《高等数学教学资料》03第三节泰勒公式

1、笫三节泰勒公式对于一些比较复杂的两数，为了便于研究,往往希望用一些简单的函数來近似表达.多项 式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能 求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒(taylor. brook, 1685-1731)在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明: 具有直到n + 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数 值组成的n次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.分布图示引言 多项式逼近 泰勒中值定理例2例6课堂练习例1常用函数的麦克劳林

2、公式例5内容小结 习题33 返回内容要点问题：设函数/(x)在含有勺的开区间(q,历内具有直到八+ 1阶导数，问是否存在一个77次多项式函数(3.2)/2/j(x)= 6f0+a1(x-xo) + «2(x-xo)2 +(3.1)使得 且误差rnm = fm-pnm是比勺)”高阶的无穷小，并给出误差估计的具体表达式.泰勒中值公式fm = /(勺)+ /©0)(兀一勺)+ / 即)(x-勺尸 + + (x-x()" + rn(x)(3.3)2!tv.拉格朗日型余项心(兀)=广刊忆)(兀一兀()严(3.4)(/? + 1)!皮亚诺形式余项rn (x) = o(x -x

3、()r 1.(3.6)带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式/(x) = /(0) + /z(0)x +/+. + 221 疋 + 0(0)(3.9)2!iv.从公式(3.11)或(3.可得近似公式心"0) +门0)+警宀+畔疋 2!m误差估计式(3.8)相应变成iwi<ms + 1)!i兀i"(3.13)(3.例题选讲直接展开法例1写出函数/(x) = x其误差lnx在斗)=1处的四阶泰勒公式.解 /(x) = x3lnx, /(i) = 0,间.fx)3x2 lnx + 2,/*(x)6xlnx + 5x, /"(x)61nx +11, /%)，x/(兀)=2,

4、 兀一r(i)=u厂=5,r(i)=n,/(1) = 6,严)©=-于是小心(-1) +詁-1)2 +牛-1)3 +扣"-召(兀-1p,其中§在1与兀之例2 (e01)求f(x) = ev的n阶麦克劳林公式.解 fxx)=fx)=f(nx)=ex, /(0)=/z(0)=r(0)=. =/°°(0) =1,注意到/(”"() =严代入泰勒公式，得/+!=l + x + + + + 厂 (0<6><1), 2!nl (川+1)!由公式可知ev 1 + x + + + 2!其误差=xz,+1<x(n + 1)!(斤

5、 + 1)!/?!曲(0<6><1)取兀=1,得0 = 1 + 1 + 丄+ + 丄,2! nl例3 (e02)求/(x) = sinx的/阶麦克劳林公式.解 fx) = cosx,= -sinx, /(x) = -cosx, /(4>(x) = sinx,p(nz、 |n兀', f (x) = sin x + , /丿由此得厂(0) = 1,厂(0) = 0, r(0) = -l,严(0) = 0,sinx的各阶导数依序循环地取四个数0,1,0,-1,令n = 2m,则+尺2加,其中sin 6r + (2/72 + 1)(兀)= 兀加+】(ov&vi)

6、.取加= 1,2,3的近似函数与原函数图像比较.(2加 + 1)!常用初等函数的麦克劳林公式:ex =1 + 兀 + + + +x2!nl (n + 1)!兀3 x5sinx = x + (-1/一 5!(2料 + 1)!.4.6cosx = l- + + - + (-1) 兀 2!4!6!3!x2+。(宀2)2n(2h)!+心ln(l + x) = x + + (1) +。(兀"启)23 +11 °= l + x + x2+- +兀"+o(兀")1 x(1+兀)j十皿+加(心)兀2+.2!简介展开法在实际应用屮，上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于i&

7、#39;可接地展开一些更复杂的函 数的麦克劳林公式，以及求某些函数的极限等.例4 (e04)求y = !在兀=1的泰勒展开式.3 x解严丄丄一3-x2-(x-l)2 兀-1=1 -1 (x-l)i2 22 23,(x-ir2“+i+4u-irj.解因为訂缶+心所以例6求incosx的到x6麦克劳林展开式.解因为cos所以1 01ooin cos x = lnl + (cosx-l)l = (cosx-1)(cosx-1) + (cosx-1) +o(cosx 1)，2 3而cosx-l = x2 + x4x6 +o(x&)及(cosx-1)，=丄兀° 一一 兀& +o

8、(兀6)224720424(cosx-1)3 = _£兀6 +o(d)in cos x =x224- x4兀6 + 0(兀6)24720)( 1 -x4 ?+曲6)21424)i( i、一 x6 +<?(x6) +o(d)31 8丿t宀存4-存皿)例 7 计算 linx +2c：)x -3xtox21丫2 4解 ex -1 + jt2+ %4+ o(x4), cosx = 1 - + - + o(x°) 2!2!4!= (1 、ax +2cos兀一3 = 2 o(x),12!4!丿从而r2.e +2cosx-3 lim:“tor4?兀4+(?(x4) 罰匚厂712课堂

