运用均值不等式的八类拼凑方法

1、运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均 值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引 发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、拼凑定和通过因式分解、 纳入根号内、 升幂等手段， 变为“积”的形式， 然后以均值不等式的取等条件为出发点， 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例 已知 0 x 1，求函数 yx3 x2 x 1 的最大值。解：2 2 2 y

2、x2 x 1 x 1 x 1 1 x2 x 1 2 1 xx 1 x 1 3x 1 x 14 1 x 42232。271x223当且仅当x 1 1 x，即 x 1时，上式取“ =”。故23ymax32。27评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。例 2 求函数 y x2 1 x2 0 x 1 的最大值。22x x 21x2212722xx 因122当且仅当 x 1 x2 ，即 x 6 时，上式取“ =”。故 ymax 2 3 。2 3 max 9 评注： 将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”

3、创造条件 例3 已知 0 x 2 ，求函数 y 6x 4 x2 的最大值。2解： y2 36x24 x2182x24 x24x22x24 x24x2 188318 。3 2723当且仅当 2 x2 4 x2 ，即 x 时，上式取“ =”。3故y2 max18 8327又 y0, ymax32 33二、拼凑定积 通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为 出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件x5x2例4 设 x 1 ，求函数 y 的最小值。x1解：y x 1 4 x 1 1 x 1 4 5 2 x 1x1当且仅当 x 1时，上式取“ =”。故 y

4、min 9 。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑 定积”，往往是十分方便的。24 x 1例5 已知 x1，求函数 y 2 的最大值。x 3 2解： x 1, x 1 0 ，24 x 12x 1 4 x 1 424x 1 4 4 x1242243。当且仅当 x 1时，上式取“ =”。故 ymax 3 。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积” 。2 cos x 例 6 已知 0 x ，求函数 y 的最小值。sin xxx解： 因为 0 x ，所以 0 ，令 tan t

5、 ，则 t 0 。1 t2 t1 3t 22t 222所以 y 1 1 cos x当且仅当 21t 32t ，即t 33sin x sin x 2t,x 时，上式取“ =”。故 ymin3 。3评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式 的环境。三、拼凑常数降幂例7 若 a3 b3 2, a, b R ，求证： a b 2。分析： 基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥 梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是 a b 1，为解题提供了信息，发现 应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不

6、等”的辩证转化。证明： a31313 33 a3 13133a,b313 13 33 b3 1313 3b。a3b34 6 3 ab , a b2.当且仅当 a b 1 时，上述各式取“=”，故原不等式得证。评注： 本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例8 若 x3 y3 2,x,y R ，求 x2 y2 5xy 的最大值。33 33 3 3解： 3 1 x x 1 x3x 3,31 y y 1 y3y 3,31 x y 1 x3y3,2 2 1x3x31y3y35 1x3y3 7 7x3y3x2 y2 5xy 7 。 33当且仅当 a b 1时，上述各式取“ =”，故 x

7、2 y2 5xy 的最大值为 7。例9 已知 a,b,c 0,abc 1，求证： a3 b3 c3 ab bc ca 。证明： 1a3b33 1 ab,1b3c33 1 b c,1 c3a3 31 c a ，3 2 a3b3c33 abbcca，又ab bc ca 33a2b2c23，3 2 a3b3c32 abbcca3,a3 b3 c3 abbc ca 。当且仅当 abc 1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。四、拼凑常数升幂例10 若 a,b, c R ，且 a b c 1，求证 a 5 b 5 c 5 4 3 。分析： 已知与要求证的不等式都是关于 a,b,c的轮换对称式，容易发现等

8、号成立的条件是a b c 1 ，故应拼凑 16 ，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明： 2 16 a 5 16 a 5 , 2 16 b 5 16 b 5 , 2 16 c 5 16 c 5 ，b 5 c 5 31 a b c 32. a 5 b 5 c 5 4 31 当且仅当 a b c 时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。3例11 若 a b 2,a,b, R ，求证： a3 b3 2 。证明： 3 1 1 a1313a3,31 1 b 1313b3, 3 a b 4 a3 b3 。又 a b2,a3b32 。当且仅当ab 1时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。五、

9、约分配凑通过“ 1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。28例 12 已知 x, y, 0,1，求 xy 的最小值。xy解： x y x y12xy284y6x432 2 y46x43 2 。6 4xyxy xy当且仅当故 xy min 64 。2 8 1时，即 x 4.y 16 ，上式取 xy241 例13 已知 0 x 1，求函数 y 的最小值。x1x解： 因为 0 x 1，所以 1 x 0 。所以 y 4 1 x 1 x 4 1 5 4 1 x x 9 。x 1 x x 1 x x 1 x当且仅当 4 1 x x 时，即 x 2 ，上式取“ =”，故 ymin 9。 x 1 x

10、 32 2 2例14 若 a,b, c R ，求证a b c 1a b c 。b c c a a b 2分析： 注意结构特征：要求证的不等式是关于 a,b,c的轮换对称式，当 a b c时，等式成立。此时2 a bc设m b c a2，解得 m 1 ，所以42a 应拼凑辅助式 bcbcb c 为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉4目。a2 b cb c 42 ba2c b4ca, b2 c a 2 b2 c ac a 4 c a 4b, c2 a b a b 4b2 b c c ac 2 1c 1 a b c 。当且仅当 a b c 时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。 a b 2六、引

11、入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系 数，可开辟解题捷径。例15 已知 x, y, z R ，且 x y z 1，求 1 4 9 的最小值。 xyz解：设0，故有 x y z 1 0 。149149 xyzxyz4xy2 4 6 12。 当且仅当 1 x, 4y, 9z同时成立时上述不等xyz式取“ =”，1 2 3 1 4 9 即x , y ,z ，代入 x y z 1，解得 36 ，此时12 36，故 xyz的最小值为 36。七、引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构， 给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子， 然后一起参与运算， 创造

12、运用 均值不等式的条件。例16 设 a1,a2, ,an 为互不相等的正整数，求证a21a22a23an21 111 。122232n21 23n证明： 记 bn a21 a22 a312 2232a1111an2 ，构造对偶式dn1111 ，na1a2a3anbn dn1a21 1a2 1 a122 a2a3 132a3an 12nan2 1 1 1 1123当且仅当 ai i i N ,i n 时，等号成立。又因为 a1, a2, , an 为互不相等的正整数，所以 dn1 111 ，因此 bn1 1 11 。n1 23n n1 2 3n评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。八

13、、确立主元拼凑在解答多元问题时， 如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元， 减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。1 例17 在 ABC中，证明 cos A cos B cos C。8分析：cos A cosB cosC 为轮换对称式，即 A,B,C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量(固定) ，减少变元个数，化陌生为熟悉。 证明： 当 cosA 0 时，原不等式显然成立。当 cosA 0 时，1cos AcosBcosCcos A cos B C cos B C1cos A cos B C cos A1cos A 12cos A1 cos A 1 cos A1221cos(B C ) 1当且仅当 ，即 ABC 为正三角形时，原不等式等号成立。 cos A 1 cos A综上所述，原不等式成立。评注：