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt12,.nc cc这里是相应确定的常数这里是相应确定的常数基本解组基本解组:12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的n个线性无关解的n个线性无关解为为(2)的一个基本解组的一个基本解组.*( )(1),(1)( )x tx t设是的任意的特解 则的通解可表为设是的任意的特解 则的通解可表为*1122( )( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xtx t12( )

15、,( ),( )nx tx txt其中：其中：为为(2)的一个基本解组的一个基本解组.12n12nc ,c , cc ,c , c 是任意常数.是任意常数.n n阶阶非齐次非齐次线性微分方程通解的结构线性微分方程通解的结构（3）常系数常系数齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解1110nnnnnd xdxaa xdtdt 1110:nnnnnd xdxaa xdtdt 求的通解的步骤求的通解的步骤1212112121.(3):0(4)2.(2),)3.,nnnnnnnaaaa 写出的特征方程写出的特征方程求出的特征根（，求出的特征根（，根据特征根的情况 写出对应特征根的根据特征根的情况

16、写出对应特征根的线性无关的特解(见表格），线性无关的特解(见表格）， 再作这些特解的线性组合即得通解。再作这些特解的线性组合即得通解。常系数常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程特征方程的根特征方程的根微分方程通解的对应项微分方程通解的对应项一个单实根一个单实根对应一项对应一项一个一个k阶重根阶重根对应对应k项项一对单复根一对单复根对应两项对应两项一对一对k阶复根阶复根对应对应2k项项iitce112tkkecc tc t12cossintectct111121121222cos sintkkkkecc tc ttcc tc tt各种类型特征根在通解中所对应项列表各种类型特征根在通解中所对应项

17、列表121121212121,212)()(cossin)ttttixc ec eiixcc t eiiiiyectct :求其通解的步骤如下求其通解的步骤如下212121.(5):0(6)2.(6),3.,aa 写出的特征方程写出的特征方程求出的特征根求出的特征根根据特征根的情况 通解分为三种情况根据特征根的情况 通解分为三种情况120(5)xa xa x 特别，对特别，对 f t 的类型的类型 mt 次次多多项项式式 tt e cossinttt evtt evt 或或 *xt使用待定系数法应设置的待解的形式使用待定系数法应设置的待解的形式 *xZ t 0 0不是特征根与 同次数的多项式不

18、是特征根与 同次数的多项式k0 0是 重特征根是 重特征根 *kxt Z t 不是特征根不是特征根 *txZ t e iv 不是特征根不是特征根 *12cossintxeZtvtZtvt k 是 重特征根是 重特征根 *ktxt Z t e 2ivknk 是 重特征根是 重特征根1 1 *1212cossinktxt eZtvtZtvtZZ 与均为与 同次数的多项式与均为与 同次数的多项式 *( )f txt针对自由项的常见类型设置特解形式列表针对自由项的常见类型设置特解形式列表（4）常系数常系数非非齐次线性微分方程的求解齐次线性微分方程的求解:1.2.3.4.基基本本方方法法降降阶阶法法代代

19、数数的的方方法法变变量量代代换换法法（通通过过代代换换把把方方程程化化为为常常系系数数线线性性方方程程）常常数数变变易易法法振振动动方方程程速速度度有有关关与与加加速速度度几几何何问问题题应应用用：)3(,)2()1(?)()()( )1(的的通通解解结结构构什什么么方方程程xfyxqyxpy *1122*( ),( )( )( )yxy xc yxc yxyyy 答答：设设是是该该方方程程的的一一个个特特解解是是对对应应于于该该方方程程的的齐齐次次方方程程的的通通解解是是该该方方程程的的通通解解22sin?)2(xyyxyyeyyxyyx 式式是是什什么么指指出出下下列列方方程程的的特特解解

20、形形)(*bxaxy xbey2* )sincos(*xbay )(2210*xbxbbxy ？的的一一个个特特解解如如何何求求方方程程 yxexyyxsin)3(2的的特特解解。是是，则则和和、的的特特解解；答答：分分别别求求出出xexyyyyyyyyyxyyeyyxyyxxsinsin23213212 123(4),( ) ( )( )( ) ( )0yyyyp x yq x yf xyp x yq x y 设设的的函函数数均均是是非非齐齐次次方方程程的的解解，则则与与该该方方程程对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解线线性性无无关关是是什什么么？)()(322311yycyycy 齐齐

21、次次方方程程的的通通解解是是：)()()()()()1(3323133223113212211是是方方程程的的通通解解。是是非非齐齐次次方方程程的的特特解解，线线性性无无关关的的解解，又又是是对对应应齐齐次次方方程程的的两两个个、dyyyyyyyycyycyccycyc :,)()()( ,)5(21321的的通通解解是是是是任任意意常常数数，则则该该方方程程的的解解，均均是是设设线线性性无无关关的的函函数数ccxfyxqyxpyyyy 32122113212211321221132211)1 ()()1 ()()()()(yccycycdyccycyccyccycycbyycyca ( )(

22、 )0(1)yP x yQ x y的一个非零特解，的一个非零特解，是方程是方程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即证明证明:解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy的一阶方程的一阶方程 v000(7)( ) 2 40()

