北交大激光原理 第3章 Suggests for solving problems

1、第二章第二章 速率方程理论速率方程理论一、一、学习要求与重点难点学习要求与重点难点学习要求学习要求1 了解典型激光器的工作能级和常见激光介质的三、四能级特征；2 掌握激光三、四能级系统单模速率方程组的建立方法；3 掌握稳态情形下对小信号增益的求解；4 理解均匀和非均匀加宽介质的增益饱和；5 了解增益介质的色散；6 理解超辐射现象和超辐射激光器工作原理；7 了解激光放大现象和激光放大器工作原理。重点重点1 激光三、四能级系统特征；2 速率方程组的建立方法，及其近似处理；3 稳态情形下对小信号增益的求解；4 介质增益饱和的机制；5 超辐射现象。难点难点1 速率方程组的近似处理；2 介质增益饱和的机

2、制；3 超辐射激光器工作原理。二、知识点总结二、知识点总结1.典型激光器的主要工作能级典型激光器的主要工作能级 3/27/29/25/29/23/2122SFHFIFYAGNdFFAE.)Cr(I4424443444239209503694和抽运能级：激发能级激光下能级：基态激光上能级：激发能级钕玻璃中中：掺钕离子和抽运能级：激发能级激光下能级：基态中的激光上能级：激发能级：掺离子红宝石：三能级系统离子电子态间跃迁离子电子态间跃迁nmnmEnm 自终止基态：组激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级最强分子：多条近紫外光，基态：激发能级组激光下能级：激发能级组激光上能级：激发能级波段和绿：蓝氩

3、离子：三能级系统态跃迁向低电子态的分子振动离子电子态间跃迁gguXBCnmpspppnmnm13354413773335514488.N44.HeII2 9/23/27/29/25/211/29/23/27/29/25/213/23/29/23/27/29/25/211/23/2I:SFHFIE)Tr(I:SFHFIF.YAGI:SFHFIF.YAGNdI4442442344424444442444390070037131910610641基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级中振动基态能级激光上能级：电子激发宽带：离子掺钛蓝宝石基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激

4、发能级，钕玻璃中中基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级，钕玻璃中中：掺钕离子：四能级系统能级间跃迁离子不同电子态中振动离子电子态间跃迁离子电子态间跃迁nmmmmm 0000010021006900000101010061013339312215112363301000100111基态：振动基态级带级带下泻能级：振动激发能能级带激光下能级：振动激发能级带激光上能级：振动激发基态：振动基态级带级带下泻能级：振动激发能能级带激光下能级：振动激发能级带激光上能级：振动激发：碰撞激励基态：下泻能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级基态：下泻能级：激发能级激光下

5、能级：激发能级激光上能级：激发能级基态：下泻能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级：碰撞激励：四能级系统分子振动态间跃迁分子振动态间跃迁原子电子态间跃迁原子电子态间跃迁原子电子态间跃迁mmmmnm .)(NCOSSPS.SSPS.SSPS)HeNe(HeII220Ne0Ne0Ne2.速率方程组速率方程组 21210221112211222112111 激光系统总量子效率：激光上下能级荧光效率驰豫效率：抽运能级向激光上能级率：一个光子的受激跃迁几布居反转粒子数密度：四能级系统：三能级系统单模：上下下下上上aaaaaPPaaaPPVghBBnggnnnVBdtdABWnnWdtnd

6、nVBdtdAnggABggWnnWdtnd),()(I)(I3.布居反转布居反转 2100011111 PPPPPPPWSAnnggSAggnnnWWggnWWnWWn激光辐射效率：完全布居反转度之反比：激光上下能级粒子数密，增速放缓高泵浦强度：出现饱和低泵浦强度：线性增加上级短任一激光下能级寿命比反转条件：比下级多任一激光上能级粒子数反转条件：四能级系统激光辐射效率：，增速放缓高泵浦强度：出现饱和低泵浦强度：线性增加度速度：存在阈值激励速抽运速度大于自发辐射反转条件：三能级系统强光和饱于小远强光内质介小信号：最佳下基上下上下上下下基上下上下上下上下上下下上上下上下上下上下)(II ：未讨论

