82第二型曲线积分

1、1. 第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功8-2 第二型曲线积分第二型曲线积分设一质点受如下变力作用),(, ),(),(yxqyxpyxf在 xoy 平面内从点 a 沿光滑曲线弧 l 移动到点 b,求移动过程中变力所作的功w.ablxycos|abfw “分割” “近似代替”“求和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:abf abf1) “分割”.2) “近似代替”把l分成 n 个小弧段,iiiiiiyqxp),(),(所做的功为,iwf 沿iiaa1niiww1则有向小弧段iiaa1),(iiyx近似代替, ),(ii则有用有向线

2、段 iiaa1iiaa1上任取一点在iiiiiaafw1),(1kmkmabxyl),(iif1iaia1kmkmabxyl),(iifiyixiiaa1), 2 , 1(ni3) “求和”4) “取极限取极限”niw1iiiiiiyqxp),(),(niw10limiiiiiiy)q(x)p,(max1inis其中定义定义，yxa，yxayxaalljyxqiyxpyxfnnn),(),(),(.),(),(,111111000顺序用分点的方向按上有定义在向量函数)., 2 , 1(,1niaanlbyxaiinnn个有向小弧段分成将),(,max,111iiiiiniiiiaassaa上任

3、取一点在令的弧长记作niiiiiiiiiiiniyqxpaaf10110,),(lim),(lim若极限11(,)iiiiiixxxyyylii其中存在(不依赖于对曲线 的分割法及中间点(,)的取法),.,ababf x ylabpdxqdyf x ydr 则称此极限为向量函数沿曲线 从 到 的第二型曲线积分对坐标的 记作 或 ,drdx dyab其中有向线段称为积分路径.的一条有向分段光滑曲的一条有向分段光滑曲线线,到点到点是从点是从点设设bal.),(lim),(10iiniilxpdxyxpx的曲线积分对坐标对坐标对坐标y的曲线积分的曲线积分.),(lim),(10iiniilyqdyy

4、xq ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxqyxp.叫积分路径ab存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当lyxqyxp组合形式组合形式 llldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(.ldrf.,jdyidxdrjqipf其中推广推广l空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniilxpdxzyxplrdzqdypdx.),(lim),(10iiiniilyqdyzyxq.),(lim),(10iiiniilzrdzzyxr, , , , ,f x y zp x y zq x

5、 y zr x y z,drdx dy dz, ,lf x y z dr第二型曲线积分的第二型曲线积分的性质性质则和分成如果把,)2(21lll则方向相反的有向曲线弧是与是有向曲线弧设,) 3 (lll即即: 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分与与曲线的方向曲线的方向有关有关. 12121lllk f mk g mdrkf mdrkg mdr12,k k其中为任意常数.12.lllf m drf m drf m dr.llf mdrf mdr ),(),(),(m)fyxqyxpyxf指),(),(),(),(zyxrzyxqzyxpzyxf或).,(),(dzdydxrddydxrd或2.第二

6、型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算ldyyxqdxyxp),(),( ,ptttqtttdt=单当参数的参数方程为设曲线ttytxl),(),(定理定理1有连续)(),(tt,p x yq x yl若函数在曲线 上连续,则有,bal变到上的点由时变到调地由,的一阶导数证明证明: 下面先证lxyxpd),(tttpd )(),()(t根据定义lxyxpd),(niiiixp10),(lim的方向顺序用分点按lbaaaan ,10.l段任意分割成将n), 0(),(anttyxiiiii 对应参数设分点由拉格朗日定理，有,)()()(1iiiiitttx.1i之间与在其中iitt于是，有niii

7、ixp1),(,)()(),(1niiiiitp).(),(iiii其中)()(),(pl),(tttyxp上连续及在注意上的连续性，或在,，并令max1inis，max1init，并有时不难看出00niiiixp10),(lim,)()(),(lim10niiiiitp定义，上式即由曲线积分及定积分的.)()(),(),(dttttpdxyxpl.)()(),(),(dttttqdyyxql同理可证.)2 . 8(证毕式所要的将以上两式相加即得到，对应于参数值的起点其中曲线al对应于终点b.参数值.)(:) 1 (baxxgyl，终点为起点为.)()(,)(,dxxgxgxqxgxpqdyp