23、0()0,( )yf xyyyf xfxf xxabcd 设设是是方方程程的的一一个个解解，若若，且且则则函函数数在在点点（ ）取取得得极极大大值值（取取得得极极小小值值（某某个个领领域域内内单单调调增增加加（某某个个领领域域内内单单调调减减少少。的的极极大大点点。是是故故又又为为驻驻点点答答：)(, 0)(4)( , 0)(, 0)(4)( 2)( ,0)( 000000000 xfxxxfxfxfxfxfxfxxxf 微微分分方方程程。性性齐齐次次为为特特解解的的四四阶阶常常系系数数线线）试试确确定定以以（程程。常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方为为特特解解的的二二阶阶）试试确确定定

24、以以（xyxyxeyeyxyxx2sin,2cos2,22sin14321 线线性性齐齐次次方方程程。由由特特征征方方程程导导出出常常系系数数；由由特特征征根根导导出出特特征征方方程程由由特特解解确确定定出出特特征征根根；题题的的方方法法是是：的的反反问问题题。求求解解这这类类问问线线性性齐齐次次微微分分方方程程分分析析：这这是是求求解解常常系系数数)iiiiii例例1048 5 2)048520)2)(2()1)(22sin,2cos2)(1,)2()4(23424,3432,121 yyyyyiiirrrririrriiirxyxyrxeyeyixx所所求求齐齐次次线线性性方方程程：即即知

25、知，由由特特解解二二重重根根知知由由特特解解04 )040)2)(2()22)1221 yyiiiriririiiriri所所求求齐齐次次线线性性方方程程：即即，特特征征方方程程为为特特征征根根为为）（解解43 sin,()0,()122yyxyy 求在上满足的特解自由项是分段函数，要分段求解，自由项是分段函数，要分段求解，然后在然后在x00出保证函数的连续性和可导性出保证函数的连续性和可导性121234sin0,sin,0cocoss2sin 2sin0,cos2sin 2sin,0sinyxyxCxCxyAxxyCBxCxxx 设）43 sinyyx解：3sin043 sin3sin0 x

26、xyyxxx1cos2sin2sin0, 21cos2sin2sin,02xxxyxxx 所以所以）341,201CCyx由 在处连续，可导121()0,()11,222yyCC 由12cos2sin2YCxCx，.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例2 2解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxx （）原方程为（）原方程为.

27、313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221, 1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy ).(,)sin()(22222ufzeyzxzyefzufxx求求满满足足方方程程具具有有二二阶阶连连续续导导数数，而而设设函函数数 例例3)sin( cos)sin( sin)sin( sin)sin( sincos)sin( sin)sin( 2222yeyfeyeyfezyeyfeyeyfezyeyefzyeyefzxxxxyy

28、xxxxxxxxyxxx ,)sin( 2222222fezeyefeyzxzxxxx 解解uuececufufuf 21)()()( 即，即，2202211011, 0,1:)21(11)2()22()1(2xeycycxecyxeepcyxecedxexcepxpdxdppyxxxxxxxxxdx 特特解解代代入入得得由由通通解解，代代入入得得，由由令令1, 1)1(2. 100 xxyyxyy解法解法1212221221*011011*10*21010*2120121)0(0, 1222222)(1, 00 xeyccxecyccxeccyxxybbxxbbbbyxbbyxbxbxbbx

29、yeccYrrrrxxxx ，代入初始条件得，代入初始条件得，通解通解令令解法解法2xxyy2coscos. 2 xxxxxxxfxcxcYirrcos213cos21cos3cos212coscos)(sincos01212 xxbxaxbxaxbxayxbxayxbxayxxf3cos21sin3cos3sin93cos9)3sin93cos9()3cos33sin3()3sin3cos(3cos21)(*1*1*11 令令对对于于解解)sin41(41, 00212*2xxybaab )sincos(cos)sin(cossin )cossin(sincos)sincos(,cos21)

30、(*2*2*22xbaxxbxaxbxayxbxaxxbxayxbxaxyxxf 令令对对于于xxbxaxxaxbxbaxxaxbcos21)sincos()sincos(2)sincos()sincos(2 xyab3cos161161, 0*1 xxxysin413cos161* xxxxcxcyYysin413cos161sincos21* *( cos2sin22 sin22 cos2 )( cos2sin22 sin22 cos22 sin22 cos24 cos24 sin2 )(43 )cos2( 43 ) ins 2xxxax bxaxbx ee ax bxaxbxaxbxax

31、yybxebaxabx xeyyyx2sin582. 3 解解224122802,4xxyc ec e *( cos2sin2 )xyeaxbx令令(43 )cos2( 43 )sin 2(2 )cos2(2 )sin2 8( cos2sin2 )5sinxxxxebaxabxeabxbaxeaxbxex 432(2 ) 80432(2 ) 851300513513baabaabbabaabb *24125(sin2 ),135 sin213xxxxyexyc ec exe xyxyln122.4 3ln6)3ln6(1)6ln6(1)ln12(1)ln12(ln122212212212121

32、22 xxcxxxcxxdxxxcxxdxxcxexxcePxxPxPyPdxdxxx令令解法解法12116ln636ln63cxxxxxcdxxxxxcy 3ln621 xxcy222212 212 lnln1,2,01200,1tttx yxyxxxetxabcd ydytedtdtycc e 令令解法解法2*01()tybb t e令令*01*011*011101101101110*()()()(2)()1223021269( 96 )tttttttybb t eye bb tbye bbb tbe bbb te bbb ttebbbbbyt e 令令1212( 96 )1 96lnttxycc et eccxex