多元多元函数微分法函数微分法

1、84 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则全微分形式不变性练习连锁规则、连锁规则的进一步推广引例引例 设 zarcsin(xy)，而 x3t，y4t 3，求dtdz解 zarcsin(3t4t 3)，23)43(11tt (343t2)2)(11yx 32)(11yx 43t22)(11yx dtdx2)(11yx dtdyxzdtdxyzdtdy注意 zarcsin(3t4t 3)，dtdz23)43(11tt (343t2)43t2)2)(11yx (343t2)一元复合函数求导法则：设 yf(u)，u(x)，则dxdydudydxdu多

2、元复合函数的偏导数如何求？ 定理 如果函数u(t)及vy(t)都在点t 可导， 函数zf(x，y)在对应点具有连续偏导数， 则复合函数zf(t), y(t)在点可导，且其导数可用下列公式计算：dtdzuzdtduvz 设zf (u，v，w)，u(t)，vy(t)，ww(t)，则zf(t)，y(t)，w(t)对t 的导数为：连锁规则的推广：dtdzuzdtduvzdtdvwzdtdvdtdw连锁规则：（ 称为全导数）dtdz 设zf(u，v)，而u(x，y)，vy(x，y)，则复合函数 zf (x，y)，y(x，y)的偏导数为：uzvzxzxuyzyu连锁规则的进一步推广：uzvzxv，yvyz

3、yuuzvzyv例1 设ze usin v ，ux y，vxy ，求 和 xzyz解xzuzvzxuxveu sin vy eu cos v 1 exy y sin (xy) cos (xy)，e usin vxe ucos v1ex yx sin(xy)cos(xy)讨论：1设zf(u，v，w )，u(x，y)，vy(x，y)，ww(x，y)，则wzuzvzxzxuxvxw，yzyuuzvzyvwzyw?xz?yz2设zf (u，x，y)，且u(x，y)，则?xz?yzufxuxzxf，yuyzufyf答：答：222zyxexuyu例2 设uf (x，y，z) ，而zx2 sin y求 和

4、xfzfxz解xu2x222zyxe2z222zyxe2x(12x2 sin 2y) yxyxe2422sin2x sin yyfzfyz2y222zyxe2z222zyxe x2 cos yyuyxyxe2422sin2(yx 4sin y cos y) dtdz例3 设zu vsin t ，而ue t，vcos t求全导数 dtdzuzdtduvzdtdvtz e t(cos t sin t) cos t 解v e tu sin t cos te tcos t e tsin t cos t例4 设wf (xyz，x y z)，f 具有二阶连续偏导数，xwzxw2求 及 xwufxuvfxv

5、解令uxyz，vxyz ，则wf (u，v)ufvfyz ，xw或 f1yz f2zxw2z)(ufvfyz)(vfyzuzu)(ufvzv)(ufvfyuzu yz)(vfvzv yz)(vf22uf22vfx y2 z vuf2xyvfyuvf2 yz22vfx y2 z ，22ufvuf2y(xz)vf yzxw2或 f11y(xz) f12 yf2 xy2z f22设zf(u，v)具有连续偏导数，则有全微分全微分形式不变性：uzvzdz du dv 如果zf(u，v)具有连续偏导数，而u(x，y)，vy(x，y)也具有连续偏导数，则xzyzdz dx dyuzxuvzxv( )dxuzyuvzyv( )dy ( dx dy)uzxuyuvzxvyv ( dx dy)uzvz du dv 例6 设ze usin v，ux y，vxy，利用全微分形式不变性求全微分( ye usin v e ucos v)dxuzvzdz du dv解 e usin vdu e usin v(y dxx dy )e xy y sin(xy)cos(xy)dx e xy x sin(xy)cos(xy)dy e ucos v dv e ucos v(dxdy)(xe usin v e ucos v )dy练习1设 zvu，而 ux y ，v 22