内力分析基本法-截面法

1、1内力分析的基本方法- -截面法一、内力的概念一、内力的概念 外力：外力：作用在杆件上的作用在杆件上的载荷载荷和和约束力约束力。 内力内力 ：杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻各部分杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻各部分相对位置发生变化，相连两部分之间的互相作用力。相对位置发生变化，相连两部分之间的互相作用力。二、截面法二、截面法1 1、截面法、截面法：是求内力的基本方法。：是求内力的基本方法。 截面法的步骤截面法的步骤： （1 1）截）截PPmmPmmPmm（2 2）取代）取代NN（3 3）平衡）平衡取左段为研究对象：取左段为研究对象：= 0 N= 0 NP = 0 P = 0 得

2、得 N = PN = P或取右段为研究对象：或取右段为研究对象：= 0 = 0 N+P = 0 N+P = 0 得得 N = PN = P21 1、拉、压杆的内力、拉、压杆的内力- -轴力轴力 定义：定义：通过截面形心，通过截面形心，沿着杆件轴线沿着杆件轴线的内力称为的内力称为轴力。用轴力。用N N表示。表示。 轴力的正负号规定：使轴力的正负号规定：使杆件产生拉伸变形为正；杆件产生拉伸变形为正；产生压缩变形为负。或轴力产生压缩变形为负。或轴力离开截面为正；指向离开截面为正；指向截面为负截面为负。PNPNPNPN拉力压力轴力的单位：轴力的单位：N 或或 kN三种主要内力三种主要内力3结构内力结构

3、内力1 1：平面桁架内力计算：平面桁架内力计算一、桁架的特点一、桁架的特点（1）结点都是铰结点；）结点都是铰结点；（2）各杆的轴线都是直线，且通过铰的中心；）各杆的轴线都是直线，且通过铰的中心；（3）荷载和支座反力都作用在结点上；）荷载和支座反力都作用在结点上；（4）各杆只有轴力；）各杆只有轴力；二、桁架的几何组成分类二、桁架的几何组成分类 （1 1）简单桁架；（）简单桁架；（2 2）联合桁架；（）联合桁架；（3 3）复杂）复杂桁架。桁架。4三、桁架杆件轴力的正负号规定三、桁架杆件轴力的正负号规定 桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时通常假设杆件

4、的未知轴力为拉力，若计算结果为正，通常假设杆件的未知轴力为拉力，若计算结果为正，说明杆件受拉，反之受压。说明杆件受拉，反之受压。桁架斜杆轴力的表示：桁架斜杆轴力的表示：A AB BL LA AB BNNNNL LX XL LY YNNX XY YNNL LX XY YL LX XL LY Y=存在以下比例关系：存在以下比例关系：5 计算桁架杆件轴力的方法计算桁架杆件轴力的方法一、结点法一、结点法 截取一个结点为对象，列出平面汇交力系的两个平截取一个结点为对象，列出平面汇交力系的两个平衡方程：衡方程：X = 0； Y = 0计算杆件的未知轴力。计算杆件的未知轴力。 结点法宜应用于解简单桁架的全部

5、杆件的轴力，以结点法宜应用于解简单桁架的全部杆件的轴力，以及和截面法联合应用求解桁架部分杆件的轴力。及和截面法联合应用求解桁架部分杆件的轴力。结点法的特殊情形结点法的特殊情形 零杆的判别零杆的判别1 1、无外力作用的不共线的两杆结点，两杆轴力都为零。、无外力作用的不共线的两杆结点，两杆轴力都为零。NN1 1NN2 2NN2 2 = 0 = 0NN1 1 = = P PNN1 1 =N =N2 2 =0 =02 2、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴力为零。力为零。P PNN2 2NN1 16二、截面法二、截面法 用截面截取两个以上结点作为

6、对象，列出平面一般用截面截取两个以上结点作为对象，列出平面一般力系的三个平衡方程：力系的三个平衡方程：X = 0X = 0，Y = 0Y = 0，MM0 0= 0= 0计算三个杆件的未知轴力。计算三个杆件的未知轴力。 截面法适合于计算桁架中指定杆件的轴力。在计算截面法适合于计算桁架中指定杆件的轴力。在计算中为了避免解联立方程，应注意对平衡方程的选择。中为了避免解联立方程，应注意对平衡方程的选择。 一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个，一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个，但在某些特殊情形下，当截断杆数超过三根是时，可但在某些特殊情形下，当截断杆数超过三根是时，可以求出其中一根杆的轴

