平面向量的基本定理及表示

1、思考思考: 给定平面内两个向量给定平面内两个向量 向量向量(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用同一平面内的任一向量是否都可以用形如形如 的向量表示？的向量表示？,21ee.2,232121eeee 2211ee 请你作出请你作出将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2e将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2eO将三个

2、向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2eaOC将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2ea1eOAC将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2ea1e2eOABC将三个向量的起点移到同一点：将

3、三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCM将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCMN将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：ONOMa 显然：显然：系呢？系呢？们之间会有怎样的关们之间会有怎样的关它它、共线向量共线向量观察如图三个不观察如图三个不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCMN.

4、 , ,2211221121eeaeONeOM 故故，使得：，使得：，实数实数存在唯一的一对存在唯一的一对根据向量共线的条件根据向量共线的条件归纳：归纳：a1e2eOABCMN想一想：想一想：？来表示呢来表示呢量都可以用量都可以用是否平面内任意一个向是否平面内任意一个向后，后，确定一对不共线向量确定一对不共线向量 221121eeee . 02121即即可可使使结结论论成成立立为为或或共共线线时时，可可令令或或与与当当 eea讨论：讨论：a1e2ea1e2e？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a讨论：讨论：a1e2eOABCa1e2eA

5、OCB？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a讨论：讨论：a1e2eOABCa1e2e2eAOCBB？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a讨论：讨论：a1e2eOABCa1e2e2eAOCBBNM？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a讨论：讨论：a1e2eOABA1eCa1e2e2eAOCBBNM？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 aa1e2ea1e2eO2eAOCB

6、BNMCABA1eN讨论：讨论：M？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBC讨论：讨论：？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBAC1e讨论：讨论：？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBBAC1e2e讨论：讨论：？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBBACNM1e2e讨论：讨论：？形形又又该该如如何何构构成成平平行

7、行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBC2e讨论：讨论：1e？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBCCa2e讨论：讨论：1e？形形又又该该如如何何构构成成平平行行四四边边的的位位置置，如如下下图图，继继续续旋旋转转 a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBCNMCa2e讨论：讨论：1e平面向量基本定理：平面向量基本定理：. 21所所有有向向量量的的一一组组叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内，其其中中ee基基底底. , , 2211

8、2121eeaaee 使使有有且且只只有有一一对对实实数数意意一一个个向向量量一一平平面面内内任任共共线线的的向向量量，那那么么对对这这是是同同一一平平面面内内两两个个不不如如果果问题一：问题一：是是不不是是唯唯一一的的呢呢？，基基底底中中，在在刚刚才才我我们们总总结结的的定定理理 21ee 基底不共线也不唯一，任意基底不共线也不唯一，任意两个不共线的向量均可作基底两个不共线的向量均可作基底 给定基底后，任意一个向量的给定基底后，任意一个向量的表示是唯一的表示是唯一的问题二：问题二：？的的表表示示是是不不是是唯唯一一的的呢呢向向量量之之后后，任任意意一一个个，给给定定基基底底 21aee. 3

9、2 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：12e . 1例例定理的应用：定理的应用：. 32 , 2121e

10、eaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：23e12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如图图，1e2e解：解：23e12e a. 1例例. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共线线、如如图图 2.例OABP. , ),R( , ,OP

11、OBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共线线、如如图图 .例2OABP本本题题的的实实质质是是：. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且则则上上，在在直直线线若若点点三三点点不不共共线线，、已已知知本本题题的的实实质质是是：OABP. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共线线、如如图图 .例2向量的夹角向量的夹角:, ba、已知两个非零向量已知两个非零向量, aOA 作作, bOB 00 0180 ,AOB则（）的的、叫向量叫向量ba.夹角夹角;,0 o同向同向、当当ba ;,801 o反反向向、当当ba .,09 obaba 记记作

12、作垂垂直直与与当当 湖南省长沙市一中卫星远程学校精品ppt42 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量叫作把向量正交分解正交分解( ,),().,( ,) .(1,0),(0,1),00,0 x yaaxyxaxx yayaxyaij 我们把叫做向量 的坐标 记作，其中 叫做 在 轴上的坐标叫做 在 轴上的坐标叫做向量的坐标表示那么（）向量的坐标表示向量的坐标表示 .xyijaxyaxiy j 在平面坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，由平面向量基本定理可知，对任一向量 ，有且只有一对实数 、 使得平面向量的坐标表示

13、平面向量的坐标表示jia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示.OOAA 以原点 为起点的向量的坐标与点 的坐标相同）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐标表示平面向量的坐标表

14、示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 (2) BCBC 如图，平面内有 、 两点， 能否用坐标来表示向量呢？xO1231234CijaA4yB平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如图，平面内有 、 两点， 能否用坐标来表示向量呢？平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为

15、基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如图，平面内有 、 两点， 能否用坐标来表示向量呢？平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 44(21 )(42)(41)23BCOCOBijijijij （）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如图，平面内有 、 两点， 能否用坐标来表示向量呢？. 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示xO1231234CijaAB4y2,3BC 即：（）呢呢？量量能能否否用用坐坐标标来来表表示示向向点点，两两、如如图图，平平面面内内有有 )2(ABBA）（即即：3 , 2ajia32 44(