GCT 数学 函数调性、凹凸性与极值

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 四、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性、函数的单调性、凹凸性与极值凹凸性与极值 利用导数研究函数利用导数研究函数 第三三章 二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 i 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(ixxf任取)(,2121xxixx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfx

2、f),(21xxi0故. )()(21xfxf这说明 在 i 内单调递增.)(xf在开区间 i 内可导,证毕目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32x

3、y 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明20 x时, 不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()

4、(x即),0(,0tan2xxx目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xoxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点

5、3x不是极值点2) 对常见函数, 函数极值的可能点集合为： 驻点，不可导点驻点，不可导点1) 函数的极值是函数的局部性质局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 ,1x为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点, 函数12xoy12目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停目录

6、上页 下页 返回 结束 例例3. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点， 其极大值为0)0(f是极小值点， 其极小值为52x33. 0)(52f目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x

7、,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)

8、0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1o目录 上页 下页 返回 结束 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf目录 上页 下页 返回

9、结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)目录 上页 下页 返回 结束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例5. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx1

10、21862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx412512xyo目录 上页 下页 返回 结束 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例6. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解: 售出 x 千件产品的利润为)()()(xcxrxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x问是否3)(xxc,1562xx ,9)(xxrxxx66

11、23,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. y)(xp22ox22)24(32xx414. 3222x目录 上页 下页 返回 结束 说明说明：在经济学中)(xc称为边际成本)(xr称为边际收入)(xp称为边际利润由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上, 0)( xp即边际收入边际成本（见右图）22yox22xxxxc156)(23成本函数xxr9)(收入函数)()(xcxr即收益最大亏损最大目录 上页 下页 返回 结束 ab定义定义2 . 设函数)(xf在区间 i 上连续 ,

12、21ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .四、曲线的凹凸与拐点四、曲线的凹凸与拐点yox2x1x221xx yox2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .yox拐点目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.(凹凸判定法)(xf(1) 在 i 内,0)( xf则 f (x) 在 i 内图形是凹的 ;(2) 在 i 内,0)( xf则 f (x) 在 i 内图形是凸的 .证证:,21ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf两

13、式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf说明 (1) 成立; (2) 设函数在区间i 上有二阶导数证毕,221xx 记)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf),(2)()(21fxfxf目录 上页 下页 返回 结束 xyo例例7. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 x

14、f或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .oxy凹凸目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例9. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(3

15、2),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyo目录 上页 下页 返回 结束 作作 业业第三节 p84页页 练习题练习题3.1 1, 2, 3.p87-88页页 练习题练习题3.2 1, 2, 3.p92-93页页 练习题练习题3.3 3.p103-104页页 综合习题三综合习题三 4, 6, 9.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别（条件是充要的）ixxf,0)()(xf在 i 上单调递增ixxf

16、,0)()(xf在 i 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别ixxf ,0)(上向上凹在曲线ixfy)(ixxf ,0)(+上向上凸在曲线ixfy)(拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结3. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 导数为0 或导数不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf定理3 注：当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .4. 连续函数的最值目录 上页 下页 返回 结束 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解解: )(xf由题意应有0)(32 f2a又 )(xf2233()2sinf 时取得极大值：在2)(axf3)(32f1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大即0121a目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(xfy 是方程042 yyy的