7、。趋势一致。三能级系统饱和效应范围：频率中心饱和效应最强：反转饱和饱和光强）（饱和光强：均匀加宽：四能级系统强光和饱于小不强光内质介大信号：上下强激励上下上下上上下ImaxI2112121221011010022012201HsssHspHssHHIIIInnIIBVIWBVInIIn 4.增益增益 VhVzIdtdVdzzIzdIGngVBhGa 10布居反转粒子数跃迁截面线宽线型函数增益曲线：上下),( nWWggAvnAvGIIIIIIIIGIGggnnSAnWWgggVBhngVBhGWnWWgVBhngVBhGPPHHHsHHsHsHsHvHPPPPP上下上下下上上下上下下基上下上下

8、上下下上上下上下上下上下上下上下上下增益饱和均匀压扁：大信号：四能级系统，增速放缓高泵浦强度：出现饱和低泵浦强度：线性增加上级短任一激光下能级寿命比对物质结构有要求：四能级系统存在泵浦速率阈值：三能级系统小信号：均匀加宽： 11441121211111120221202022120022020000000011111)(,I)(,(),(I),(),(I利用均匀加宽分析结果推导非均匀加宽的思路： 220111111110240011000020221222012100000000014122DDeIIGIdGIGdgnAvIIIdGdgndndsiiiDHsHHiDvg ln,),(),(,)

9、,(,处的增益在所有表观中心频率处的增益在线型范围的粒子数在表观中心频率 ssHHHisiiIIIIeGeIIGIGDD112201220111111211240012400 深度：宽度：增益曲线烧孔大信号：相同小信号：与均匀加宽时四能级系统非均匀加宽：,Ilnln5.色散色散 附近色散显著均匀加宽：激励引入的色散：经典电偶极振子模型0002 IGcHH, 附近色散显著范围的粒子数在表观中心频率非均匀加宽：处的贡献在所有表观中心频率处引起的折射率变化在线型00011000020221222012010000000004412221110 iWGcddgnAvIIcddgndndIiHHDHsH

10、HHHDvgD,6.光放大光放大 ，直至稳定指数增长，后缓慢增加增长规律：阈值长度：强度：非均匀加宽：均匀加宽：线宽：发散角：超辐射：放大：无放大：布居反转：弱激发：上超辐射超辐射超辐射0203000000000000021222000ncnhezIGlzGzGzGzGldldldlGlGnnlGnzGciDDiDHHHHHciiti ,lnlnlnASE 偏振无关波长间距大激励强度高饱和光强大小信号非均匀加宽激励强度高饱和光强大小信号均匀加宽无串扰须增益平坦措施饱和光强大激励强度高线宽大工作波长范围宽泻能级驰豫快激光下能级、抽运和下激光循环周期短响应速度快放大器带宽大激励强度高饱和光强大饱和

11、效应小大信号大激励强度低本底噪声低小信号小线性范围大不利于灵敏度的提高放大倍数低激励强度低小于阈值长度：本底噪声低：灵敏度高基本要求：光放大器 02Gllcln IIGzIdzIIGzIzGIzIeIzIeIzIiiiiiizGzG,.,lg, 降，直至透明：始指数增大，渐倍率下光强：大信号分倍：倍数：放大光强：小信号光放大器放大特性13440100011000三、典型三、典型问题的分析思路问题的分析思路1、 激光工作物质中对激光辐射过程重要的主要能级的挑选问题。激光工作物质中对激光辐射过程重要的主要能级的挑选问题。首先，明确激光上下能级。由于考察的是激光系统，抓住激光输出波长，对应激光跃迁的