9、练习利用泰勒公式求极限町fg泰勒(taylor, brook, 1685-1731)简介：泰勒(taylor,biwk)英国数学家。1685年8月18日生于英格兰徳尔塞克斯郡的埃徳蒙顿 市；1731年12月29日卒于伦敦。泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家 庭。泰勒是t子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音 乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这吋泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个 主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出來。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。171

10、4年 获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发 明微积分优先权争论的委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞 去这一职务。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人 结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里， 1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财才。173() 年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他, 第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒

11、曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级 数问题和概率论的问题。170x年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们 的注意，在这个工作屮他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产 的时期。他的两本著作：正和反的增量法及直线透视都出版于1715年，它们的第二 版分别11!于1717和1719年。从1712到1724年，他在哲学会报上共发表了 13篇文章， 其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作哲学的沉思在他死后 由外孙w.杨于1793年出版。泰勒以微积分学屮将函数展开

12、成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为： 函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。 然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由 拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞 生一个世纪之后，由柯西给出的。麦克劳林(maclaurin, colin, 16891746)简介：麦克劳林(maclaurin,colin)是英国数学家。1689年2月生于苏格兰的基尔莫登；1746 年1月卒于爱丁堡。麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位 牧师

13、。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校 不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。17岁取得了硕士学位并为自己关于重 力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔 学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并 在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授。1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于 牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作构造几何，在这本书中描述了作

14、圆锥曲线的 一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。1742年撰写的流数论以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑 的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个儿何框架的，以答复贝克来大 主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而 且关于政治，1745年参加了爱丁堡保卫战。麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打 算写一本关于伊萨克牛顿爵士的发现说明，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻 有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。皮亚诺简

15、介：皮亚诺，g (peano, giuseppe) 1858年8月27日生于意大利库内奥(cuneo)附近的 斯皮内塔(spinetta)村；1932年4月20日卒于都灵(turin).数学、逻辑学。皮亚诺的父母巴尔托洛梅奥(bartolomeo)和c.罗斯亚(rosa)有4男1女，皮亚诺 是第二个孩子。他们家以耕作为生，虽处在文盲充斥的农村，但皮亚诺的父母有见识且很开 朗，让子女都接受教育。他家住在离省城库内奥3英里的地方，每天皮亚诺和其兄米切勒 (michele)必须步行去省城念书。为了方便孩子们上学，他父母把家搬到城内，直到他最 小的妹妹小学毕业，才又搬回农场。他的舅舅m.卡瓦罗(cav

16、allo)是一位牧师和律师，住 在都灵。由于皮亚诺勤学好问，成绩优异，舅舅接他去都灵读书。开始时他接受私人教育(包 括舅舅的教育)和自学，使他能于1873年通过卡沃乌尔(cavouf)学校的初中升学考试而 入了学。1876年高屮毕业，因成绩优异获得奖学金，进入都灵大学读书。他先读工程学， 在修完两年物理与数学之后，决定专攻纯数学。在校5年，他学习的科目十分广泛。1880 年7月他以高分拿到大学毕业证书，并留校当e。奥维辿奥(dovidio)的助教，一年后又 转为分析学家ao杰诺其(genocchi)教授的助教。1882年春杰诺其摔坏了膝盖骨，皮亚 诺便接替他讲授分析课。14年任都灵大学微积分学

17、讲师。1890年12月经过正规竞争，皮 亚诺成为都灵大学的临时性教授，1895年成为正教授，他一直在都灵大学教书，直到去世。1887年皮亚诺与卡罗拉克罗西亚(crosiocarol a)结婚，她是一位画家的女儿。 他们没有孩子。皮亚诺是许多科学协会的会员，也是意大利皇家学会会员。他在分析方面的研究颇有成 绩，是符号逻辑的奠基人，又是国际语的创立者。皮亚诺于1932年4月20日夜里因心绞痛 逝世。按照他的意愿，葬礼非常简朴，他被葬在都灵公墓。1963年，他的遗骸被迁往老家 斯皮内塔的家族墓地。皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。他的工作是独立于j.w.r. 戴德金(dedekin

18、d)而做出的。虽然戴德金也曾发表过一篇自然数方面的文章，观点与皮亚 诺的基本相同，但表达得不如皮亚诺明晰，没有引人们注意。皮亚诺以简明的符号及公理体 系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。他在逻辑方而的第一篇文章出现在他1888 年出版的儿何演算一基于格拉斯曼的"扩张研究”(calcolo geometrico secondo rausdehnungslehre di h. grassmann)书中。该文独立成章共20页，是关于"演绎逻辑的 运算"(operations of deductivelogic)的。皮亚诺不同意 b.a.w.罗素(russell)的

19、观点,而 是 go 布尔(boole)、f.w.k.e.施勒德(schroder)、c.s.皮尔斯(peirce)和 h.麦科尔(mccoll) 等人工作的综合和发展=1889年皮亚诺的名著算术原理新方法»(arithmetices principia, nova methodo exposita)出版，在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理，在逻辑符号上有 许多创新，从而使推理更加简洁。书中他给出了举世闻名的自然数公理，成为经典之作。1891 年皮亚诺创建了数学杂志(rivista di matematica),并在这个杂志上用数理逻辑符号写下 了这组自然数公理，且证明了它们的独

