高三专题复习_圆锥曲线最值问题

1、学习必备欢迎下载圆锥曲线最值问题最大最小值问题贯穿了整个高中学习的阶段；不同时期， 同学学习了各种最大最小值问题的学问与方法：利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利用导数求最大最小值、利用三角形不等式求几何问题的最大最小值以及利用切线性质求最大最小值等等；当遇到圆锥曲线最值问题时，如何依据题目题设条件，挑选恰当的求最值方法成为一个难题；求最值方法可以分为两大类：其一，代数法，代数法一般思路是引入变量，建立目标函数，然后求函数的最值；求函数最值的常用方法为利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利

2、用导数求最大最小值；其二，几何法，几何法求最值常用方法有利用三角形不等式（即三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边）以及利用切线性质求最值；一 常用方法几何法1. 利用三角形不等式（即三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边）22例题已知f , f 椭圆 xy1 的左右焦点， a（2，6），在椭圆上求一点m ，使（ 1）mfma1212516最小，并求最小值； （ 2）mf1ma 最大，并求最大值；解： a=5,b=-6,c=3(1) 连接af1 ,af1 与椭圆交于点m ，设m 1 为椭圆上异于m 的一点；由于 m 1 ， a ， f1 三点共线，所以m 1 f1maaf1 ；故

3、mf1ma 的最小值 =af1 23 26 2 =61 .(2) mf1ma =2a-mf2ma =10-mf2ma 当 mf2ma 取最小值时，mf1ma 最大；mf2ma 最小值 =af2=37mf1ma 最大值 =10-372. 利用切线性质求最值x 2例题已知椭圆c:4y 21与 x 轴负半轴， y 轴正半轴的交点分别为a ，b；点 p 是椭圆 c上的动点，求 : pab 面积的最大值；学习必备欢迎下载解： 设 p 点到直线ab 的距离为d,当 d 最大时， pab 面积最大；x2设与 ab 平行的动直线l 方程为 y= 1b ；当 l 与椭圆相切与第四象限，设切点为p' ；当

4、动点p 运动到x2p ' 时， d 最大；4y 21，yxb12消去 y 得： x 22bx2b220由4b242b 220 ，得 b=2xy直线122 与椭圆相切于点p ' ，此时，p ' 到直线 ab 的距离 d= 1211422252pab 的最大面积 = 1ab22251= 25222=21 ；5代数法代数法一般思路是引入变量，建立目标函数，然后求函数的最值；求函数最值的常用方法为利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利用导数求最大最小值；1. 化为二次函数问题x2例题在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c1：a

5、 22y1ab b20 的离心率e=3 ，且椭22圆 c 上的点到p（0，3 ）的距离的最大值为7 ；求椭圆 c 的方程；解设所求椭圆的直角坐标方程是其中 a>b>0 待定 .学习必备欢迎下载,设椭圆上的点 x,y 到点 p的距离为 d,就其中 -b yb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是2. 利用均值不等式x2y2例题已知椭圆c : a 2b 21ab0 的一焦点为f11,0 ，长轴长为22 ，过原点的直线 ykx k0 与 c 相交于 a 、b 两点（ b 在第一象限） ， bh 垂直 x 轴，垂足为h；（ 1）求椭圆c 的方程；（ 2）当 k 变化时，

6、求abh 面积的最大值；学习必备欢迎下载解： 1 依题意 c1,a2, b2a 2c21 ，即 c 的方程为x22ykxy21 22k22 由对称性可设ax ,y , b x , y ，由2得 x 2, y 20000xy 212012k2012k 2就（当且仅当k2 时取等号），即abh 三角形 abh 面积的最大值是2 222.利用导数x2y21例题： 如图，椭圆c : a 2b21ab0 的离心率为，其左焦点到点（,）的距离2为10 ，不过原点 的直线与相交于，两点，且线段被直线平分；（1）求椭圆c 的方程；（2）求 apb 面积取最大值时直线l 的方程；解：（ 1）设椭圆左焦点为f c