12、上下能级应该是比较好确定的，尤其是激光上能级还有寿命长这样一个显著的特征。然后，寻找原子到达激光上能级的途径，这样可以确定有没有抽运能级。原子到达激光上能级常常需要经过复杂曲折的道路，例如红宝石中首先跃迁到铬离子的多个激发态，如图所示，然后才弛豫到激光上能级。对于这种情形不要赊求抽运能级为单一能级，可以将多个能级看作抽运能级带。在是否存在抽运能级时，对于有多个成份的激光工作物质，一定要盯准抽运能级与激光上能级同属于一种原子，例如在 HeNe 激光器中，尽管 He 原子对激光器激励是起了决定性的作用，抽运能级还是要在与激光上能级属于的 Ne 上找。最后，寻找处于激光下能级的原子到达基态的途径，这

13、样可以确定有没有下泻能级。与确定抽运能级相似，处于激光下能级的原子到达基态也常常需要经过复杂曲折的道路，不必苛求单一的下泻能级，可以将原子到达基态所经历的能级都作为下泻能级对待。当然，若激光上能级相同，激光波长相差不大，激光下能级是同一类型能级，或者有相似的下泻通道，或者有相似的抽运通道，对于这样一些激光过程，为了不使问题复杂化，常常将它们视作一个激光过程来处理。图 2.1.1 红宝石中涉及激光过程的 Cr+能级4F14F22E2AEg =2 g =2 3E 2E 1E 基态 E 能级能量 图 2.1.2 红宝石中 Cr+能级跃迁图 E/ (104 cm-1) 12 13 14 15 16 1

14、7 电子碰撞激励 共振能 量转移 11S0 21S0 3S 2 5 1 4 10 2 5 1S0 1S 632.8nm 自发辐射跃迁 管壁效应 2P He Ne 图 2.1.4 氦氖激光过程的原子能级示意图2、 能级系统的特点，以及能级系统的归类问题。能级系统的特点，以及能级系统的归类问题。首先要明确的一点是，原子的激光过程并不是只能由三、四能级系统来描述，二能级激光系统也是存在的，只不过它肯定不能是光泵浦激光介质。所以，当使用三、四能级系统来套行不通时，也要想想是不是其它的能级系统。四能级系统的一个典型特征是，激光下能级不是基态能级。三能级系统的特征是，找不出第四条对激光过程起主要作用的能级

15、。另外，无论是三还是四能级系统，抽运能级的驰豫都非常迅速，只有这样激光过程才能进行。抽运能级上尽管持续地激励上原子，还是能保持长空，粒子数密度保持不变。当然，下泻能级一般来说也是驰豫迅速的，单这不是激光过程必须的，例如 N2激光器正是因为其下泻能级驰豫速率有限才只能脉冲使用。3、 根据能级系统的特点，以及稳态的特征，对速率方程的简化问题。根据能级系统的特点，以及稳态的特征，对速率方程的简化问题。无论是什么能级系统，首先，质量守恒，粒子数密度守恒。据此，可以从速率方程组里去掉一个微分方程。其次，抽运能级驰豫非常迅速，能级上保持长空，粒子数密度保持零不变。据此，可以根据近似程度的需要，从速率方程组

16、里去除对抽运能级粒子数密度的时间微分，以及抽运能级粒子数密度本身。当然，激光上能级通常是亚稳态，或者是补充通道流畅，而且激光过程总是要布居反转。所以，激光下能级的腾空速率总是比激光上能级快。最后，对于四能级系统，基态的粒子数密度总是远远大于其它能级。据此，可以化简基态与其它能级的粒子数密度之比较。稳态的特征是各能级上粒子数密度保持不变，它是基于泵浦稳定的前提下，经过一个短暂的骚动期，各能级上的粒子数将会保持恒定。据此，速率方程组中微分成分被去掉，变成了代数方程。4、 谱线加宽对速率方程的影响，对增益的影响问题。谱线加宽对速率方程的影响，对增益的影响问题。谱线加宽的影响，体现在自发辐射上是将辐射