7、力。以求出其中一根杆的轴力。3、无外力作用的无外力作用的三杆结点结点NN2 2 = 0 = 0NN1 1 = = N3NN2 2NN1 1NN3 37例例1 1：求图示桁架各杆的轴力。：求图示桁架各杆的轴力。A AB B10kN10kNC CD DE EF FG G3030o o2m2m2m2m 2m2m 解：利用各结点的平解：利用各结点的平衡条件计算各杆轴力衡条件计算各杆轴力由结点由结点B B、C C、D D、E E可知：可知：NNBCBC=N=NCDCD=N=NDEDE=N=NEFEF=0=00 00 00 00 0且：且：NNABAB=N=NBDBD=N=NDFDF N NACAC=N=

8、NC EC E=N=NE E G G取取A A结点为对象：结点为对象：10kN10kNNNABABNNACAC3030o oA AY= 0Y= 010NNAC AC Sin30o =0NNACAC = 20kN（压杆）X= 0X= 0NNABAB NNAC AC Cos30o =0NNABAB = 103 =17.3kN（拉杆）20202020202017. 317. 317. 317. 317. 317. 38例例2 2：求图示指定杆的轴力：求图示指定杆的轴力A AB BC CD DE E4kN4kN4kN4kN8kN8kN4m4m3m 3m1 12 23 3 4 4解：取解：取n-n截面以

9、上为对象截面以上为对象n nn nC CD D4kN4kN4kN4kN8kN8kNNN1 1NN4 4MD= 0NN1 1 6 68 83 34 44 = 04 = 0得：得： NN1 1 = = 6.67 kN6.67 kN由由MC= 0得得NN4 4=1.33 kN1.33 kNmmmm由结点由结点E E可知：可知： NN2 2 = -N = -N3 3取取m-m截面以上为对象截面以上为对象 N N1 1 C CD DE E4kN4kN4kN4kN8kN8kN N N2 2 N N3 3NN4 4由由x= 0 得得NN2 2=6.67 kN6.67 kN所以：所以： NN3 3 = 6.6

10、7 kN = 6.67 kN9P P例：求图示例：求图示1、2杆的轴力。杆的轴力。12mm解：取解：取m-m面以上为对象，面以上为对象，由由X = 0得得 N1= 0nn取取n-n面以右为对象，由面以右为对象，由 Y= 0得得 N21010kN20kN30kN12432m2m2m2mABCED题型1、求静定桁架结构桁架结构的内力轴力11解： 求支座反力由 =0yFFC-10-20-30= 0得：FC= 60 kN（）用截面将桁架截开，如下图所示：10kN20kN30kN124ABCED 取右边部分，作受力图如下： CD20kN30kN60kNN1N2N3由 =0yN2 sin45+60-20-

11、30= 0由 = 0DM（60-30）2+ N12= 0得：N2= -14.1kN（压） 得：N1=-30 kN（压） 由 = 0EM-304-N32-202+604= 0得：N3=40 kN（拉） 再取截面再取截面-可分析可分析N4= 012简支梁外伸梁悬臂梁2.2.弯曲梁内力弯曲梁内力- -弯矩、剪力弯矩、剪力一、弯曲变形和平面弯曲一、弯曲变形和平面弯曲 外力特点：外力特点：杆件受到垂直于轴线的外力或在纵向杆件受到垂直于轴线的外力或在纵向对称平面内受到力偶作用。对称平面内受到力偶作用。变形特点：变形特点：杆轴由直线变成曲线，并位于加载平面内。杆轴由直线变成曲线，并位于加载平面内。二、单跨梁

12、的类型二、单跨梁的类型13三、梁的内力剪力和弯矩RARBmmP1RAP2QM取截面m-m以左为对象:该相切于横截面的集中力称为剪力，用Q表示；位于纵向对称平面内的力偶称为弯矩，用M表示。由平衡方程:=0 求得Qmc=0 求得MRBmmQM 取截面m-m以右为对象，同理可得。14剪力、弯矩的正负号规定 剪力使隔离体产生顺转为正，逆转为负； 弯矩使隔离体产生下凸为正，上凸为负。15用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩计算步骤：计算步骤：1 1、用假想截面从指定截面处将梁截为两段；、用假想截面从指定截面处将梁截为两段；2 2、以其中任一部分为对象，在截开的截面上按剪力

