全等三角形经典题型——辅助线问题

1、精品文档_02欢迎下载全等三角形问题中常见的辅助线的作法 ( 含答案 )总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。1. 等腰三角形“三线合一”法：合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。遇

2、到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为 60 度或 120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、 60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或30

3、-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的

4、两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的 两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角 形。4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这 种作法，适合于证明线段的和、差、倍、

5、分等类的题目.6） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知例2、如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的EG<BG+BEAB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<

6、4精品文档故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.5欢迎下载解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BQ DG,显然 DG= AC/ GDC= ACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在人口8与4 ADG中,BD=AC=DG AD= AQ/ ADB=Z ADC它 ACDh ADC吆 GDC= / ADG故 ADB ADG 故有/ BAD4 DAG 即 AD平分 / BAE应用：1、以的两边AB八腰分别向外作等腰RtMBD和等 AABC腰Rt &ACEZBAD =/CAE=90：连接de M N>别是BG

7、 D的中点.探究：AMf D的位置关系及数 事关系.(1)如图 当 MBC为直角三角形时，AW DEE勺位置关系是 ,线段AMf D的数量关系是 ；(2)将图中的等腰Rt AABD绕点A沿逆时针方向旋转9 "(0<19<90)后，如图所示，(1) 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.E精品文档FA交DE于点P,并连接BFE解：（1） ED =2AM , AM _L ED ;证明：延长 AMiij G,使MG =AM，连BG则ABGO平行四边形，AC=BG, /ABG+/BAC =180。又. . DAE . BAC =180. ABG =/DAE再证： DAE三.

8、：ABGDE =2AM , /BAG =/EDA延长MN DE于H , BAG =. DAH =90. HDA . DAH =90AM _ED(2)结论仍然成立.证明：如图，延长 CA至F,使AC =FA ,DA_LBA, EA_L AF. BAF =90. DAF =/EAD. 在 AFAB 和 AEAD 中4FA =AE；ZBAF ZEADBA =DAiFABmAEAD (SASBF =DE , ZF =/AEN/FPD /F ./APE /AEN =90FB _DE又 CA=AF , CM =MB. AM /FB ,且 AM =1FB21 AM _LDE , AM =-DE 2、截长补短

9、1、如图，AABC 中，AB=2AC AD平分/BAC ,且 AD=BD 求证：CDL AC解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF± AB,故/ AFD= 90° AD阵 ADC (SAS_ 。4欢迎下载精品文档28欢迎下载/ACD= / AFD= 90即：CDLA2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证；AB = AD+BC解：（截长法）在 AB上取点F,使AF= AR连FE AD® AFE （SAS/ADE= / AFEZADE-+Z BCE= 180

10、6;ZAFE+Z BFE= 180°故/ ECB= / EFB FBE CBE (AAS故有BF= BC从而;AB = AD+BC03、如图，已知在 ABC内，/BAC=60 , /C=40°,巳Q分别在BC, CA上，并且AP, BM别是/BAC, /ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）延长 AB至D,使BD= BP,连DP 在等月BPD中，可得/ BDP= 40°从而/ BDP= 40° =/ ACP AD国 ACP （ASA故 AD= AC又 / QBC 40° =Z QCB 故 BQ=QCBD= BP

11、从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD43, BO BAAACQ B叶分/ABC,求证：.AC =180°解：（补短法）延长 BA至F,使BF= BG连FD BD阵 BDC （SAS故/ DFB= / DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DFB= / DAF故有/ BAD吆 BCD= 180°5、如图在 ABC中，AB>AC, / 1 = /2,P为AD上任意一点，求证;AB-AC>PB-PC解：（补短法）延长 AC至F,使AF= AB,连PD AB国 AFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF

12、- PC < CF = AF- AC= AB- AC应用:如图.在四边形ABCD中，的"E%点E是AB上一个动作若且 £。£口上60%判断AD+AE与 用的关系并证明你的结论.B解：分析：此题连接 AC把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC =AD AE连接AC过E作EF / BC并AC于F点则可证MEF为等边三角形即 AE =EF , ZAEF =/AFE =60 1,CFE =120又 ADBC, /B=60+然后利用全等三角. BAD =120又 , DEC =60.AED