17、几率分派到各个频率处了，体现在受激跃迁上是将线型函数带入速率方程中，因此工作物质的增益系数也变成频率的函),(0g数，按照线型函数变化，形成增益曲线。),(0g5、 考虑增益饱和效应的切入点。考虑增益饱和效应的切入点。激光工作物质被激励后，折射率、吸收系数等特性都会发生变化，由此带来额外的增益、色散等等现象。对于均匀加宽工作物质，增益曲线直接由线型函数描写：),(0gngVBhG ),(0 上下即便是强信号光入射，必须考虑饱和效应，也只不过是将增益曲线压扁、压宽： 220200111112121 sHsHsHvHIIIIIIGIG ,sHHII11这一变化来源于布居反转被强光过度消耗的饱和效应

18、。增益的带来额外色散，则无须考虑是不是有饱和效应，描述形式是相同的： IGcHHH,20若有饱和，压扁、压宽增益曲线，同样也会对额外色散带来相应的影响。相比之下，考虑非均匀加宽工作物质，尤其是有饱和效应时，需要遵循特定的思路。在无饱和效应时，非均匀加宽工作物质的增益曲线与均匀加宽工作物质的形式一致：ngVBhG ),(0 上下增益的带来额外色散的描述形式也是相同的： IGcHHH,20存在饱和效应时，由于强信号光对具有不同表观中心频率粒子的饱和效应不同，不同表观中心频率粒子对信号光的不同影响就会显现出来。所以，在非均匀加宽工作物质中，考虑饱和效应下的增益变化，以及增益的带来额外色散，首先须将工

19、作原子按其表观中心频率进行分类。事实上，粒子数密度按表观中心频率变化的轮廓，正是非均匀加宽线型函数的轮廓，非均匀加宽线型函数值正是表观中心频率位于该处的粒子多少，粒子中的布居反转也应按此分配。所以，表观中心频率在范围内的000d布居反转数密度为：0000,dgnD由于同时存在均匀加宽，这些布居反转不只是在频率范围内000d产生效应，还应对它的均匀加宽线型函数伸腿所及发挥影响。对于强光入射，即便入射光频率 v1不在频率范围内，也会对表观中心频率在000d范围内的布居反转数密度产生消耗，产生增益饱和作用：000d 000202212220121412211 ,),( DHsHHignAvIIIdG

20、在入射光频率 v1处的增益随之被压扁、压宽。当然，表观中心频率不同，压扁不同；离入射光频率 v1越远，饱和影响越小。从入射光的角度来说，对其产生增益作用的不只是表观中心频率在范围内这一群原子。尽管不同表观中心频率的布居反转数密度不000d同，离入射光频率 v1远近有差异，对入射光或多或少地都会产生一定的增益。这一增益的大小，正是上式所描述。因此，入射光获得的总增益即为对上是中表观中心频率的积分： ),(),(1111 IdGIGii这一积分是一个卷积，只能近似处理。我们可以离入射光频率 v1远近作为评判标准，将卷积化为能积分的式子： 2112400124002201220111HisiiDDe

21、GeIIGIG lnln,离入射光频率 v1远，基本上没有什么影响；离入射光频率 v1近，饱和效应显著，出现烧孔。求出了饱和效应下的增益，色散即可按照下式考虑： IGcHHH,20当然，对于更一般的综合加宽情形，激励产生的额外色散也可以采用相似方式得到： iWGcIi 004四、思考题四、思考题1.按激光介质分类，有哪几类激光器，各有什么特征？2.爱因斯坦唯象理论中“唯象”是什么含义，描述了什么现象？3.何谓物质方程，何谓场方程？4.激光四能级系统是不是有两种类型，各能级的名称和作用是什么？5.激光上能级寿命通常在什么量级，是长了好还是短了好？6.试举出以激光三能级系统工作的激光器事例。7.试

22、举出以激光四能级系统工作的激光器事例。8.激光三、四能级系统的物质基础，结合实际举二、三例说明。9.光谱线加宽与速率方程理论有没有关系，为什么？10. 多普勒加宽中光谱线加宽与速率方程理论有没有关系，为什么？11. 光谱线加宽能不能使用速率方程理论说明，为什么？12. 什么理论可以说明光谱线加宽的产生机制？13. 经典电子振子，在速率方程理论中对应于什么？为什么说速率方程理论不能讨论光场的偏振特性？14. 比较经典电子振子模型和速率方程理论的异同，以及各自的优势、局限。15. 光折射率由什么来决定？并说明依据的理论。激光介质的折射率有什么特殊的地方吗，为什么？16. 线型函数有什么重要意义？1