13、、以其中任一部分为对象，在截开的截面上按剪力、弯矩的弯矩的正方向画出未知剪力正方向画出未知剪力Q Q及弯矩及弯矩M M；3 3、应用平衡方程、应用平衡方程= 0= 0和和mmc c= 0= 0计算出计算出Q Q和和M M，C C点点为所求截面形心。为所求截面形心。四、举例说明四、举例说明16例：试计算图示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩1、计算支座反力解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上） 2、取D-D截面左段为对象，画出受力图= 0 RA QD qL= 0mc= 0MDRAL+qLL/2 = 0 取E-E截面右段为对象= 0 得 QE = 0mc= 0 得 ME =

14、qL2RARBRAQDDDqMD得: QD= qL/2得: MD= qL2EEqL2MEQE17 *剪力图和弯矩图绘制方法1：根据梁的剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。 注意：1、当弯矩图为曲线时，至少要三个控制面的值一般取两端点和Q=0的截面弯矩值（若无Q = 0的截面，则取中间截面的弯矩值）2、弯矩图画在受拉侧，不标正、负18绘制方法绘制方法2：利用荷载与内力间的微分关系运用规律：利用荷载与内力间的微分关系运用规律 2 2、突变：突变：在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图有一尖角；在集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力有一尖角；在集中力偶作用处，弯矩图

15、有突变，剪力图无变化。图无变化。 3 3、端值情况端值情况详见教材详见教材p98p98表表3-13-1 1 1、图形：、图形：在均布荷载作用区段：在均布荷载作用区段：Q图为斜直线；图为斜直线；M图图为抛物线，抛物线的凸向与为抛物线，抛物线的凸向与q的指向一致。的指向一致。 在无荷载作用区段：在无荷载作用区段：Q图为水平线；图为水平线；M图为斜直线。图为斜直线。19规律作图方法：1、水平线图：段内任取水平线图：段内任取截面求内力（一般取段端截面）2、斜直线图：段内任取两斜直线图：段内任取两截面求内力（一般取段两端 截面）3、抛物线图：段内取两端抛物线图：段内取两端截面及中间截面求弯矩举例20例：

16、作图示简支梁的内力图。例：作图示简支梁的内力图。ABCD16kN4kN/m1m4m2m1mE1 1、求支座反力（如图）、求支座反力（如图）22kN10kN2 2、分段，并求控制截面内力、分段，并求控制截面内力ACAC段：段：Q QA A= Q= QC C左左= 22kN= 22kNM MA A= 0 = 0 M MC C= 22= 221= 22kNm1= 22kNm( (下拉）下拉） CDCD段：段：Q QC C右右= Q= QD D= 22= 2216 = 6kN16 = 6kNM MD D= 22= 222 216161= 28kNm1= 28kNm( (下拉）下拉）DEDE段：段：Q

17、QE E= = 10kN10kNM ME E= 10= 102= 20kNm2= 20kNm( (下拉）下拉） M MDEDE中中= 10= 104 44 42 21 1 = 32kNm = 32kNm( (下拉）下拉） EBEB段：段：Q QB B= Q= QE E= = 10kN10kNM MB B= 0 = 0 3 3、作内力图、作内力图22226 610101010Q Q图（图（kNkN) )M M图（图（kNmkNm) )222228282020323221例例2 2：ABCD20kN10kN/m2m4m2m40kNm1 1、求支座反力（如图）、求支座反力（如图）30kN30kN30

18、kN30kN2 2、分段作内力图、分段作内力图303010103030Q Q图（图（kNkN) )1010A AC CD DB BA AC CD DB BM M图（图（kNmkNm) )606080804040MDB中= 3021021 = 40kNm（下拉）404022补例补例. 外伸梁如图外伸梁如图(a)所示，已知所示，已知 q=5kN/m，FP=15kN，试作梁的，试作梁的剪力图剪力图和弯矩图。和弯矩图。ABFP2mqC(a)D2m2m解：先求支座反力，由解：先求支座反力，由 MD =0，得：，得：PBq 2 5+F25 2 5+15 2F = 20kN( )44 由由 y =0，得：，