7、 ，0 ，就由题意得2c110c1，a2c1x2y2得所以椭圆方程为1a2432）设a x1 ，y1 ，bx2 ，y2 ，线段 ab 的中点为 m 当直线 ab 与 x 轴垂直时，直线ab 的方程为x设直线 ab 的方程为0 ，与不过原点的条件不符，舍去故可ykxmmykxm0 ，由3x24y2消去 y ，整理得12学习必备欢迎下载34k2 x2就8kmx4m2120 ，（ 1）xx8km64k 2m2434 k2 4 m2120 ，1234 k 22x x4m12所以 ab 线段的中点m 8km24m2,1 212，234k 234k由于 m 在直线 op 上，所以34k3m34k 22km

8、34k2，得 m0 （舍去）或k3 ，2此时方程（ 1）为 3 x23mxm20 ，就312m2 0 ，x1 x1 x2x2m m2323所以 |ab |1k| x1x2 |3912m2 ，6设点 p 到直线 ab 距离为 d ，就d| 82m |2 | m4 | ，322 213设abp的面积为 s ，就132s| ab | dm4 12m2 ，26其中 m23,00, 23 ，令 u m12m2 m4 2 ， m23, 23u 'm4 m4 m22m64m4 m17 m17 ，所以当且仅当m17 ， u m 取到最大值，故当且仅当m17 ， s 取到最大值综上，所求直线l 方程为

9、3x2 y2720 4.利用参数方程与三角函数的有界性x 2例题已知椭圆c:4y 21与 x 轴负半轴， y 轴正半轴的交点分别为a ，b；点 p 是椭圆 cx上的动点，求 : pab 面积的最大值；2解： 直线 ab 的方程为：y11 ;设椭圆的参数方程为：x 2cosy sin； 点 p（cos,sin）；学习必备欢迎下载2 cos2 sin222 cos4 222点p到直线 ab 的距离 d=;d max2pab 的最大面积 = 1ab练习与答案5=222125555222 =21 ；51. 20xx 年全国卷 . 新课标 在平面直角坐标系xoy中，已知点a0,-1， b 点在直线y=

10、-3 上 ， m点满意mb/oa ，maabmbba ， m 点的轨迹为曲线c；（1）求 c 的方程；（2） p 为 c 上的动点， l 为 c 在 p 点处得切线，求o 点到 l 距离的最小值；解： 1设 b t,-3,m x, y.mb/oa, x=t ,ab =t,-2,ma =（ -x,-1-y ） =（ -t,-1-y ）,mb =0,-3-y由题意得知（ma + mb ） . ab =0,即（ -t,-4-2y ） . t,-2=0.t4y= 122所以曲线 c的方程式为 y= 142x-2；12'112 设 px 0 ,y 0 为曲线 c： y=x4-2 上一点，由于y=

11、x,所以 l 的斜率为x 022因此直线 l 的方程为yy1 x xx ， 即 x x2 y2 yx20 ；000002就 o 点到 l 的距离 d| 2 yx2 |00x4.又y1 x22 ，所以1 x2420400x00d21 2442,x242x24000当 x2 =0 时取等号，所以o 点到 l 距离的最小值为2；点评此题是一道求动点轨迹与最值的圆锥曲线综合题；动点轨迹方程利用参数法求得；其次问将o点到 l 距离表示成p 点横坐标x0 的函数，再利用均值不等式求出最值；学习必备欢迎下载2. （ 20xx 年，广东卷）设圆 c 与两圆 x5 2y24, x5 2y24中的一个内切，另一个