23、7. 线型函数与小信号增益系数是什么关系？18. 为得到小信号光的介质增益需要作什么近似假设，为什么？19.五、练习题五、练习题1.写出如图所示的速率方程。E3 E1 E2 W13 A31 S31 S32 A32 S21 B32 B23 2.写出如图所示的速率方程。E3 E0 E2 W03 A30 S30 S32 A21 S21 B21 B12 E1 S10 A32 B32 3.导出极化系数的实部的两个极值点间的频差与线宽间的关系。在导数光谱a学中通过测量光谱仪样品池中的随的关系来研究不同气压下的气体原子跃迁，dd试导出该关系。4.已知静止原子跃迁谱线的中心波长为。若原子分别以Ne232SP0

24、.6328 mNe、和的速度向着光探测器运动，问所探测到的中心波长分别变为多少？0.1c0.4c0.8c5.对于线宽均为的洛仑兹线形函数和高斯函数，讨论：（1）等于多大时这两0个函数的值相等；（2）在什么频率范围内洛仑兹函数值大于高斯函数值。6.证明线宽分别为和的两个洛仑兹线形函数的卷积是线宽为的abab洛仑兹函数。7.估算激光器波长为的激光跃迁在下的多普勒线宽，讨论在什么气2CO10.6 m400K压范围内该跃迁谱线从非均匀加宽过度到均匀加宽为主。 （取压力加宽系数的平均值为）6.5/HZMTorr8.某种多普勒加宽气体吸收物质被置于由两个反射镜构成的光学谐振腔之中。设吸收谱线所对应的能级为

25、和（基态） ，中心跃迁频率为。若光腔中存在频率为的单模2E1E0驻波光场，试定性画出下列情况下基态上的粒子数按谐振腔轴向速度分量的分布1Ez：1()zn（1）；0（2），为多普勒吸收谱线宽度；0DD（3）。09.已知三能级系统红宝石介质能级间的跃迁几率为：，能级至61325 10Ss 51313 10As 21213 10As 31210SS2E间自发辐射跃迁的中心波长为 0.6943，计算该系统的泵浦量子效率和荧光量子1Em效率。估算当连续泵浦抽运几率为多大时，红宝石晶体对波长为 0.6943的单色pWm光是透明的？（对红宝石介质的该跃迁，上、下能级的能级简并度，透明214gg的含义是） 。

26、210nn10. 由四能级系统激光介质速率方程讨论为实现集居数反转分布稳态泵浦几率应满足什么条件？计算大道稳态分布时的值并讨论所得到的结果。/n n六、部分答案六、部分答案1.按激光介质分类，有哪几类激光器，各有什么特征？解：按照激光介质分类，可分为固体激光器、气体激光器、半导体激光器和染料激光器。 气体激光器的特点有：从紫外到红外可以稳定连续地工作，光束质量好，可作高能激光器。但如果输出同样的功率，外形比其他激光器体积要大。 固体激光器输出能量大，峰值功率高，同样的输出情况下，体积比气体激光器小些，机械强度高。但固体激光器不能做得太大，除了 YAG 激光器外，室温下连续工作有困难。 半导体激

27、光器具有小型、高效率和可以直接由电能转化为光能的优点。但是它的 相干性差，波长一般处于长波段。 染料激光器的波长连续可调，但相干性差，染料溶液易老化。2.激光四能级系统是不是有两种类型，各能级的名称和作用是什么？解：有两种激光四能级系统类型，如下所示：1E2E3E4E4E3E2E1Ehh图一图二对于图一，是基态，是泵浦能级，是激光上能级，是激光下能级。1E4E3E2E对于图二，是基态，是泵浦能级，是激光下能级，是激光下泻能级。1E4E3E2E3.激光上能级寿命通常在什么量级，是长了好还是短了好？解：激光上能级的寿命通常在，寿命长比较好，因为可以使原子集居数密度861010 s反转的实现容易一些