20、立性。皮亚诺用两个不定义的概念“1”和“后继者” 及四个公理来定义自然数，说所谓自然数是指满足以下性质的集合n屮的元素：(1) 1是n的一个元，它不是/v中任何元的后继者，若a的后继者用/表示，则对于n中任何a, a+ h 1;(2) 对于n中任意元存在而ii仅存在一个后继者°+；(3) 对于 n 中任何a,b,若a+ =b+, m a = b(4) (归纳公理)n的一个子集合m,若具有以下性质：lwm;当awm时，有/ w m, 则 m = n.19世纪90年代他继续研究逻辑，并向第一届国际数学家大会投了稿。1990年在巴黎的 哲学大会上,皮亚诺和他的合作者c.布拉利福尔蒂(bur

21、ali-forti)> a.帕多阿(padoa) 及m.皮耶里(pieri)主持了讨论。罗素后來写道：“这次大会是我学术生涯的转折点，因 为在这次大会上我遇到了皮亚诺皮亚诺对2()世纪屮期的逻辑发展起了很大作用，对数 学做出了卓越的贡献。皮亚诺在数学杂志上公布他和他的追随者的逻辑与数学基础方面的结果。他还在上 面公布了他的数学公式(formulario)的庞大计划，并且在这项工作上花费了 26年的时 间。他期望能将他的数理逻辑记号的若干基本公理岀发建立整个数学体系。他使数学家的观 点发生了深刻变化，对布尔巴基学派产生了很大影响。皮亚诺的数学公式汇编(formulario mathemat

22、ico)共有5卷，18951908年出版， 仅第5卷就含有4200条公式和定理，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息, 有人称它为“无尽的数学矿藏。”他不是把逻辑作为研究的目标，他只关注逻辑在数学中的 发展，称自己的系统为数学的逻辑。皮亚诺在其他领域屮也使用了公理化方法，特别是对儿何。从1889年开始，他对初等 儿何采用公理化的处理方法，给出了儿套公理系统。1894年他将这种方法加以延伸，在m. 帕施(pasch)工作的基础上将几何中不可定义的项消减为三个(点、线段和运动)，后来 m.皮耶里(pieri)在1899年又把几何中不可定义的项消减为二个(点和运动)。他的许多论文都是对己有

23、的定义和定理给出更加清晰和严格的描述及应用，例如1882 年h. a.施瓦兹(schwarz)引入了曲面的表面积这个概念，但没有说清楚，一年后皮亚诺 独立地将曲面表面积的概念清晰化。皮亚诺引入并推广了 “测度”的概念。1888年开始他将h. g.格拉斯曼(grassmann) 的向量方法推广应用于几何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，对意大利的向量分析研究作了 很大的推动。1890年，皮亚诺发现一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数0和妙，由 x= 定义的一条连续的参数曲线，当参数t在0, 1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空i'可的曲线。稍后d。希尔伯特(hilbert

24、)和皮亚诺还 找到另外一些这样的曲线。皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。的确，他在分析方面的工作是非常新颖的， 有不少是开创性的。1883年他给出了定积分的一个新定义，将黎曼积分定义为黎曼和当其 最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所作的努力。 1886年他率先证出一阶微分方程)/ = /(x,y)可解的唯一条件是f的连续性，并给出稍欠严 格的证明。1890年他又用另一种证法把这一结果推广到一般的微分方程组，并给出选择公理的直 接明晰的描述。这比ec fo fo策梅罗(zermelo)早14年。但皮亚诺拒绝使用选择公理，因 为它超出数学证明所用的普通逻辑z外。

25、1887年他发现了解线性微分方程的逐次逼近法， 但人们把功劳归于比他晚一年给出此法的e。皮卡(picard)皮亚诺还给出了积分方程的 误差项，并发展成“渐近算子”的理论，它是解决数学方程的一个新方法。1901 1906年 之间他就保险数学投过稿。作为国家委员会的一员，他曾被请为估计退休金的金额。 1895-1896年他写过理论力学方面的文章，其屮有儿篇是关于地球自转轴的运动。他的工作 还涉及特殊的行列式、泰勒公式及求积分公式的推广等等。1893年，皮亚诺发表了无穷 小分析教程(lezioni di analisi infinitesimale),书中的清晰而严格的表述令人叹服。它与皮 亚诺编辑的杰诺其的著作微分学与积分学原理(calcolo differenziale e principii di calcolointegrale)被德国的数学百科全书列在"自l.欧拉(euler)和a. l.柯西(cauchy) 时代以来最重要的19本微积分教科书”之中。皮亚诺撰写的数学百科全书(encyklopadie der mathemjhischen wissenschaften)有很 多引人注目的地方。例如対微分中值定理的推广；多变量函数一致连续性的判定定理；隐函 数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但