12、外切；（ 1）求圆 c的圆心轨迹l 的方程；（ 2）已知点 m 35, 45 , f 5,0，且 p 为 l 上动点， 求 mpfp55的最大值及此时点p 的坐标；解：（ 1）两圆半径都为2，设圆 c 的半径为r，两圆心为f1 5, 0 、 f2 5, 0 ，由题意得 r| cf1 |2| cf2|2 或 r| cf2|2| cf1 |2 ，|cf1 |cf2 |425| f1f2 | ，x2y2可知圆心 c 的轨迹是以f1 ,f2 为焦点的双曲线，设方程为a2b 21 ，就2a4, a2, c5, b 2c2a 21, b1 ，所以轨迹l 的方程为x24y21 （） | mp| fp| |

13、mf|2 ，仅当pmpf 0 时，取，由 kmfx22 知直线l mf : y2 x5 ，联立y21 并整理得 415x2325x90解得 x65 或 x145 舍去），此时p 65 , -25 51555所以 | mp点评| fp| 最大值等于2，此时p 35 ,545 5此题是一道求动点轨迹与最值的圆锥曲线综合题；动点轨迹方程利用定义法求得；其次问利用三角形不等式求得mpfp的最大值；3.（ 20xx 年，广东卷）已知曲线c : yx2 与直线l : xy20 交于两点a xa , ya 和b xb , y b ，且xaxb 记曲线 c 在点 a 和点 b 之间那一段l 与线段 ab 所围

14、成的平面区域 （含边界） 为 d ；设点 p s,t 是l 上的任一点， 且点 p 与点 a 和点 b 均不重合；（ 1） 如点 q 是线段 ab 的中点， 试求线段 pq的中点 m 的轨迹方程；（2）如曲线的最小值；g : x22 axy24 ya 251250 与 d 有公共点， 试求 a学习必备欢迎下载解：（ 1）联立 yx2 与 yx2 得 xa1, x b2 ，就 ab 中点15q, ，22设线段 pq 的中点 m 坐标为点 p 在曲线 c 上，x, y ，就 x1 s2 , y25t2，即 s2 x 21 , t252 y，又2 2y522x1 2 化简可得 y2x2x11， 8又

15、点 p 是 l 上的任一点，且不与点a 和点 b 重合，就12x122 ，即1x5 ，442中点 m 的轨迹方程为yxx11 （184x5 ） .4（2）曲线g : x222axy224 ya 2510 ，2549y7xb即圆 e ： xa y2，其圆心坐标为25e a,2 ，半径 r522251xad由图可知，当0a2 时，曲线g : x2axy4 ya0 与25ox点 d 有公共点；当 a0时，要使曲线g : x22axy24 ya251250 与点 d 有公共点，只需圆心e 到直线 l : xy20 的距离d| a22 |2| a |7，得2572a50 ，就 a 的最小值为72.5点评

16、此题是一道求动点轨迹与最值的圆锥曲线综合题；动点轨迹方程利用相关点法求得；其次问利用切线性质求得；4. （ 20xx 年，广东卷）x2已知双曲线y21 的左、右顶点分别为a , a ,点 p（ x , y ），q（ x ,y）是双曲线上不2同的两个动点；121212(1) 求直线a1p 与a2 q 交点的轨迹e 的方程；学习必备欢迎下载(2) 如过点 h（ 0，h）（ h>1）的两条直线l1 和 l 2 与轨迹 e 都只有一个交点，且 l1l 2 ，求 h 的值；解：（ 1）由a1, a2 为双曲线的左右顶点知，a1 2,0,a2 2,0,a1 p : yy1xx122 ，a2 q :

17、yy1xx122 ，两式相乘y22xy221 x212 ，x2y211由于点p x, y 在双曲线上，所以1y21 ，即1，故 y2x22 ，11x221x221222x22所以y2点评1 ，即直线a1 p 与a2q 交点的轨迹e 的方程为y21 ；（ 2）问（略） ；此题是一道求动点轨迹的圆锥曲线综合题；动点轨迹方程利用交轨法求得；5. （ 20xx 年，山东）如图， 椭圆 m的面积为8.2222: xyab1ab0) 的离心率为32，直线 xa 和 yb 所围成的矩形abcd(1) 求椭圆 m 的标准方程；(2) 设直线l : yxmmr 与椭圆 m 有两个不同的交点p, q,l 与矩形

