实验3--“微分方程”实验(共8页)

1、开课学院：数统学院 实验室：DS1402 实验时间 ：2015年4月3日课程名称数学实验实验项目名 称微分方程实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师 龚劬成 绩一、实验目的及意义1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建

2、立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验内容1 微分方程及方程组的解析求解法；2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4 利用图形对解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。三、实验步骤1开启软件平台MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2根据微分方程求解步骤编写M文件3保存文件并运行；4观察运行结果(数值或图形)；5根据观察到的结果和体会写出实验报告。四、实验要

3、求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1;程序：(1)dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')(2)function f=fun1(x,y)f=y+2*x;x,y=ode23('fun1',0,1,1)plot(x,y);xlabel('x');ylabel('y');hold on;ez

4、plot(-2*x-2+3*exp(x)结果：ans = -2*x-2+3*exp(x)x = 0 0.0800 0.1800 0.2800 0.3800 0.4800 0.5800 0.6800 0.7800 0.8800 0.9800 1.0000y = 1.0000 1.0899 1.2316 1.4094 1.6268 1.8881 2.1980 2.5615 2.9842 3.4725 4.03314.15463Rossler微分方程组：当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a(0,0.65)而方程解的变化情况function r=sy3d3(t,x)globa

5、l a; global b; global c;r(1,1)=-x(2)-x(3);r(2,1)=x(1)+a*x(2);r(3,1)=b+x(3)*(x(1)-c);endglobal a; global b; global c; b=2; c=4;for a=0:0.02:0.65 at,x=ode45('sy3d3',0,200,0,0,0); subplot(1,2,1); plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x(红色),y(绿色),z(篮色)随

6、 t 变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3); title('x,y,z三维曲线图')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend实验结果：分析：由图像可以看出随着a的值越来越大x y z的值随着t的增大越来越离散化。4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制程序：function a=apollo(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1)+u)2+x(3)2

7、);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);a(1,1)=x(2);a(2,1)=2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/r13-u*(x(1)-u1)/r23;a(3,1)=x(4);a(4,1)=-2*x(2)+x(3)-u1*x(3)/r13-u*x(3)/r23;endx0=1.2;0;0;-1.04935751;%x0(i)对应与xi的初值 options=odeset('reltol',1e-8);%精度要求为10-8t,y=ode45('apollo',0,20,x0,options); plot(y(:,1),y(:,3) ti

8、tle('Appollo卫星运动轨迹') xlabel('X') ylabel('Y') 运行结果：应用实验一、实验内容一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。二、问题分析考虑到盐在不同浓度的水内的扩散情况，由于容器体积为350L而纯水进入和混合盐水流出的速度都不足15L/s所以可以忽略盐在不同浓度的水内的扩散至均匀的时间。 计算每个微小时间变化后的盐的含量与变

9、化前盐的含量之间的关系，建立方程，然后利用MATLAB进行求解 三、数学模型的建立与求解(一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中)用y（t）表示容器内t时刻的盐的含量，用T（t）表示容器内t时刻的水的总量，用Y表示盐水流出的速度，用C代表纯水流入的速度，时间变化t后容器内盐的含量为y（t+t）。考虑在tD内流出的盐水的为Yt,则其流出的盐为y(t)/T(t)*Yt则可建模为:y（t+t）=y(t)-y(t)/T(t)*Yt取t趋近于0；得到微分方程：y(t)+dy=y(t)-y(t)*Y*dt/(T(t0)+(c-y)t)其中Y=10.5L/S C=14L/S T(t0)=350四、实验结果及分析 y = 7000000/(t + 100)3五、附录（程序等） y=dsolve('Dy=-10.5*y/(350+3.5*t)','y(0)=7')t=linspace(0,300,1000);y =7000000./(t+100).3;plot(t,y)title('盐的质量随时间的变化的函数');xlabel('x');ylabel('y')