高等数学课件D10习题课

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法练习练习 p180 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)目录 上页 下页

2、返回 结束 2 (3). 计算二重积分,d222dyxr其中d 为圆周xryx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosrr 原式cos022drrrrr2033d)sin1(32r)34(313rydr xo:dcos0rr 2222dp180解答提示解答提示:目录 上页 下页 返回 结束 7. 把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分,其中 由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为:原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域 .xyzp181o1目录 上页 下页 返回 结束 zd1zd28 (1) .计算积分2

3、222rzyxzrzyx2222及,ddd2zyxz其中 是两个球 ( r 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =zdyx1ddzzzrzrd)2(2022利用“先二后一先二后一” 计算方便 .zzrd202zdyx2ddzzrrd22zzrzrrd)(2222548059rrzyx2rp181o目录 上页 下页 返回 结束 zxyo8 (3).计算三重积分,d)(22vzy其中 是由 xoy平面上曲线xy225x所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标sincosrzryxx原式522drx绕 x 轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100

4、320d3250:5p181目录 上页 下页 返回 结束 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或质心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号练习题练习题*5. 利用重积分换元公式p180 1 , 4 , 8 (2), 11答案提示答案提示: (见下页) 4. 利用扩展积分域进行计算 目录 上页 下页 返回 结束 1rxyzo1(1). 设1由0,2222zrzyx确定 ,2由0,0,0,2222zyxrzyx所确定 , 则 21d4d)(vxvxa提示提示:c21d4d)(vyvyb21d4d)(vzvzc21d4d)(v

5、zyxvzyxd右边为正 ,显然不对 , 故选 ( c )利用对称性可知 , (a), (b), (d) 左边为 0 ,:1上半球:2第一卦限部分2目录 上页 下页 返回 结束 d2d3d4d1(2). 则yxyxyxddd)sincos(yxyxadddsincos2)(1yxyxbddd2)(1yxyxyxcddd)sincos(4)(10)(d1d提示提示: 如图 ,4321ddddd由对称性知0ddyxyxd在43dd yxsincos上是关于 y 的奇函数在21dd 上是关于 x 的偶函数a,),(ayxaxayxd),(1yxd ,0ayxaxxyaaao目录 上页 下页 返回 结

6、束 axamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed证明:提示提示: 左端积分区域如图,dxy a交换积分顺序即可证得.p181 4.8(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中 是 1222zyx所围成的闭区域 .提示提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面p181yxo目录 上页 下页 返回 结束 r11. 在均匀的半径为r的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?22xry提示提示: 建立坐标系如图.,0y由已知可知dyxydd022ddx

7、rbrryyx2332brr 由此解得rb32问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上 ,?bbryxod目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算二重积分,dd)e(222yxyxxiyxd其中:(1) d为圆域; 122 yx(2) d由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yxxiddd20dd)(2122yxyxd10320dd21rr4yxyxdyxdde22围成 . yx1do目录 上页 下页 返回 结束 y1x1oyxyxdyxdde122(2) 积分域如图:1d2dxyxy , xy将d 分为,21ddyxxiddd2yxyxdyxdde22200dd11

8、12xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得yxyxxiyxddd)e(222目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算二重积分,dd)35(dyxyx其中d 是由曲044222yxyx所围成的平面域 . 解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为:面积为:9adyxxidd5923) 1(5adyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxdyxxaxdd1dyxyaydd1ayax35目录 上页 下页 返回 结束 111 xyo例例3. 计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyid,dd)22()2(22yxxyyxid122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, dd

9、两部分, 则1dddyxi1112ddxyx322d2dddyx2011ddxyx; 1011:yxd，其中d 为圆域把d 分成1d作辅助线目录 上页 下页 返回 结束 x1y1oxy (2) 提示提示: 21, dd两部分 1dyxyxddd)(22yxyxddd)2(说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线2d将d 分成dyxdd2yxxyyxiddd)22(222) 12(32目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求抛物线及与直线022yxxy012 yx所围区域 d 的面积a .解解: :如图所示xy2324,12ddd 12ddddayyx122d34

10、dyyyx22d12dy4312331221yyy1d2dd212331221yyy3252,d),(时计算dyxf1),(dyxf可扩展到若注注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 1yxo目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 交换积分顺序计算yxyxixyxydedded23031010yxidydde1yxdydde2yyyxy2310dedyyy10de)1 (3)2e(31xy )3(21xy1d2d3解解. 积分域如图. xyo目录 上页 下页 返回 结束 例例6.,)0(, 0)0(,)(存在设ffcuf，求)(1lim40tftt)(tf解解: 在球坐标系下trrrf

11、tf02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttft利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 目录 上页 下页 返回 结束 三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面目录 上页 下页 返回 结束 例例7.，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端yyfxxfbabad)(d)(y

12、xyfxfddd)()(222vuuv利用yxyfxfddd)()(2221xxfabbad)()(2byabxad:= 右端=yxxfddd)(2xxfybabad)(d2目录 上页 下页 返回 结束 例例8.设函数 f (x) 连续且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tdtyxfvzyxftftttdxxfyxftgd)(d)()(2)(22其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtd(1) 讨论 f( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, . )(2)(tgtf(2003考研)zyt)(tx)(tdo目录 上页

13、下页 返回 结束 解解: (1) 因为 ttrrrfrrrftf0220022020d)(dd)(dsind)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边对 t 求导, 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttf, 0)(), 0(tf上在.), 0()(单调增加上在故tf f (x) 恒大于零, 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 问题转化为证 0)(2)(,0tgtft时ttrrfrrrftg020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 时, .0)(2)(tgtf因目录 上页 下页 返回 结束 利用“先二后一”计算.zyxvdddzdcyxzddd20abc34czczba022d)1 (2222221:czbyaxdz例例9. 试计算椭球体122222