8、dxbal则.)(:)2(dcyyhxl，终点为起点为.),()(),(dyyyhqyhyyhpqdypdxdcl则如果如果lrdzqdypdx注注:第二型曲线积分与曲线给定的方向有关第二型曲线积分与曲线给定的方向有关,在化为在化为关于参数的定积分时关于参数的定积分时,定积分的下限和上限应分别定积分的下限和上限应分别对应于曲线的起点和终点对应于曲线的起点和终点,即即:下限不一定小于上限下限不一定小于上限.),(),(),(:)3(tzztyytxxl推广t ,q x t y t z ty t ,.r x ty tz tz tdt ,p x ty t z tx t例例1 1 计算曲线积分计算曲线

9、积分,)()(2222dyyxdxyxl:l为其中积分路径;) 1 (oab折线段;)2(ob直线段.a)3(bo半圆弧y)0 , 2(b) 1 , 1 (aox1解解的方程为直线段oa) 1 (),10(,xxy.dxdy 的方程为直线段ab.),21(,2dxdyxxydyyxdxyxl)()(2222dyyxdxyxoa)()(2222dyyxdxyxab)()(2222y)0 , 2(b) 1 , 1 (aox1dxxxxx)()(222102dxxxdxxx) 1()2()2(222212dxxdxx212102)2(22.343232的方程为直线段ob)2(, 0),20(, 0d

10、yxydyyxdxyxl)()(2222dxx202.31y)0 , 2(b) 1 , 1 (aox1的极坐标方程为半圆弧boa)3(),20(,cos2)(r其参数方程为)20(sincos2sin)(,cos2cos)(2ryrxdyyxdxyxoab)()(2222)sincos4()sincos4cos4(22022d)sin(cos2)sincos4cos4(22224d) 1cos2(cos8sincos16222023024|cos4d) 1cos4cos4(cos82420244 143443654 8.4yxo例例2. 计算,dd22yxxyxl其中l为(1) 抛物线 ; 1

11、0:,:2xxyl(2) 抛物线 ;10:,:2yyxl(3) 有向折线 .:aboal解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxoadd22102d)002(xxx1)0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxabdd2210d)102(yy11 例例2 2说明，对于有些第二型曲线积分，其积分值只与起点及终点有关，而说明，对于有些第二型曲线积分，其积分值只与起点及终点有关，而与积分路径的选取无关与积分路径的选取无关. .解解 c的参数方程为).20(sin,costtaytaxcy

12、xdyyxdxyxi,)()(22例例3 3 计算计算.).0(xc222按逆时针方向为圆周其中aay.20,20为上限为下限，所以应取按逆时针方向时，增至由当ctdtatatatatatatai202)cos)(sincos()sin)(sincos(20dt.2说明：当积分曲线为说明：当积分曲线为oxyoxy平面上的一条闭曲线时，平面上的一条闭曲线时，通常规定逆时针方向为闭曲线的正向通常规定逆时针方向为闭曲线的正向. .例例4 4 求空间第二型曲线积分求空间第二型曲线积分lzxdzyzdyxydxi,其中其中l l为椭圆周为椭圆周, 1, 122zyxyx积分方向如图所示积分方向如图所示解

13、解 l的参数方程为).20(,sincos1,sin,costttztytxdttttttttttttti)cos(sincos)sincos1 (cos)sincos1 (sin)sin(sincos20dttttttttt203222)coscoscossincossin2sincos3(202cos tdt202cos4tdt.曲线的切向量是曲线的切向量是 ,x ty tz t,drdx dy dz ,x ty tz tdt也是切向量也是切向量,且其方向与积分路径的方向一致且其方向与积分路径的方向一致,又又 的模正好是弧微分的模正好是弧微分dr 设设 的方向余弦为的方向余弦为drcos ,cos,coscos ,cos,cos,drdx dy dzdrds ds ds第一型与第二型曲第一型与第二型曲线积分之间的关系线积分之间的关系: :),(),(),(:tzztyytxxlt 设设.)()()(|222dsdzdydxrd即即:l空间曲线 上的两类曲线积分之间有如下联系llpdx+qdy+rdz= (pcos +qcos +rcos )ds, , , ,x y zx y zx y z其中.处的切向量的方向角cos,cos,cos.dxdsdydsdzds , ,x y z在点l为有向曲线弧对于平面曲线对于平面曲线:llpdx+q