18、abcd 有两个不同的交点s,t .求 | pq | 的最大值及取得最大值时m 的值 .| st |1 ec3a2ab3222a4矩形 abcd 面积为 8，即 2a 2b8由解得：a2,b1 ，学习必备欢迎下载椭圆 m 的标准方程是x22y1.4x 22224 y 24,5x8mx4 m40 ，yxm,设 p x , y , q x , y ，就 xx8 m, x x4m4 ，1122121 22552由64m2204 m40 得5m5 .2| pq |2228 m4 4m4425m.555当 l 过 a 点时， m1，当 l 过 c 点时， m1 .当5m1 时，有 sm1, 1,t 2,

19、2m,| st |23m ，| pq |45m2446221 ，| st |53m5tt其中 tm3 ，由此知当13 ，即 t4 , m55,1 时， | pq |取得最大值25 .t433| st |5由对称性，可知如1m5 ，就当 m5 时， | pq | 取得最大值25 .当13m1时， | st |22 ， | pq |25| st |5| st |52m，由此知，当m0 时， | pq | 取得最大值25 .| st |5综上可知，当m5 和 0 时， | pq | 取得最大值25 .3| st |5点评此题是一道求曲线方程与最值的圆锥曲线综合题；此题将问题转化为二次函数来求最值；6

20、. （ 20xx 年，浙江）如图，在直角坐标系xoy 中，点 p（1， 12）到抛物线c： y 2 =2px（ p 0）的准线的距离为5 ；4点 m （ t，1）是 c 上的定点， a ， b 是 c 上的两动点，且线段ab 被直线 om 平分；学习必备欢迎下载（1）求 p， t 的值；（2）求 abp 面积的最大值；解：（ 1）由题意得2 ptp1p15 ，得2 .124t1（2）设a x1 , y1, bx2, y2，线段 ab 的中点坐标为q m, m由题意得，设直线ab 的斜率为 k （ k0 ） .y22px由11，得 yy yy k xx ，得 k2m1y22px21122122所

21、以直线的方程为ym1xm ，即 x 2m2 my2m2m0 .x2my由y2x2m2m02，整理得y22my2mm0 ，所以4m4m2 ，y1y22m ，y1 y22 m2m .从而得ab112y1y2k14m24 m4m2 ，设点 p 到直线 ab 的距离为d，就12md2m2，设abp 的面积为s，就s1abd12 mm2 mm2 ；14m222由4m4m0 ，得 0m 1 .2令 tmm， 0t1 ，就 st12t 2 .2设 st12t 2 ， 0t1 ，就 s216t2 .由 s16t 20 ，得 t60, 1，所以smax66，故abp 的面积的最大值为.7. 20xx 年，广东卷

22、 6299x2y22在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c1：上的点到 q（ 0，2）的距离的最大值为3；（1）求椭圆c 的方程；221ab ab0 的离心率e=，且椭圆c3（2）在椭圆 c 上，是否存在点 m （m,n）使得直线 l：mx+ny =1 与圆 o： x2+y 2=1 相交于不同的两点 a 、b ，且 oab 的面积最大？如存在，求出点 m 的坐标及相对应的 oab 的面积；如不存在，请说明理由；c22c2 a 2 ，所以 b 2a 2c21 a 2a333由 e学习必备欢迎下载x2y222y222设 p x, y是椭圆 c 上任意一点，就a2b21 ，所以xa 1b2 a3 y

23、| pq |x2 y22a 23 y2 y222 y12a 26所以，当y1 时， | pq |有最大值a263 ，可得 a3 ，所以 b1,c222故椭圆 c 的方程为：xy13222（2）由于 m m, n 在椭圆 c 上，所以mn 1 ， m233 n 2设 a x1, y1 ，b x2 ,322y2 mxny由1m2n 2 x22 mx1n20，得x2y 21所以，4m24 m22mn 2 1n 2 4n2 m21n 2n 214n 2 212n 0 ，可得2n24并且： x1x2m2n 2， x1x2m2n21mx1mx1mxx m2 x x1m2所以，y1 y212121 2nnn