28、。4.试举出以激光三能级系统工作的激光器事例。解：红宝石激光器是典型的三能级激光器。5.试举出以激光四能级系统工作的激光器事例。解：YAG 激光器，钕玻璃激光器，氦氖激光器都属于四能级激光器。6.激光三、四能级系统的物质基础，结合实际举二、三例说明。7.光谱线加宽与速率方程理论有没有关系，为什么？解：光谱加宽与速率方程理论有关，原因在于光谱谱线的加宽会导致跃迁几率的变化。8.多普勒加宽中光谱线加宽与速率方程理论有没有关系，为什么？解：多普勒加宽与速率方程没有关系，原因在于多普勒加宽并不引起跃迁几率的变化，从而与速率方程理论无关。9.光谱线加宽能不能使用速率方程理论说明，为什么？解：能。因为根据

29、速率方程理论可得原子的跃迁几率，从而可确定光谱线的加宽。10. 什么理论可以说明光谱线加宽的产生机制？解：经典电子振动理论，爱因斯坦唯象理论和速率方程理论都可以说明光谱线的加宽机制。11. 经典电子振子，在速率方程理论中对应于什么？为什么说速率方程理论不能讨论光场的偏振特性？12. 比较经典电子振子模型和速率方程理论的异同，以及各自的优势、局限。13. 写出如图所示的速率方程。E3 E1 E2 W13 A31 S31 S32 A32 S21 B32 B23 解：设各能级上的原子集居数密度分别为，介质中总的原子集居数密度为，13nnn、n则根据爱因斯坦唯象关系可得以下的原子速率方程：13113d

30、nnnWdt3131221（A +S ）+n S2321dnnBdt323232321（A +S +B ）-n （S）13nnnn14. 写出如图所示的速率方程。E3 E0 E2 W03 A30 S30 S32 A21 S21 B21 B12 E1 S10 A32 B32 解：设各能及上的原子集居数密度为，总的原子集居数密度为，则根据爱0n 、13nnn、n因斯坦唯象关系可得以下的原子速率方程：03003dnnn Wdt30301 10（A +S ）+n S232121dnnBBdt323232122121（A +S +B ）+n-n （A +S）30033dnn Wndt3030323232

31、（A +S +A +S +B ）013nnnnn15. 光折射率由什么来决定？并说明依据的理论。激光介质的折射率有什么特殊的地方吗，为什么？16. 导出极化系数的实部的两个极值点间的频差与线宽间的关系。在导数光谱a学中通过测量光谱仪样品池中的随的关系来研究不同气压下的气体原子跃迁，dd试导出该关系。解： 210232200022103102012220002203200028()24()(1)0,:8()20,22:14()18()4()1dnedmddnemdnedm 令可得所以则17. 已知静止原子跃迁谱线的中心波长为。若原子分别以Ne232SP0.6328 mNe、和的速度向着光探测器运

32、动，问所探测到的中心波长分别变为多少？0.1c0.4c0.8c解： 000011(1)0.10.5724(2)0.10.4143(3)0.10.2110zzzzzccccmcmcm000 , , , 18. 对于线宽均为的洛仑兹线形函数和高斯函数，讨论：（1）等于多大时这两0个函数的值相等；（2）在什么频率范围内洛仑兹函数值大于高斯函数值。解： 020120200000122012120121201221( ,)1 ()22( ,)( ln2)exp(ln2)()2( ,)( ,)( ln2)1()2( ln2) ln2 1( ln2)1:2( ln2) ln2 1( ln2)12( ln2) lcDcgggg 令整理得当12012( ln2)12n2 1( ln2) ln2 1或时洛仑兹函数值大于高斯函数值19. 证明线宽分别为和的两个洛仑兹线形函数的卷积是线宽为的abab洛仑兹函数。证明： 12010020020202022021( ,)1 ()221( ,)1 ()2( ,)*( ,)exp()2,:()11exp()2()1 ()2caacbbixabccixabababggggx eFx e 对上式进行傅里叶变换可得20. 估算激光器波