13、=. FEC在MDE与iFCE中/EAD =/CFE , AE=EF, /AED =/FECADE 三. FCEAD =FC BC 二AD AE点评：此题的解法比较新颖， 把梯形的问题转化成等边三角形的问题, 形的性质解决。、平移变换例1 AD为八ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MN上一点， ABC周长记为 PA , EBC周长记为PB .求证PB > PA.解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC,连FE人口为 ABC的角平分线，MN XAD知 / FAE= / CAE故有 FAE CAE （SAS故 EF= CEo在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+

14、AF=BA+AC从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACRBC=例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE. 证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AMB BN,DN.V bd=ce,. DM=EM, .DM 阵EMA(SAS),DN=AE,同理bn=ca.延长 ND交 AB于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得 bn+bp+dp+pa>pn+ad,各减去 DP得 BN+AB>DN+AD, AB+AC>AD+A E四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=6

15、0° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：OE=ODdc+ae =ac证明(角平分线在三种添辅助线，计算数值法)贝叱 BAC它 BCA=12(£ad,ce均为角平分线，贝U / 0AC+ 0CA=6®=/ AOEW COD;/ A0C=12(6.在AC上截取线段AF=AE连接OF.又 AO=AOZ OAEW OAF.WJ/OA窜 AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOFW AOE=6(g.则 / COFW AOC/ AOF=6(£=/ COD; 又 CO=CO； OCD=OCF.故，OCD AOCF(SAS), OD=OF;

16、CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分/ BAG DGL BC且平分 BC, DU AB于 E, DF, AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD, DCDG直平分BC,故BD= DC由于AD平分/ BAG DE± ABT E, DF± AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC ( HL)故有BE= CRAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2应用:1、如图，O蝠/ MON1平分线，请你利用该图

17、形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:(1)如图，在 ABC, / AC超直角，/ B=60° 平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出(2)如图，在 ABCK 如果/ ACM是直角，而 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；,AD CE分别是/ BAC / BCA的FE与FD之间的数量关系；(1)中的其它条件不变，请问，你 若不成立，请说明理由。解：(1) FE与FD之间的数量关系为 FE=FD (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立。证法一：如图1,在AC上截取AG =AE ,连结FG. AEF 三 AGF /

18、AFE =/AFG , FE =FG/B=603 AD CE分别是/BAC、/BCA的平分线 .2.3 =60. AFE "CFD =. AFG =60. CFG =60Z3 =24及FC为公共边CFG = .CFDFG =FDFE =FD证法二：如图2,过点F分别作FG _LAB于点G FH /B=603 AD CE分别是/BAC、/BCA的平分线 ，可得/2+/3=60。，F是 MBC的内心ZGEF =60 口 十N1 , FH = FG又. HDF = . B . 1, GEF =. HDF .可证.EGF = . ：DHFFE =FD图1_LBC于点H图2五、旋转例1正方形A

19、BCD43, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形WJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE AF=AG所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF之 GAEW BAEV GABW BAEV DAF又 / EAF+Z BAEV DAF=90所以 / EAF=45jg例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DM别交BC,CA于点E,F。(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。解：(计算数值法)(1)连接DGD为等腰RtAABC斜边AB的中点，故有CD平分/BCA= 90

20、6; , / ECD= Z DCA= 45由于 DML DN 有/ EDNk 90°由于 CDLAB,有/ CDA= 90°从而/ CDE= / FDA=故有 CD国 ADF (ASA故有DE=DF(2) S»AAB(=2, S 四 DEC= S AAC=1c »CD! AB, CD= DA° 当/MDN绕点D转动时，求证 DE=DF例3如图，AABC是边长为以D为顶点做一个600角，的周长为;B3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且 NBDC=1200,使具两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN则AAMNXA解：（图形补全法，“截长

21、法”或“补短法” 于点F,在线段 CF上取点E,使CE= BM,计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交.ABC为等边三角形， BCM等腰三角形，且/ BDC=120,./ MBD= MBC廿 DBC=60+30 =90°,/ DCE=180- / ACD=180- / ABD=90,又 BM=CE BD=CD.CD监 BDMCDEh BDM DE=DM/ NDE4 NDC廿 CDEh NDC它 BDMh BDC-Z MDN=12O-60 =60°,.在 DMNF 口 DEN 中,DM=DE/ MDN= EDN=60DN=DN/ . DM降 DEN，MN=NE/ 在 DM序

22、口 DEF 中,DM=DE/ MDA=60- / MDB=60- / CDE=Z EDF （ / CDEh BDM）/ DAM= DFE=30 .DM阵 DEN （AAS）, MA=FEAAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用:AB = BC , Z ABC =120 ,1、已知四边形 ABCD 中，AB_L AD, BC_LCD,M MBN =60,，/MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当/MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE + CF =EF .当/ MBN绕B点旋转到AE ¥CF时，在图2