24、2m2n2所以，| ab | xx 2 yy 2x2y2x2y22 x xy y 121211221 2122222 1nm2n21mm2n2211m2n2设点 o 到直线 ab 的距离为 h ，就 h1m2n 2所以 soab1 | ab | h21m2n2 11m2n 2 设 t1m2n22，由 0n4 ，得 m2n2123n1,3 ，所以， t21,13s oabt 1tt1 21 ， t 1 ,1243所以，当 t1 时， s面积最大，最大为1 ；oab22学习必备欢迎下载此时，m 0,28. 20xx 年，全国卷 已知椭圆xy 22321 的左、右焦点分别为f 1、 f2，过 f1

25、的直线交椭圆于b、d 两点，过f 2的直线交椭圆于a、c 两点，且 acbd，垂足为p；（1）设 p 点的坐标为（ x， y ），证明：22x0 y01；0032（2）求四过形abcd 的面积的最小值；（1）证明：椭圆的半焦距c321 ，由 ac bd 知点 p 在以线段f1f2 为直径的圆上，故x2y21，00x2y2x2y21所以，20 001 ；32222（2）（）当 bc 的斜率 k 存在且 k0 时， bd 的方程为y=k （x+1 ），2代入椭圆方程xy1 ，并化简得3k 22 x26k2 x3k 260 ；232设 b（ x 1， y 1）， d（ x2， y2 ） b x1，

26、y1 ，d x2， y2 ，就x1x26k 2，3k 22x1 x23k 263k 22；由于 ac 与 bc 相交于点p，且 ac 的斜率为1 ，k24311k243 k1所以，ac；12k 233k22学习必备欢迎下载四边形 abcd的面积当 k 2=1 时，上式取等号；（）当 bd 的斜率 k=0 或斜率不存在时，四边形abcd 的面积 s=4；96综上，四边形abcd的面积的最小值为；259（ 20xx 年，福建）x2y2如图，椭圆221ab ab0) 的一个焦点为f（ 1， 0）且过点（ 2， 0）；（ 1）求椭圆 c 的方程；（ 2）如 ab 为垂直与x 轴的动弦，直线l: x=4

27、 与 x 轴交于 n ，直线 af 与 bn 交于点 m ； 求证：点m 恒在椭圆c 上； 求 amn面积的最大值；解：（ 1）由题设a=2,c=1,从而： b2a 2c23, 所以方程为：xy12243（ 2）有 f1,0,n4,0;设 a （ m,n），就 b（ m,-n） ,af 与 bn 得方程分别为：n x1) m1 y0, nx4 m4 y0 ，设交点 m 坐标为： x .y ，就 x5m8 , y3n0000x 2y 25m2m52m582369m2004342 m5 21 ；点 m 恒在椭圆c 上x2y2设 am 的方程为x=ty+1, 带入431 ，得：6t3t 24 y29

28、6 y90设 a x1, y1 , m x2 , y2 ，就有 y1y23t2, y1 y22,43t4学习必备欢迎下载433t 23就 y1y23t24令 3t 244 ，就yy1243 11 21110, 所以当4 时，y1424y2 有最大值 3，此时 am 过点 f；s1 fnyy3 yy有最大值为9amn121222210.20xx 年，全国卷 设椭圆中心在坐标原点，a2，0， b 0，1 是它的两个顶点，直线ykx k0 与 ab 相交于点 d ，与椭圆相交于e、f 两点（ 1）如 ed6df ，求 k 的值；（ 2）求四边形aebf 面积的最大值x2（1）解：依题设得椭圆的方程为4y21 ，直线 ab，ef的方程分别为x2 y2 ， ykx k0 如图，设d x0， kx0 ，e x1， kx1 ， f x2， k