19、得：FD = q 2+FP - -FB = 5 2+15 20 =5kN()作作 Q图如下：图如下： 10105Q 图图(kN)(b)23ABFP2mqC(a)D2m2m 10105Q 图图(kN)(b)求出各控制点的求出各控制点的弯矩值：弯矩值：MC = FD 2 = 5 2 =10kNm MB = - -q 2 1= - -5 2 1 =- -10kNmMA =0， MD =0 可按作图规律可按作图规律作作M图。图。1010(c)M 图图(kNm)24绘制绘制方法方法3 3： 叠加法绘制直杆弯矩图叠加法绘制直杆弯矩图一、简支梁弯矩图的叠加方法一、简支梁弯矩图的叠加方法ABqMAMBLABM

20、AMBABqMAMB18qL2MAMBMAB中MAB中18qL2MAB中= （ MA MB）/2若若MMA A、MMB B在杆的两侧，怎么画？在杆的两侧，怎么画？25ABMAMBABP PMAMBLabMAMBABP PPabPabLMAMBMPabPabLMM怎么计算？怎么计算？当当P P作用在作用在ABAB段中点时，又是怎样？段中点时，又是怎样？26二、分段叠加法二、分段叠加法ABDP Pq qCa 梁上任意段都可用叠加法画弯矩图，具体做法梁上任意段都可用叠加法画弯矩图，具体做法如下：如下： （以（以CD段为例）段为例） 1 1、用截面法求出、用截面法求出MMC C、MMD D，将其值画在

21、杆件受，将其值画在杆件受拉一侧。拉一侧。 2 2、将、将MMC C、MMD D连以虚线，以此为基线，从该基线连以虚线，以此为基线，从该基线的中点铅垂向下的中点铅垂向下qaqa2 2/8/8。 3 3、将、将MMC C、MMD D和中点以曲线相连，即得该段的弯和中点以曲线相连，即得该段的弯矩图。矩图。MMC CMMD D思考：思考：ACAC段和段和DBDB段怎么画？段怎么画？27例：作如图所示梁的弯矩图。例：作如图所示梁的弯矩图。ABD4kN1kN/mC2.5m2.5m2m3kNm 解：用分段叠加法，可以不解：用分段叠加法，可以不求支座反力画出弯矩图。求支座反力画出弯矩图。1 1、计算控制截面弯

22、矩。、计算控制截面弯矩。 M MA A=3kNm3kNm（上拉）（上拉） M MB B=1 12 21 1 = =2kNm2kNm（上拉）（上拉） MD=0 2 2、用分段叠加法、用分段叠加法绘制弯矩图。绘制弯矩图。ABD32C(5)2.50.528结构内力结构内力2 2： 静定平面刚架静定平面刚架内力计算内力计算一、一、刚架定义刚架定义 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点刚结点的结构，的结构，其中全部或部分结点为刚结点。如图所示其中全部或部分结点为刚结点。如图所示P PABCD二、刚架的特点二、刚架的特点1 1、结构内部空间较大，便于利用。、结构内部空间较大，

23、便于利用。2 2、刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小。、刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小。ABCDP P3 3、刚结点能传递力和力矩；而铰结点则只能传递力。、刚结点能传递力和力矩；而铰结点则只能传递力。29三、刚架的类型三、刚架的类型1 1、悬臂刚架、悬臂刚架3 3、三铰刚架、三铰刚架2 2、简支刚架、简支刚架4 4、多跨或多层刚架、多跨或多层刚架30 例例1：作图示刚架：作图示刚架的内力图。的内力图。2kN/mABC4m5m计算杆端内力作内力图计算杆端内力作内力图MMCBCB = 0 = 0QQCBCB = 0 = 0NNCBCB = N = NBCBC = 0 = 0MMBCBC

24、 = 2 = 24 42 =16kNm2 =16kNm（上拉）（上拉）QQBCBC = = 2 24 =4 =8kN8kNMMBABA = 2 = 24 42 = 16kNm2 = 16kNm（右拉）（右拉） QQBABA = Q = QABAB = 0 = 0NNBABA = N = NABAB MMABAB =2 =24 42 = 16kNm2 = 16kNm（右拉）（右拉） M M图图（kNmkNm) )ABC1616416161616ABC8 8 Q Q图图（kNkN) ) N N图图（kNkN) )ABC8 88 8= = 2 24 4=8 kN8 kN31例例2、作下图、作下图(a)所示简支刚架的内力图。所示简支刚架的内力图。ABC2mq=20kN/mD(a)