23、和图3这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明.（图1）（图2）（图3）解：（1） AB_LAD, BC_LCD, AB = BC , AE =CFMBE aiCBF （SAS；ZABE =NCBF , BE =BF . ABC =120 , . MBN =60/ABE =NCBF =30*, ABEF 为等边三角形1 BE =EF =BF , CF =AE，BE 2AE CF =BE =EF(2)图2成立，图3不成立。证明图2,延长DC至点K,使CK =AE ,连接BK则. BAE 三. BCK

24、，BE=BK, /ABE =/KBC ZFBE =60，/ABC =120°.FBC.ABE=60.FBC.KBC=60.KBF=.FBE=60KBF三EBFKF =EFKC CF =EF即 AE CF = EF图3不成立，AE CE EF的关系是 AE -CF =EF2、(西城09年一模)已知：PA二&,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在 直线AB的两侧.如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.分析：(1)作辅助线，过点A作AE _LPB于点E,在RtZiPAE 中，

25、已知/APE , AP的值，根据三角函数可将 AE, PE的值求出， 由PB的值，可求 BE的值，在RtMBE中，根据勾股定理可将 AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将 APAD绕点 A顺时针旋转90 口得到AP AB ,可得APAD=AP AB,求P亦即为求PB的长，在RtMPP'中，可将PP'的值求出，在 RtiPPB中，根据勾股定理可将 P'B 的值求出；解法二：过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G在RtMEG 中，可求出 AG EG的长，进而可知 PG的值，在RtAPFG中，可求出 PF,在RtAPDF中， 根据勾股定理可将 PD

26、的值求出；(2)将APAD绕点A顺时针旋转90°,得到iPAB, PD的最大值即为PB的最大值， 故当P'、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据 PB=PP' + PB可求PB的最大值，此 时 ZAPB =180°/APP'=135 °,DACEB解：(1)如图，作AE_LPB于点E RtiPAE 中，ZAPB =45 1 PA =<'2-.2 2. AE =PE = =12PB =4BE =PB _PE =3在 RtMBE 中，ZAEB =90。AB = . AE2 BE2 - .10解法一：如图，因为四边形ABCM正方形

27、，可将将 &PAD绕点A顺时针旋转90。得到 iPAB,可得妒AD 三 iPAB, PD=PB, PA = PA，/PAP'=90。，/APP'=45, /PPB=900，PP'=2, PA=V2PD =PB =、；PP+PB2 =、； 22 +42 =2«5 ；解法二：如图，过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于G在RtMEG中,可得AGAEAEcos. EAG cos. ABE 3 '= PGcos. FPG =PGcos. ABE =05在 RtAPFG 中,可得PF=2.5(2)如图所示，将 iPAD绕点A顺时针旋转90。,得到AP

28、AB, PD的最大值，即为 P'B的最大值2，FG.iPPB 中，Pbt：PP'+PB, PP' = J2PA = 2, PB=4 且 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.当P'、P、B三点共线时，PB取得最大值(如图)此时PB=PP' + PB =6,即PB的最大值为6此时,APB =180'-/APP =1353、在等边AABC的两边 AR AC所在直线上分别有两点 M N, D为L ABC外一点，且 /MDN =60 ：/BDC =120：BD=DC.探究：当M N分别在直线AB AC上移动时，BM NC MN之间的数量关系及 AAMN的周

29、长Q与等边&ABC的周长L的关系.图1图2图3（I）如图1,当点 M N边AR AC上，且 DM=DN寸,BM NG MN之间的数量关系 是；此日Q=；L（II ）如图2,点M N边AB AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立 吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3,当M N分别在边AR CA的延长线上时，若AN=X,则Q= （用X、L表示）.分析：（1 ）如果 DM =DN , NDMN =NDNM , 因为 BD =DC , 那么 ZDBC =ZDCB =30% 也就有 ZMBD =/NCD =60°+30 °=90s,直角三角形 MBD

30、 NCD3, 因为BD =DC , DM =DN ,根据 HL定理，两三角形全等。那么BM = NC , ZBMD =/DNC =60°,三角形 NCD中，ZNDC =30% DN =2NC ,在三角形 DNM中， DM =DN , ZMDN =604 ,因此三角形 DMN是个等边三角形，因此 MN =DN =2NC=NC +BM ,三角形 AMN勺周长 Q=AM + AN +MN = AM +AN +MB +NC =AB +AC =2AB ,三角形 ABC勺周长 L=3AB ,因此 Q:L=2:3 .（2）如果DM #DN ,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E,

