二重积分计算1

1、第二节 重积分的计算 直角坐标系下计算二重积分 举例 小结xa(x)dv=a(x)dxx定积分中已知截面面积为定积分中已知截面面积为 a(x)的立体的立体-元素法元素法/微元法微元法 baxxavd)(.avb二重积分的计算二重积分的计算1 (d是矩形是矩形区域区域)y0 xz yabcddd是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d z=f (x,y) dyxy,xfid)d(y0 xz yabcddd是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d z=f (x,y) baxy,xf)d()(yq yyyxfz),( 问题：问题：q( y)是什么图形？是什么图形？q( y ) =是曲边梯形。是曲边梯

2、形。 dyxy,xfid)d(. 二重积分的计算二重积分的计算1 (d是矩形是矩形区域区域). dcyyq)d(i baxxavd)(0 xz yyabcdd dcbaxy,xfy)d(d. baxy,xf)d(q( y ) = dcyyq)d(i同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分 badcyyxfxid),(d. dyxy,xfid)d(z=f (x,y)d是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d 二重积分的计算二重积分的计算1 (d是矩形是矩形区域区域)二次积分二次积分二次积分二次积分如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间

3、在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,bax型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 积分区域的类型：积分区域的类型：.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d0 xz ycddz=f (x,y)x= (y)x= (y)yd: (y) x (y) c y d 二重积分的计算二重积分的计算2（d是是曲线梯曲线梯形形区域区域） dyxy,xfid)d(0 xz

4、ycddz=f (x,y)x= (y)x= (y)(yq.y问题：问题：q( y)是什么图形？是什么图形？d: (y) x (y) c y d yyyxfz),(也是曲边梯形也是曲边梯形 ! dyxy,xfid)d(. )( )( )d,(yyxyxfq( y ) = dcyyq)d(i = 二重积分的计算二重积分的计算2（d是是曲线梯曲线梯形形区域区域）.0 xz yx= (y)ycdd dcyyxyxfy)( ) )d,(d(.d: (y) x (y) c y d. dyxy,xfid)d( )( )( )d,(yyxyxf dcyyq)d(q( y ) =i =二重积分的计算二重积分的计

5、算2（d是是曲线梯曲线梯形形区域区域）x= (y)z=f (x,y)d: x1(y) x x2(y) c y di = )()()d( yxyxxy,xf0y x x2(y)x1 (y)cdy dyxy,xfid)d( 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序dy型型0y xcdyd x2(y)x1 (y)i =二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. dyxy,xfid)d( )()()d( yxyxxy,xfd: x1(y) x x2(y) c y dy型型0y xcdy dcyddd: y1(x) y y2(x) a x b0y xi =ab y1(x) y2(

6、x)d x2(y)x1 (y)x )()(d),(xyxyyyxfi =二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. dyxy,xfid)d( )()()d( yxyxxy,xfd: x1(y) x x2(y) c y dy型型x型型0y x0y xcdydi =ab y1(x) y2(x)d x2(y)x1 (y)x 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. dyxy,xfid)d( )()(d),(xyxyyyxfi = )()()d( yxyxxy,xf dcydd: x1(y) x x2(y) c y dd: y1(x) y y2(x) a x by型型x型型0

7、y x0y xcdydi =ab y1(x) y2(x)d x2(y)x1 (y)x baxd 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. dyxy,xfid)d( )()(d),(xyxyyyxfi = )()()d( yxyxxy,xf dcydd: x1(y) x x2(y) c y dd: y1(x) y y2(x) a x by型型x型型x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先积分次序：先y后后x。y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴

8、的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先积分次序：先x后后y。若区域如图，若区域如图，3d2d1d在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 dddd则须进行分割则须进行分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解：解： 积分区域如图积分区域如图 如果积分区域即是如果积分区域即是x-型又是型又是y-型的型的 ，则重积分既可以，则重积分既可以转化为先对转化为先对x后对后对y的的 ，也可以转化为先，也可以转化为先y后后x的二次

9、积分（的二次积分（累次积分）累次积分）xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解：解： 积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解：解：= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a0y x2a2aad:axyxax22 2 解：解：0 x 2ad1d2axy2 yaax . yaax . )d,(d20222 aaayxyxfy )d,(d ay

10、aayaaxyxfy. . dd i . )d,(d20222 aaxxaxyyxfxi注：注：这种方法要求这种方法要求 f (x, y) 在在d2上有定义甚至连续上有定义甚至连续解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 0y x1133y = xx = y 2d yyxyxyid yd.222 d d , : ; 13dyix ydyxyyxy.2ln21123 . 例例5 5、计算计算解：解： dydxdyex22 y

11、ydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解：解：原原式式 xxxydyedxi2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 所围区域所围区域 与与 xyxydyxxyd : , dd 11y = x20y xd2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 d 图形图形 dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）. dddyxxyy = x yyxxyd yd241 .用两种顺序计算用两种顺序计算x0z yab1.

12、 . 平面所围成的体积平面所围成的体积与与 求椭圆抛物面求椭圆抛物面xoybyaxz 1 2222 1 :2222 byaxdxyd1 vx)byax(ybybbadd byybba023223d)(324 204dcos38 ab（定积分三角代换）（定积分三角代换）2423138 abab2 .yxbyaxdd)d( 瓦里斯公式瓦里斯公式= dxxn20sin dxxn 20cos )( , 2! ! !)!1()( , ! ! !)!1(为偶数为偶数为奇数为奇数nnnnnn 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序与与

13、正确给出积分正确给出积分限限，且定积分中的各种技巧在这里仍然适用。，且定积分中的各种技巧在这里仍然适用。本节小结.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf y型型x型型d: 由四条直线由四条直线 : x=3，x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同围成的区域共同围成的区域 .oxy35583x 2y+4 = 03x 2y+1 = 0d i. 21985)42(31d),(dxyxfyyd1d2d3 321dddi先对先对y积分【积分【x-型型】先对先对x积分【积分【y-型】（需分块）型】（需分块）.213219 8213)12(31)42(31d),(dxyxfyyy 2135)12(313d),(dxyxfyy. 53)43(21)13(21)d,(dxxyyxfx dyxy,xfid)d( 计算ddxdyyysinxyxyd2,由 围成.yyddxyydydxdyyy2sinsin10(1,1)如果先对 y 积分,dyyysin无法进行因此先对 x 积分,10)sin(sindyyyy1sin1xyo二次积分中的第一次积分要易于计算，二次积分中的第一次积分要易于计算，且最终形成只是关于第二个