二阶微分方程及其模型

1、二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程二、二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程三、几个典型模型三、几个典型模型一、几种可降阶的二阶方程),(yyxfy 设设),()()1(yyxfy 方方程程的的右右端端不不显显含含,)( dxxfdxyy.)(21cdxcdxxfdxyy .1xxey 解方程解方程例例1cexedxxeyxxx 解：解：.)(211cxceexecexeyxxxxx )( ),()2(yyxfy方方程程右右端端不不显显含含 ).,(,),(pxfdxdpdxdpyxpy 得得令令.),(),(11dxcxpdxdxyycxp 则则设设解解为为.12xx

2、eyxy 解解方方程程例例（一一解解线线性性方方程程）解解：令令xxepxdxdppy 1,1111xcxedxcdxexeepyxdxxxdxx .2)1(2211cxcexdxxcxeyxx )(),()3(xyyfy方方程程右右端端不不显显含含 ,),(dydppdxdydydpyypy 则则令令),(pyfdydpp 得：得：.),(1),(211cdycyycypdxdy 则则设解为设解为的解。的解。求初值问题求初值问题例例2)0(, 1)0(,33 yyyy,3,),(ydydppdydppyypy 原原方方程程化化为为则则解解：令令1232221,3cypdyypdp , 02)

3、0(, 1)0(1 cyy由由,243ypy 号。号。取取由由 , 02)0(y,243yy ,24,224143cxydxdyy , 41)0(2 cy由由.)21(4xy 二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxqdxdyxpdxyd 时，时，当当0)( xf线性齐次微分方程线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf线性非齐次微分方程线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn )()(xfyxpdxdy一阶线性微分方程一阶线性微分方程二、二阶线性微分方程二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理

4、 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211ycycy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, cc是是常常数数）问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211ycycy )1(0)()( yxqyxpy1.解的基本性质定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间i内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间i内内线性相关线性相关否则否则

5、称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x特别地特别地: 若若在在 i 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 i 上上线线性性无无关关.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xcxcy 2.2.二阶非齐次线性方

6、程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 3 3 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxqyxpy 的一个特解的一个特解, , y是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yyy 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .2. 二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程特征方程,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1 1） 有两个

7、不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 特征根为特征根为特征方程法: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解.2 2） 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则

8、则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 特征根为特征根为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 r

9、r解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2)(xfqyypy 类型（一）类型（一）对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yyy 常见类型常见类型),(xpm,)(xmexp ,cos)(xexpxm ,sin)(xexpxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xpexfmx 3.3.二阶常系数非其次线性微分方程二阶常系数非其次线性微分方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexqy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方

10、程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xqxqm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxqxqm 可设可设;)(xmexqy ;)(xmexxqy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可设设综上讨论综上讨论, )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexqxy 特别地特别

11、地xaeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexaxepaeqpay222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy 是单根，是单根，2 ,)(2xebaxxy 设设代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxececy 例例1 1型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlxsinco

12、s)(xpxpexfnlx 22jeepeepexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejppejpp)()()22()22( ,)()()()(xjxjexpexp ,)()(xjexpqyypy 设设,)(1xjmkeqxy 利用欧拉公式利用欧拉公式类型（二）类型（二）,)()(xjexpqyypy 设设,)(1xjmkeqxy xjmxjmxkeqeqexy ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常

13、系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxaxey 故故代入上式代入上式, 42 aj,2ja ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxcxcy （取虚部）（取虚部）例例2 2.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,2 jxxe

14、yy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxebaxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034abaj,9431jba ，,)9431(2*jxejxy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xaexaexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xjae 卫星发射过程的描述深海运动过程摆钟

15、运动的描述水面浮标的上下振动三、运动学和机械振动学上的微分方程建模及其方法关于描述运动规律的知识准备设物体做直线变速运动，其位置函数s=s(t)，与速度 函数v=v(t)，加速度函数a=a(t)的关系为： v(t)=s(t); a(t)=v (t) = s(t).牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合力f成正比，即 f=ma. 由此可利用受力分析，求得合力f，并与 m s(t)或m v(t)建立等式，即微分方程。进而求解并分析结果，从而对物体的运动规律进行大致描述。关于力的知识，常用的有：压力、浮力、重力和万有引力、阻力、弹簧力、电（磁）场力等计算公式。问题的提出 在发射人造地球卫星时，