31、使CE=BM ,连接 DE （1）中我们已经得出， ZMBD =ZNCD =90% 那么三角形 MBD和 ECD中，有了一组直角，MB =CE , BD =DC ,因此两三角形全等，那么 DM =DE ,/BDM =/CDE , /EDN =/BDC -ZMDN =60，三角形 MDN EDN中，有 DM =DE , /EDN =/MDN =60、有一条公共边，因此两三角形全等，MN = NE ,至此我们把 BM转换成了 CE把MN专换成了 NE因为NE =CN +CE,因此MN = BM +CN . Q与L的关系 的求法同（1）,得出的结果是一样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的

32、转换，思路同（2）过D作/CDH =/MDB ,三角形BDM和 CDH中，由（1）中已经得出的/DCH =/MB=90 我们做的角 /BDM =/CDH , BD =CD ,因此两三角形全等（ASA.那么BM =CH , DM = DH ,三 角形MD母口 NDhfr,已知白条件有 MD =DH , 一条公共边 ND要想证得两三角形全等就需 要知道 ZMD N=/H D N,因为 /C D H=/MD B,因此 NMD H=NBD C=1 2 0 ,因为 /MDN =60 那么 /NDH =120°-60° =60°,因此/MDN =/NDH ,这样就构成了两三角

33、形全等的条件.三角形MDN口 DNK全等 了 . 那么 NM =NH =AN +AC BM , 三角形 AMN的周长 Q vAN AM MN =AN AB BM一一、,1AN +AC -BM =2AN +2AB ,因为 AN =x , AB =_ L ,因此二角形 AMN 的周长3c 2，Q =2x 十一L .3解：(1)如图1, BM NC MN间的数量关系：BM +NC=MN ;此时Q =-.L 3(2)猜想：结论仍然成立.A证明：如图2,延长AC至E,使CE =BM ,连接DEABD =CD ,且 /BDC =120*. DBC =. DCB =30又 MBC是等边三角形. MBD r

34、NCD =90 在iMBD与庄CD中BM =CE；ZMBD =. ECDBD =DC iMBD 三 iECD (SA§DM =DE , ZBDM =/CDE . EDN =. BDC -ZMDN =60 在AMDN与AEDN中dm =DE；ZMDN ZEDN DN =DN 白MDN aiEDN (SAS MN =NE =NC BMBCD 图3故 MMN 的周长 Q =AM +AN +MN = (AM + BM )+(AN + NC )= AB + AC =2AB而等边 MBC的周长L =3AB,Q 2AB 2 .=一L 3AB 3(3)如图3,当M N分别在AB CA的延长线上时，若

35、 AN =x,则Q=2x+?L (用x、3L表不).点评：本题考查了三角形全等的判定及性质； 题目中线段的转换都是根据全等三角形来 实现的，当题中没有明显的全等三角形时， 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所 求条件相关的全等三角形。【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图 1所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）， 你认为将其中的哪一些块带去玻璃店， 就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带 （ ）A.第1块B.第2块 C .第3块 D .第4块第4题图23. （8分）已知，在 MBC中，Z ACB = 90 , AC= BC ,点D是AB边上的中点，点E在

36、AC边上，点F在BC边上，且AE = CF。试探究DE、DF两条线段之间的关系，并 说明理由。第23题图24. （8分）用两个全等的等边三角形 MBC和 MCD拼成四边形 ABCD,把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60 口角的顶点与点 A重合，两边分别与AB、AC重 合，将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别于四边形的两边BC、CD相较于点E、F时（如图a）,通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由。（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相较于点 E、F时（如图b）,你在（1）中得到的结论还成立吗？并说明理由。图日图b25. （10分）（1）如图（1）,正方形 ABCD中，E为边CD上一点，连接 AE ,过点A作 AF LAE交CB的延长线于F ,猜想AE与AF的数量关系为 。（说明理 由）（2）如图（2）在（1）的条件下，连接 AC ,过点A作AM，AC交CB的延长线于M , 观察并猜想CE与MF的数量关系 。（不必说明理由）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中，一 ，_ _ 一 ° ,./A=/B=90, AB=AD。王师傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得示意图。王师傅现在有两块同样大小的