16、通常要求运载火箭离开地面时具有足够大的初始速度，从而就可保证卫星在发射过程中不会下坠，这与一般的上抛运动有所不同。 试建立卫星发射过程中的数学模型来描述其运动规律，并求出在理论上所需的最小速度（称 第二宇宙速度）。 模型的建立假设：卫星发射过程中只受到物体间引力的作用，空气阻力或其它作用力影响不大而忽略。 设m和m分别表示地球和卫星的质量，如图，卫星离开地面的时刻记t=0，s=r(地球半径），s(t)表示卫星重心和地球中心的距离，加速度a(t)=s(t)。 由万有引力定律，引力f为 f=kmm / s2 在任意时刻t，利用牛顿第二定律，可得微分方程：ms=-kmm / s2 ，即 s=-km

17、/ s2 ， (1) 且满足s(0)=r,s(0)=v. 模型的求解和分析 求解下面微分方程 s=-km / s2 ， (1)且满足s(0)=r,s(0)=v. 利用降阶法，设v=ds/dt，则 v dv / ds = -km / s2 ，解得 v2 = 2k m / s + c由初始条件s=r时，v=v，代入 c = v2 /2 - k m / r，所以 v2 = 2k m / s +c， (2) 不难看出，若保证c0，卫星的运动速度始终不会为零，即它不会下坠。 这与我们在地面上上抛物体时，会由于地球重力影响，在某时刻速度会减为0，而后下落有所不同（利用上述模型的结果，不难解释）。 要保证c

18、0，即c = v2 /2 - k m / r 0 ,v (2k m / r)1/2因为 g=km / r2，所以 v (2gr)1/2 =11200 m/s。也就是我们通常所说的第二宇宙速度= 11200 m/s 过去一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物密封在圆桶后，扔到水深100米以上的海中。为此，许多科学家表示担心，特别是圆桶在运动过程中与海底碰撞，是否会因速度过快而破裂，从而导致放射性废物对大海的污染。这种担心是否会发生呢？首先需要描述圆桶在深海中运动的过程。 请建立描述该运动过程的数学模型。问题的提出 模型一 无阻力运动假设：圆桶运动过程中，所受阻力忽略不计，

19、圆桶在水中进行直线运动，不产生旋转运动，即圆桶只受重力g和浮力e影响。 在上述假设条件下，圆桶所受合力f=g-e。 由牛顿第二定律：f=ma 如图，设圆桶入海时记t=0，位移s=0。若s(t)为t时刻对应的位置函数，则a(t)=s(t)。 由此可得微分方程（1）： m s(t)= mg-pgv 且满足 s(0)=0, v(0)=v0 . 模型二 阻力运动假设：圆桶运动过程中，若圆桶除受重力g和浮力e以外，还受阻力 f影响(和速度成正比) ，其它情况同模型一。 在此假设条件下，圆桶所受合力f=g-e-f。 由牛顿第二定律：f=ma 如图，设圆桶入海时计t=0，位移s=0。若s(t)为t时刻对应的

20、位置函数，则 v(t)=s(t), a(t)=s(t)。 由此可得微分方程（2）： m s(t)= mg-pgv-ks(t) 且满足s(0)=0, v(0)=v0 . 模型求解并分析 假设我们已测得下面数据，试利用所建立的模型，求解微分方程并分析结果，从而判断圆桶是否会因碰撞海底而发生破裂。 测得圆桶质量m240kg，体积v 0.2立方米，海水比重p 1025kg/立方米。 通过大量科学试验表明：当圆桶的速度超过12m/s，与海底碰撞就容易破裂；另外，当圆桶在水中运动时，所受阻力和速度成正比，比例常数k约为0.08g0.12 g （牛 米/秒），即f= kv。模型一的求解 s(t)= g-pg

21、v/m （1） 且满足s(0)=0, v(0)=v0利用积分，可求解方程(1)s(t)=kt+c，k=g-pgv/m.由v(0)=s(0)=v0,v(t)=s(t)=kt+v0,再次积分，s(t)=kt2/2 +v0 t+ c由s(0)=0, c=0, 即解为s(t)= kt2/2 +v0 t，k1.43s(t)=0.72t2 +v0 t. 设v0=0， s(t)=0.72 t2 .当s=100米时，t =11.8秒， 而v(t)=s(t)=1.43 t v=1.43*11.8=16.8 m/s. 即当圆桶到达100处的海底时，其速度将超过12m/s，因而容易破裂。 由速度函数v(t)=s(t)=kt+v0 ，海底愈深，其速度愈大。若v00，可得圆桶到达海底的速度更大，也就愈容易破裂。 模型二的求解s(t)= mg-pgv-k s(t) (2) 且满足s(0)=0, v(0)=0. 利用降阶法，设 v=s(t) v=mg-pg v-k v再利用变量分离法或常数变易法，可求得： v(t)=s(t)= 1-exp(-kt/m) *(m-pv)g/k 再求积分，s(t)=.。 同模型一，先求出到达海底的时刻t0，然后求